Exercicis: Aproximacions

Arrodoneix el nombre $\pi \approx 3,14159265...$ a les dècimes, a les centèsimes i a les mil·lèsimes.

Trunca el nombre irracional $\sqrt{7} \approx 2,645751...$ a les centèsimes i calcula l'error absolut comès amb aquesta aproximació.

En mesurar la longitud d'una taula de $2,5 \text{ m}$ exactes, una cinta mètrica ha marcat un valor de $2,46 \text{ m}$. Calcula l'error absolut i l'error relatiu d'aquesta mesura.

Indica el nombre de xifres significatives de les mesures experimentals següents: $0,0045 \text{ kg}$, $30,020 \text{ s}$, $1500 \text{ m}$ (suposant que és exacta fins a les unitats) i $2,0 \cdot 10^5 \text{ A}$.

Expressa el nombre $45678,9$ amb tres xifres significatives, utilitzant per a això la notació científica.

Una bàscula de bany marca $54,2 \text{ kg}$ en pesar una persona. Si sabem mitjançant una bàscula de precisió que el valor exacte és $54,25 \text{ kg}$, determina l'error relatiu expressat en percentatge.

En arrodonir un nombre desconegut a les centèsimes s'ha obtingut $4,38$. Indica l'interval en què es troba el valor exacte del nombre i determina la cota d'error absolut.

Aproxima per excés i per defecte a les mil·lèsimes la fracció $\frac{17}{7}$.

En Marcos està analitzant els resultats d'una anàlisi de qualitat de l'aigua de l'aixeta del seu municipi i llegeix que la concentració de nitrats és de $0{,}040\text{ mg/l}$. En preparar una presentació per a classe, en Marcos afirma: «Aquest valor té quatre xifres significatives perquè hi ha quatre dígits en total, i com que s'ha mesurat fins a les mil·lèsimes, la cota d'error absolut és de $0{,}005\text{ mg/l}$». Localitza els dos errors comesos per en Marcos, explica detalladament per què és erroni el seu raonament en cada cas i escriu els valors corregits tant per al nombre de xifres significatives com per a la cota d'error absolut real de la mesura.

Segons les dades del Padró Continu de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), la ciutat de Terol compta amb una població oficial de $36\,267$ habitants. Als mitjans de comunicació s'observen dues aproximacions diferents: un diari generalista titula «Terol ronda els $36\,000$ habitants», mentre que un informe tècnic municipal prefereix utilitzar la xifra de $36\,300$ habitants.

1. a) Identifica a quin ordre d'unitats (desenes, centenes o milers) ha arrodonit cadascuna de les dues fonts.
2. b) Escriu la xifra de l'informe tècnic ($36\,300$) en notació científica de manera que expressi amb claredat que té tres xifres significatives.
3. c) Calcula l'error absolut que comet cada publicació respecte a la dada oficial de l'INE i determina quina de les dues aproximacions garanteix una cota d'error absolut menor que $50$ habitants.

En un supermercat, el preu exacte per pes d'un tros de formatge és $14,53 €$ i a caixa es cobren $14,50 €$. D'altra banda, una barra de pa costa exactament $0,83 €$ i es cobren $0,80 €$. Calcula l'error relatiu en totes dues compres i indica en quina d'elles l'error afecta més el consumidor en proporció al que gasta.

El diàmetre d'un glòbul vermell humà és d'aproximadament $7,8 \cdot 10^{-6} \text{ m}$. El programari d'un microscopi electrònic aproxima aquesta mesura i mostra en pantalla $0,000008 \text{ m}$. Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual comès pel programari. Quantes xifres significatives té el valor mostrat en pantalla?

Per construir un marc quadrat perfecte, cal que l'àrea interior sigui exactament de $12 \text{ m}^2$. El fuster calcula el costat necessari i l'arrodoneix a les centèsimes per poder tallar el llistó de fusta. Quin serà l'error absolut en el perímetre total del marc construït respecte al perímetre ideal?

La distància per carretera entre dues ciutats es publica com a $340 \text{ km}$, indicant-se que té dues xifres significatives. Determina l'interval de valors en què es troba la distància real i calcula la cota d'error absolut i la cota d'error relatiu màxim possible.

Un arxiu informàtic de text té una mida exacta de $1456783 \text{ bytes}$. El sistema operatiu mostra la seva mida a la carpeta com a $1,4 \text{ MB}$ (considerant per a aquest exercici que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Calcula l'error absolut i l'error relatiu comès per l'aproximació del sistema operatiu.

