Exercicis: Error absolut i relatiu

Calcula l'error absolut i l'error relatiu que es comet en aproximar el nombre $3,456$ per $3,46$. Expressa l'error relatiu en forma de percentatge.

Arrodoneix el nombre $x = 12,7891$ a les centèsimes i calcula l'error absolut comès en aquesta aproximació.

En mesurar la longitud d'un passadís s'ha obtingut un valor aproximat de $150$ cm amb un error absolut màxim de $2$ cm. Escriu l'interval en què es troba amb seguretat el valor real de la longitud.

S'han realitzat dues mesures en una classe de tecnologia: en la primera es comet un error absolut de $0,5$ cm en mesurar un llistó de $20$ cm, i en la segona un error absolut de $2$ cm en mesurar un tauler de $100$ cm. Quina de les dues mesures és més precisa? Justifica la teva resposta calculant els errors relatius.

Sabent que l'error relatiu d'una pesada al laboratori és del $5\ \%$ i que el valor real de la massa és $250$ g, determina l'error absolut comès.

Aproxima el nombre $\frac{2}{3}$ utilitzant dues xifres decimals, primer per truncament i després per arrodoniment. Calcula l'error absolut en cada cas i indica quina aproximació és més propera al valor real.

El valor real de l'acceleració de la gravetat a la Terra és $g = 9,81$ m/s$^2$. Si en un problema de física utilitzes el valor aproximat de $10$ m/s$^2$ per simplificar els càlculs, troba l'error absolut i l'error relatiu percentual que estàs introduint.

Determina l'error absolut i relatiu que es comet en usar la fracció $\frac{22}{7}$ com a aproximació del nombre irracional $\pi$. (Utilitza el valor de $\pi$ que proporciona la teva calculadora i expressa els resultats finals arrodonits a quatre xifres decimals).

En un debat escolar sobre el cost del transport públic a Sevilla, s'indica que el preu oficial d'un bitllet senzill d'autobús urbà és d'$1,40\ €$. Un estudiant afirma en la seva intervenció que el bitllet costa «al voltant d'$1,50\ €$». Per avaluar la precisió d'aquesta estimació, el seu company David fa a la pissarra els càlculs següents:

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en David: un de relatiu a les unitats de l'error absolut i un altre al valor que ha col·locat al denominador de l'error relatiu.
2. b) Corregeix els càlculs d'en David obtenint el valor correcte d'$E_a$ (amb les seves unitats) i d'$E_r$ (en percentatge, arrodonit a dos decimals).

A l'estació meteorològica del Parque del Retiro (Madrid), gestionada per l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), un pluviòmetre digital d'alta precisió registra una precipitació acumulada de $14,6\text{ mm}$ després d'una tempesta de primavera. Al mateix temps, en un hort urbà proper, s'utilitza un pluviòmetre de lectura analògica que arrodoneix al mil·límetre més proper ($p = 1\text{ mm}$), marcant $15\text{ mm}$.

1. a) Calcula l'error absolut (indicant les seves unitats) i l'error relatiu percentual (amb dos decimals) que comet la lectura de l'hort urbà respecte a la dada de referència d'AEMET.
2. b) D'acord amb la propietat de l'arrodoniment ideal a una unitat $p$, quina és la cota màxima teòrica que podria tenir l'error absolut degut exclusivament a l'arrodoniment en aquest instrument analògic?
3. c) Comprova si l'error absolut obtingut a l'apartat a) compleix aquesta cota i explica què passaria si l'hort hagués registrat $16\text{ mm}$.

Un telescopi espacial mesura la distància a un estel llunyà obtenint $4,25 \cdot 10^8$ km. Sabent que el valor considerat exacte per la comunitat astronòmica després de múltiples calibratges és $4,23 \cdot 10^8$ km, calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual de la mesura del telescopi.

Al taulell d'una fruiteria, el preu d'un quilogram de cireres és de $14,99$ €. Si un client compra $0,350$ kg, la balança calcula el preu exacte multiplicant totes dues quantitats i després arrodoneix el resultat al cèntim més proper per poder cobrar. Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual que es comet en el preu final a pagar.

