Exercicis: Fraccions algebraiques

Simplifica la fracció algebraica $\frac{12x^4y}{4x^2}$.

Simplifica la fracció algebraica $\frac{3x + 6}{3}$.

Simplifica la fracció algebraica $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Simplifica la fracció algebraica $\frac{x^2 + 2x}{x^2}$.

Comprova si les fraccions algebraiques $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ i $\frac{1}{x + 1}$ són equivalents. Justifica la teva resposta.

Calcula i simplifica $\frac{2x}{3} \cdot \frac{6}{x^2}$.

Calcula i simplifica $\frac{x}{x + 1} : \frac{x^2}{x + 1}$.

Una alumna afirma que $\frac{x + 5}{5} = x + 1$, perquè «el $5$ de dalt i el de baix es cancel·len». Valora si la seva afirmació és certa o falsa comprovant-la amb un valor concret de $x$, explica l'error i escriu la simplificació correcta.

En Marcos, estudiant de 4t d'ESO, ha de simplificar la fracció algebraica $\dfrac{2x + 6}{x^2 - 9}$ per a un exercici de classe. En el seu quadern fa el següent:

«Ratlla el $+6$ amb el $-9$ dividint tots dos entre $3$, i simplifico la $x$ del numerador amb la $x^2$ del denominador. Em queda $\dfrac{2 + 2}{x - 3} = \dfrac{4}{x - 3}$. Per tant, l'únic valor prohibit de l'expressió és $x = 3$».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos: un en el procediment algebraic de simplificar i un altre relatiu al domini de la fracció.
2. b) Fes la simplificació de manera matemàticament correcta i determina tots els valors que s'han d'excloure del domini original.

Un grup d'estudiants d'un institut de Córdoba organitza un viatge cultural en autobús per visitar Medina Azahara. L'empresa de transport cobra una tarifa fixa de $360$ € pel lloguer del vehicle, i l'entrada al conjunt arqueològic costa $4$ € per estudiant.

1. a) Escriu la fracció algebraica $C(x)$ que representa el cost mitjà per estudiant en funció del nombre $x$ d'assistents que participen en el viatge.
2. b) Té sentit calcular $C(0)$? Justifica la teva resposta des del punt de vista de l'àlgebra i des del sentit pràctic. Si l'autobús disposa de $55$ places i l'institut exigeix un mínim de $15$ participants per autoritzar la sortida, indica quin és el domini realista d'aquesta expressió.
3. c) Descompon la fracció en la suma d'una quantitat fixa més una altra que depèn de $x$. A partir d'aquesta descomposició, raona què li passa al cost mitjà per estudiant si el nombre d'assistents $x$ és molt gran.

Simplifica la fracció algebraica $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.

Simplifica la fracció algebraica $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - x - 2}$ factoritzant prèviament el numerador i el denominador.

Opera i simplifica $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$.

Opera i simplifica $\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$.

Opera i simplifica $\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{1}{x + 1}$.

Opera i simplifica $\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2}{x + 1}$.

Opera i simplifica $\frac{x^2 - 4}{x + 3} : \frac{x - 2}{x^2 + 3x}$.

Una aixeta triga $x$ minuts a omplir un dipòsit i una altra aixeta triga $5$ minuts menys a omplir el mateix dipòsit. a) Expressa, en funció de $x$, la fracció de dipòsit que omplen les dues aixetes juntes en un minut, simplificant l'expressió. b) Quina fracció del dipòsit omplen en un minut si la primera aixeta triga $20$ minuts?

Construeix una fracció algebraica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. Els seus únics valors prohibits (aquells per als quals la fracció original no existeix) són exactament $x = 3$ i $x = -2$.

2. En simplificar-la cancel·lant els factors comuns, s'obté la fracció irreductible $\dfrac{5}{x + 2}$.

3. El numerador original $P(x)$ és un polinomi de grau $1$ el terme independent del qual és $-15$.

1. a) Escriu els polinomis $P(x)$ i $Q(x)$ en la seva forma desenvolupada (com a sumes i restes de monomis, no factoritzats).
2. b) Justifica de manera raonada si la fracció que has construït $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ i la fracció reduïda $\dfrac{5}{x + 2}$ són exactament equivalents per a tot valor real de $x$, indicant què passa en particular si avaluem totes dues en $x = 3$.

Un tren de Rodalies de Renfe fa un trajecte d'anada i tornada de $60\text{ km}$ per sentit ($120\text{ km}$ en total). A l'anada circula a una velocitat mitjana constant de $x\text{ km/h}$. En el viatge de tornada, a causa d'obres de manteniment en la infraestructura segons dades d'Adif, ha de reduir la seva velocitat mitjana en $15\text{ km/h}$, circulant a $(x - 15)\text{ km/h}$.

1. a) Sabent que el temps es calcula dividint la distància entre la velocitat, escriu la suma de fraccions algebraiques que modelitza el temps total invertit (en hores) i suma-les per obtenir una única fracció algebraica reduïda $T(x)$.
2. b) Estima i comprova: imagina que habitualment el tren circula a $x = 75\text{ km/h}$.

• Abans de substituir en la teva fórmula reduïda, fes una estimació raonada: si a l'anada triga $60/75 = 0,8\text{ hores}$ ($48\text{ minuts}$) i a la tornada va a $60\text{ km/h}$, el temps total d'anada i tornada serà més gran, més petit o igual a $1,7\text{ hores}$? Raona per què no es pot calcular simplement el temps suposant una velocitat mitjana global de $(75 + 60)/2 = 67,5\text{ km/h}$.

• Substitueix $x = 75$ en la teva fracció algebraica $T(x)$, obtén el resultat exacte en hores i minuts, i comprova si la teva estimació prèvia ha estat encertada.