En una competició d'atletisme escolar, el temps exacte d'un corredor en creuar la meta és $10,458 \text{ s}$. El cronòmetre del jutge A funciona truncant a les centèsimes, mentre que el cronòmetre del jutge B arrodoneix a les centèsimes. Calcula l'error absolut de cada cronòmetre i explica quin dels dos jutges dona un temps més proper al real.

La constant de gravitació universal té un valor aproximat de $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Arrodoneix aquest valor perquè tingui únicament tres xifres significatives i troba la cota d'error relatiu d'aquesta nova aproximació.

Un termòmetre digital de farmàcia marca $37,5^\circ\text{C}$. El manual del fabricant assegura que l'error relatiu màxim del sensor és del $0,4\%$. Calcula l'interval de temperatures en què es troba amb seguretat la temperatura real del pacient.

En una etapa contrarellotge de La Vuelta Ciclista a España de $25\text{ km}$, el cronòmetre oficial de l'organització registra per a la guanyadora un temps de $34\text{ min i } 18{,}4\text{ s}$, valor arrodonit a les dècimes de segon.

1. a) Expressa el temps oficial únicament en segons. Quina és la cota d'error absolut associada a aquesta mesura de temps? Escriu l'interval $[t_{\min}, t_{\max}]$ en segons en què es troba amb certesa el temps real de la ciclista.
2. b) Durant la retransmissió televisiva, un comentarista arrodoneix el temps total a minuts sencers dient que la corredora ha trigat «$34\text{ minuts}$». Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual comesos pel comentarista en utilitzar aquesta aproximació respecte a la dada oficial en segons. Valora si la seva aproximació és raonable per al públic de televisió.

Vas a fer la compra a un supermercat per preparar un dinar familiar amb un pressupost ajustat. A la teva llista figuren tres productes:

• $1{,}8\text{ kg}$ de pollastre a $6{,}95\text{ €/kg}$.

• $0{,}85\text{ kg}$ de formatge a $11{,}20\text{ €/kg}$.

• $2{,}1\text{ kg}$ de pomes a $1{,}89\text{ €/kg}$.

A la cartera portes únicament un bitllet de $30\text{ €}$.

1. a) Abans d'operar de manera exacta, fes una estimació ràpida de l'import total arrodonint cada quantitat en quilograms a la unitat sencera més propera i cada preu unitari a l'euro sencer més proper. A partir d'aquesta estimació mental, determina si sembla que tindràs prou diners per pagar.
2. b) Fes ara el càlcul exacte del cost total sumant els preus de cada article arrodonits al cèntim d'euro (com fa el lector de la caixa enregistradora).
3. c) Calcula l'error absolut comès entre la teva estimació inicial i el preu final de caixa. En vista del resultat, reflexiona: la teva estimació va ser per excés o per defecte? Per què en fer la compra amb un pressupost tancat sol convenir estimar deliberadament per excés?

En la construcció d'un pont, un enginyer mesura les dimensions de la secció transversal d'una biga rectangular i obté $L = 15,4 \text{ m}$ i $A = 0,85 \text{ m}$. Totes dues mesures han estat arrodonides a l'última xifra decimal que mostren. Determina l'interval en què es troba l'àrea real de la secció de la biga. Quina és la cota d'error absolut que s'assumeix en calcular l'àrea multiplicant directament els valors aproximats?

Es vol tancar una plaça circular. El topògraf mesura el radi i obté $R = 45,2 \text{ m}$ (valor arrodonit a les dècimes). Calcula el perímetre nominal de la plaça usant $\pi \approx 3,1416$ i troba l'error absolut màxim (cota d'error) que es pot cometre en el càlcul d'aquest perímetre a causa de la incertesa de la mesura del radi.

La densitat d'un material es calcula mitjançant la fórmula $d = \frac{m}{V}$. Si la massa s'aproxima a $m = 45 \text{ kg}$ amb una cota d'error absolut de $0,5 \text{ kg}$, i el volum s'aproxima a $V = 2,5 \text{ m}^3$ amb una cota d'error absolut de $0,1 \text{ m}^3$, calcula els valors màxim i mínim possibles per a la densitat exacta del material.