La mida real d'un bacteri observat al microscopi és de $2,5 \cdot 10^{-6}$ m. Un estudiant, en anotar la dada al seu quadern de laboratori, s'equivoca en l'exponent i escriu $2,5 \cdot 10^{-5}$ m. Calcula l'error absolut i l'error relatiu comès per l'estudiant. A la vista de l'error relatiu, es tracta d'un error negligible o d'una equivocació greu?

En una cursa d'atletisme de 100 metres llisos, el cronòmetre oficial té una precisió d'una centèsima de segon (és a dir, la cota d'error absolut és $0,01$ s). Si el temps registrat al marcador per a l'atleta guanyador és de $9,81$ s, calcula la cota de l'error relatiu que afecta aquesta mesura i expressa-la en percentatge.

S'ha mesurat el radi d'una peça circular de metall amb un peu de rei, obtenint un valor aproximat de $r = 15$ mm, sabent que l'instrument té un marge d'error màxim de $\pm 0,5$ mm. Calcula l'interval en què es troba l'àrea real de la peça. Després, utilitzant el valor mesurat per trobar una àrea aproximada, determina la cota d'error absolut màxim que es pot estar cometent en aquesta àrea.

Per preparar una dissolució en un laboratori de química es necessiten exactament $250$ ml d'aigua distilled. En usar una proveta graduada, un alumne n'introdueix $248$ ml. D'altra banda, la recepta exigeix $5$ g de sal, però en pesar-la a la balança, se n'afegeixen $5,1$ g. Calcula l'error relatiu en cadascuna de les dues mesures i determina en quin dels dos processos s'ha sigut més precís.

La capacitat d'un disc dur extern s'anuncia a la caixa com a $500$ GB (on $1$ GB comercial equival a $10^9$ bytes). Tanmateix, el sistema operatiu de l'ordinador compta els gigabytes en base binària ($1$ GB informàtic equival a $2^{30}$ bytes), per això l'usuari esperava $500$ GB informàtics. Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual que es comet en prendre la capacitat anunciada pel fabricant com a aproximació de $500$ GB informàtics (valor exacte), expressant tots dos valors en bytes.

Si en aproximar una incògnita $x$ pel valor $3,14$ es comet un error relatiu de, aproximadament, $0,00050696...$ (assumint que el valor real és $\pi$), comprova matemàticament si aquesta aproximació s'ha realitzat per defecte o per excés, i verifica que la fórmula de l'error relatiu es compleix amb aquestes dades.

En una jornada d'atletisme escolar, un corredor completa la prova de $60\text{ m}$ llisos. El sistema de foto-finish electrònic registra un temps oficial de $7,84\text{ s}$, mentre que un professor situat a la grada cronometra manualment $8,10\text{ s}$.

1. a) Abans de fer cap càlcul per escrit, fes una estimació mental: l'error relatiu comès amb el cronòmetre manual superarà el $5\ %$ o serà inferior? Explica amb quins valors senzills i arrodonits compares mentalment la diferència de temps ($0,26\text{ s}$) i el temps oficial ($7,84\text{ s}$) per respondre.
2. b) Calcula amb exactitud l'error absolut (amb la seva unitat) i l'error relatiu percentual (arrodonit a dos decimals).
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era correcta i reflexiona: malgrat que l'error absolut és de tot just unes dècimes de segon, per què creus que en proves d'alta competició aquest error relatiu resulta inacceptable?

En una cooperativa agrària d'El Bierzo (León) s'envasen bosses de castanyes amb un pes net nominal anunciat de $500\text{ g}$. La normativa de control de qualitat rebutja automàticament qualsevol paquet si l'error relatiu percentual comès respecte al pes nominal anunciat supera l'$1,6\ %$.

1. a) Planteja laTarget inekuació corresponent i determina l'interval de pesos reals $[x_{\min}, x_{\max}]$ que ha de tenir una bossa per ser acceptada per la màquina classificadora.
2. b) En una inspecció es detecta un paquet defectuós que conté $488\text{ g}$. Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual que presenta respecte al valor nominal de $500\text{ g}$, i indica si la màquina el rebutjarà.
3. c) Si una altra bossa defectuosa és rebutjada per haver-se omplert en excés, cometent un error relatiu exacte del $2,4\ %$, planteja l'equació inversa i calcula quants grams de castanyes conté realment aquesta bossa.