Opera i simplifica $\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} \right) : \frac{2}{x^2 + 2x}$.

Simplifica la fracció complexa $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$.

Troba el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis $x^2 - 9$ i $x^2 + 6x + 9$.

Resol l'equació $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 4}$. Abans de començar, indica quins valors no pot prendre $x$ i explica per què s'han de descartar.

Un ciclista recorre $60$ km a una velocitat mitjana de $v$ km/h i torna pel mateix camí a $v + 10$ km/h. a) Expressa el temps total del viatge en funció de $v$, com una única fracció algebraica simplificada. b) Si el viatge complet va durar $5$ hores, planteja l'equació que permetria trobar $v$ (no cal resoldre-la) i indica de quin tipus és.

1. a) Comprova que $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$. b) Utilitza aquesta identitat per calcular, sense fer totes les sumes una a una, el valor de $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$. c) Quant val la suma anàloga amb $n$ sumands?

Un alumne simplifica així: «$\frac{x^2 + 4}{x + 2} = x + 2$, perquè el numerador és el quadrat del denominador». Explica l'error conceptual comès (a què és igual en realitat $(x + 2)^2$?), comprova-ho substituint $x = 3$ i raona si la fracció es pot simplificar d'alguna manera.

Una fruiteria barreja $x$ kg de nous a $9\ \text{€}$ el quilo amb $y$ kg de panses a $5\ \text{€}$ el quilo. a) Expressa el preu d'un quilogram de barreja en funció de $x$ i $y$. b) Quant val aquest preu si es barreja el doble de nous que de panses? c) Quina relació hi ha d'haver entre $x$ i $y$ perquè el quilogram de barreja surti exactament a $7\ \text{€}$?

Per calcular i simplificar la següent operació combinada amb fraccions algebraiques:

$E(x) = \left( \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 2} \right) \cdot \dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$

dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• Mètode de l'Alba: Opera primer l'interior del parèntesi buscant denominador comú, redueix el numerador obtingut i, finalment, fa el producte factoritzant la segona fracció.

• Mètode d'en Bruno: Aplica la propietat distributiva multiplicant directament la fracció $\dfrac{x^2 - 4}{x + 10}$ per cadascun dels dos termes del parèntesi, simplificant cada multiplicació abans de restar.

1. a) Resol l'operació seguint pas a pas el mètode de l'Alba.
2. b) Resol l'operació seguint pas a pas el mètode d'en Bruno.
3. c) Compara tots dos camins: analitza quin dels dos evita manejar polinomis de grau superior i minimitza el risc de cometre errors amb els signes. Justifica quin consideres més avantatjós.
4. d) Encara que el resultat final simplificat sigui una constant numèrica, indica el domini de definició de l'expressió de partida i explica per què aquestes restriccions s'han de mantenir.

Segons models de gestió mediambiental utilitzats a Espanya, el cost municipal anual $C_1$ (en milers d'euros) per recollir i processar el $p\,\%$ dels residus plàstics d'una comarca s'estima mitjançant la fracció algebraica:

$C_1(p) = \dfrac{120p}{100 - p}$, amb $0 \le p < 100$.

L'ajuntament valora modernitzar les instal·lacions amb un sistema semiautomatitzat finançat per fons europeus, el cost anual estimat del qual seria:

$C_2(p) = 30 + \dfrac{60p}{100 - p}$ (milers d'euros).

1. a) Expressa $C_2(p)$ com una sola fracció algebraica reduïda amb denominador comú.
2. b) Modela la funció d'estalvi $A(p) = C_1(p) - C_2(p)$ com una única fracció algebraica irreductible.
3. c) Analitza el domini d'aquestes expressions en el context real: per què no és possible avaluar cap de les dues fórmules en $p = 100$? Quin significat físic té que el denominador tendeixi a $0$ a mesura que el percentatge de reciclatge $p$ s'aproxima al $100\,\%$?
4. d) Estudia el signe del numerador d'$A(p)$ per determinar a partir de quin percentatge de reciclatge $p$ resulta més econòmica la planta automatitzada enfront de la tradicional. Si la Llei estatal de Residus fixa com a objectiu comarcal assolir almenys un $60\,\%$ de reciclatge, raona quina opció tecnològica ha de triar el municipi.

Repte del tema. Optimitza l'embalatge d'un enviament postal sostenible.

1. Presa de dades: Mesura un objecte quotidià de casa i consulta al web de Correos les tarifes i mides estàndard permeses. Modela una caixa amb base quadrada de costat $(x+3)\text{ cm}$ i alçària $x\text{ cm}$. Aplica identitats notables per expressar l'àrea de la base.

2. Modelització: Obtén mitjançant operacions amb monomis i polinomis el volum $V(x)$ i la superfície total de cartó $S(x)$. Planteja la fracció algebraica $\frac{S(x)}{V(x)}$ (despesa de material per unitat de capacitat) i analitza-la.

3. Càlcul i combinatòria: Amb GeoGebra o un full de càlcul, troba el volum per a $x=10\text{ cm}$ aplicant el teorema del residu (avalua la divisió entre $x-10$). Si has de combinar $4$ articles diferents dins del paquet, calcula quantes disposicions lineals admeten mitjançant $4!$. Troba les arrels de $V(x)-1500=0$ per aconseguir una capacitat exacta d'$1,5\text{ litres}$.

4. Proposta: Redacta un informe breu raonant les dimensions òptimes per minimitzar costos.

Es valorarà:

• Correcció en operar polinomis, identitats notables i fraccions algebraiques.

• Aplicació adequada del teorema del residu, arrels i el factorial.

• Maneig de dades reals i programari digital (GeoGebra o full de càlcul) a l'informe final.