En un laboratori, un instrument de mesura A té un error absolut constant de $0,05 \text{ cm}$ independentment del que mesuri. Un instrument B mesura amb un error relatiu constant del $0,2\%$. Determina algebraicament l'interval de longituds exactes per a les quals l'instrument A és més precís (comet menys error absolut) que l'instrument B.

Demostra raonadament que si un nombre real $x \in [10, 100]$ s'arrodoneix al nombre enter més proper per obtenir una aproximació $x'$, l'error relatiu màxim possible té lloc quan $x = 10,5$. Quin és el valor d'aquest error relatiu màxim expressat en percentatge?

La velocitat d'un projectil es mesura com a $v = 345 \text{ m/s}$ (amb tres xifres significatives). La seva massa s'estima en $m = 12,4 \text{ kg}$ (també amb tres xifres significatives). Sabent que l'energia cinètica es calcula com a $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, calcula el valor aproximat de l'energia, determina el nombre adequat de xifres significatives per expressar el resultat final i estima la cota d'error relatiu de l'energia cinètica.

Un ordinador emmagatzema els nombres reals utilitzant un estàndard de coma flotante que trunca la mantissa per guardar l'equivalent a $7$ xifres decimals significatives. Si l'ordinador ha de realitzar i emmagatzemar el resultat de l'operació $10^8 + 1$, quin error absolut i quin error relatiu comet el sistema en guardar el nombre final?

Un inversor compra un paquet d'accions per un valor exacte de $15000 €$. El sistema informàtic del broker arrodoneix els percentatges diaris de guany a un nombre enter abans d'aplicar-los. Si el guany real diari va ser exactament del $1,49\%$ durant $5$ dies consecutius, calcula la diferència en euros entre el saldo final calculat amb el percentatge exacte i el saldo final calculat amb el percentatge arrodonit. Quin és l'error relatiu final sobre el saldo total?

Una estació meteorològica automàtica de l'AEMET situada en un port de muntanya registra la velocitat del vent mitjançant un sensor digital. La pantalla informativa mostra que la ratxa màxima registrada ha estat de $120\text{ km/h}$, especificant que és una aproximació obtinguda en arrodonir la mesura a dues xifres significatives.

1. a) Determina l'interval numèric $[v_{\min}, v_{\max})$ en què s'ha de trobar la velocitat real del vent perquè, en arrodonir-la a dues xifres significatives, resulti exactament $120\text{ km/h}$. Quina és la cota d'error absolut que assumeix qualsevol usuari que consulti aquesta dada?
2. b) En revisar el registre intern de l'anemòmetre, s'observa que l'aparell grava les dades amb una xifra decimal. Se sap que l'error absolut comès respecte a $120\text{ km/h}$ va ser estrictament menor que $2\text{ km/h}$ i que, en arrodonir aquesta mesura original a les unitats senceres, el resultat acabava en la xifra $9$. Reconstrueix raonadament l'interval de valors en què es va haver de trobar la lectura original del sensor i proposa tres valors numèrics concrets amb un decimal que verifiquin totes les condicions.

Una comunitat de regants de l'Horta de Múrcia ha d'emetre la liquidació del consum trimestral d'aigua d'una explotació agrícola. El comptador volumètric general ha registrat un consum exacte de $12\,640\text{ m}^3$ i el preu fixat per la junta de regants és de $0{,}276\text{ €/m}^3$. Per emetre el rebut es debaten tres mètodes:

• Mètode 1: Arrodonir prèviament tant el volum com el preu a 2 xifres significatives i multiplicar després tots dos valors arrodonits.

• Mètode 2: Truncar el volum als milers ($12\,000\text{ m}^3$) i multiplicar pel preu exacte, deixant la diferència de metres cúbics per a una regularització anual.

• Mètode 3: Multiplicar el volum exacte pel preu unitari exacte i arrodonir únicament l'import final resultant al cèntim d'euro més proper.

1. a) Calcula la quantitat a pagar que resultaria d'aplicar cadascun dels tres mètodes.
2. b) Prenent el resultat del Mètode 3 com a referència exacta de cobrament, calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual comesos amb el Mètode 1 i amb el Mètode 2.
3. c) Compara els mètodes i argumenta: per què des del punt de vista matemàtic i de propagació d'errors no és aconsellable el Mètode 1? Quines conseqüències econòmiques patirien els regants o la comunitat si es generalitzés l'ús del Mètode 1 enfront del Mètode 3?