El valor real d'una magnitud física desconeguda és $x$ i el seu valor aproximat, mesurat per un sensor, és $y$. Si sabem que l'error relatiu comès en la mesura és exactament del $4\ \%$ i que l'error absolut és de $0,2$ unitats, planteja les equacions corresponents i determina els dos possibles valors reals de $x$ i les seves respectives aproximacions $y$.

Un topògraf mesura el costat d'un terreny quadrat obtenint $L = 40$ m. Sap que l'error relatiu del seu instrument de mesura és del $2\ \%$ (és a dir, $E_r(L) = 0,02$). Demostra matemàticament que la cota d'error relatiu que es comet en calcular l'àrea del terreny a partir d'aquesta mesura és, aproximadament, del $4\ \%$.

Raona matemàticament i discuteix en quines condicions estrictes l'error absolut d'una aproximació coincideix exactament amb el seu error relatiu. Proporciona un exemple numèric concret indicant el valor real i el valor aproximat que il·lustri aquesta situació peculiar.

Una fàbrica de components mecànics estableix que la longitud ideal d'un pern és de $50$ mm. Perquè una tramesa de perns passi el control de qualitat automatitzat, l'error relatiu de la longitud de cada peça no pot superar el $0,5\ \%$. Determina, en forma d'interval, el rang de longituds reals acceptables perquè un pern sigui considerat vàlid per a la seva venda.

Suposa que aproximem el nombre irracjonal $\sqrt{2}$ prenent únicament els seus primers $n$ decimals exactes mitjançant truncament. Troba una expressió matemàtica que acoti l'error absolut en funció de $n$. A partir d'aquesta, esbrina quants decimals $n$ hem de prendre com a mínim si volem garantir que l'error relatiu de la nostra aproximació sigui estrictament menor que $10^{-4}$.

En un experiment de densitat, es mesura la massa d'un objecte obtenint $m = 120$ g amb una cota d'error absolut de $2$ g, i el seu volum $V = 30$ cm$^3$ amb una cota d'error absolut de $1$ cm$^3$. Calcula els valors màxim i mínim reals que podria prendre la densitat ($d = \frac{m}{V}$). Utilitzant el valor aproximat central ($d_{aprox} = \frac{120}{30}$), quina és la cota d'error absolut per a la densitat?

Un estudiant ha calculat l'error relatiu d'una mesura de laboratori i ha obtingut la fracció irreductible $\frac{1}{15}$. Si a més sap que l'error absolut ha estat exactament de $3$ unitats i que l'aproximació es va fer per excés, reconstrueix el problema per determinar quin era el valor real exacte de la magnitud i quin va ser el valor aproximat utilitzat en el càlcul.

En el codi d'un programa informàtic antic, s'utilitza la fracció $A = \frac{22}{7}$ com a aproximació fixa per a $\pi$ en el càlcul del volum d'esferes. Un client encarrega el disseny d'un dipòsit esfèric de radi $R = 10$ m i exigeix per contracte que l'error absolut del volum calculat pel programari sigui inferior a $1$ m$^3$. Complirà el programa amb l'exigència del client? Justifica la teva resposta calculant l'error absolut del volum (utilitza el valor de $\pi$ de la calculadora científica per determinar el volum considerat com a real).

Per a un projecte de plaques solars en un habitatge de Toledo, un instal·lador mesura una superfície rectangular utilitzant un distanciómetre làser que arrodoneix al centímetre més proper ($p = 1\text{ cm} = 0,01\text{ m}$). Les mesures obtingudes són $1,60\text{ m}$ de llargada i $1,00\text{ m}$ d'amplada. Per calcular l'àrea i fitar l'error que es propaga al resultat, es proposen dos mètodes de treball:

• Mètode A (Estimació directa): Calcula l'àrea com a $1,60 \cdot 1,00 = 1,60\text{ m}^2$ i afirma que, com que la cota d'error absolut a cada costat és $0,005\text{ m}$, l'error absolut de l'àrea no superarà la suma de totes dues cotes ($0,005 + 0,005 = 0,01\text{ m}^2$).

• Mètode B (Fitament per extrems): Determina l'interval de valors possibles de cada costat segons la cota d'arrodoniment ($E_a \le p/2$), calcula els valors extrems de l'àrea ($Área_{\min}$ i $Área_{\max}$) i obté la cota rigorosa de l'error absolut a partir de la diferència més gran respecte a $1,60\text{ m}^2$.

1. a) Desenvolupa completament el Mètode B: indica els intervals de llargada i amplada, calcula $Área_{\min}$ i $Área_{\max}$, i dedueix la cota màxima de l'error absolut de l'àrea.
2. b) Compara els resultats de tots dos mètodes i justifica per què el Mètode A és incorrecte per a operacions com la multiplicació, demostrant quin dels dos camins és matemàticament rigorós.

La Direcció General de Trànsit (DGT) utilitza radars mòbils en autovies amb límit genèric de $120\text{ km/h}$. La normativa metrològica oficial estableix que, per a velocitats superiors a $100\text{ km/h}$, el marge d'error màxim admès per a un radar mòbil és un error relatiu del $7\ %$ respecte a la velocitat real del vehicle ($E_r \le 0,07$). Per evitar multar indegudament per culpa d'aquesta imprecisió tècnica, la DGT només sanciona si la velocitat real mínima possible del vehicle supera amb certesa els $120\text{ km/h}$.

1. a) Un radar mòbil registra una lectura de $131\text{ km/h}$ per a un vehicle. Sabent que $E_r = |v_{\text{real}} - 131| / v_{\text{real}} \le 0,07$, planteja i resol laTarget inekuació per deduir la velocitat real mínima a la qual va poder circular aquest vehicle.
2. b) Amb el resultat obtingut, justifica raonadament si el conductor d'aquest vehicle rebrà una sanció o si es beneficiarà del marge de dubte metrològic.
3. c) Modela la situació general: planteja l'equació que relaciona la velocitat real límit ($120\text{ km/h}$) amb el marge del $7\ %$, i determina a partir de quina velocitat exacta de lectura al radar mòbil (arrodonida al nombre enter superior de $\text{km/h}$) la DGT té la garantia matemàtica absoluta de poder sancionar un conductor en aquest tram.

Repte del tema. És el paper que fas servir matemàticament perfecte? Investiga la presència dels nombres irracionals en el disseny quotidià resolent aquest desafiament.

1. Presa de dades: Mesura amb un regle la llargada i l'amplada (en cm) d'un full DIN A4 que tinguis a casa. Calcula la raó decimal dividint $\frac{\text{llargada}}{\text{amplada}}$.

2. La recta real: La norma industrial estableix que aquesta proporció teòrica ha de ser exactament el nombre irracional $\sqrt{2}$. Amb GeoGebra o en paper, representa $\sqrt{2}$ a la recta real mitjançant el teorema de Pitàgores ($1^2 + 1^2$) i situa-hi a sobre el teu valor mesurat per comparar-los.

3. Aproximacions i errors: Obre un full de càlcul. Trunca i arrodoneix $\sqrt{2}$ a $2$ i $4$ xifres decimals. Després, calcula l'error absolut ($E_a = |\text{mesura} - \sqrt{2}|$) i l'error relatiu percentual ($E_r = \frac{E_a}{\sqrt{2}} \cdot 100\,\%$) del teu full.

4. Producte final: Lliura un informe breu (una pàgina) amb la taula d'errors, la gràfica de la recta i una conclusió: és menyspreable el marge d'error del fabricant en tallar el paper?

Es valorarà:

• Mesurament rigorós i càlcul correcte de les aproximacions i errors ($E_a$ i $E_r$).

• Representació geomètrica exacta de $\sqrt{2}$ i ordenació correcta a la recta real.

• Maneig adequat d'eines digitals (GeoGebra o full de càlcul).

• Redacció clara, justificació del resultat i ús correcte de la coma decimal.