Exercicis: Operacions amb nombres racionals

Realitza la següent operació combinada amb fraccions, respectant la jerarquia de les operacions, i expressa el resultat com una fracció irreductible:

$ \frac{3}{4} - \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \right) \cdot \frac{5}{3} $

Una recepta de pastisseria requereix $\frac{3}{4}$ de quilogram de farina per elaborar un pastís sencer. Si només disposem dels ingredients per fer la meitat de la recepta, quina quantitat de farina necessitarem? Expressa el resultat en forma de fracció irreductible.

Resol el següent castell de fraccions, simplificant el numerador i el denominador abans de realitzar la divisió principal:

$ \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}} $

Troba el valor de la incògnita $x$ que fa que la següent igualtat sigui certa:

$ \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} $

En Marcos vol calcular el cost per hora d'un consum elèctric i es troba amb l'operació combinada $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3}$. Per resoldre-la, afirma: «Com que les dues primeres fraccions tenen el mateix denominador, sumo primer i obtinc $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$; després multiplico per $\frac{2}{3}$ i el resultat és $\frac{8}{15}$». a) Explica raonadament l'error de concepte que comet en Marcos i quina norma de la jerarquia d'operacions ha vulnerat. b) Calcula el resultat correcte expressant-lo com a fracció irreductible.

Segons una enquesta de mobilitat de l'Instituto Nacional de Estadística (INE) en una àrea metropolitana espanyola, $\frac{5}{12}$ dels treballadors es desplacen a la feina en transport públic i $\frac{3}{8}$ ho fan en vehicle privat de motor. La resta de la població activa treballadora es desplaça a peu o en bicicleta. a) Planteja l'operació amb fraccions i determina la fracció irreductible del total de treballadors que utilitza mitjans actius i sostenibles (a peu o en bici). b) Si en aquesta àrea metropolitana resideixen $24\,000$ persones treballadores, calcula quantes es desplacen a peu o en bicicleta.

Un ciclista completa $\frac{1}{3}$ d'una etapa en la primera hora. En la segona hora, recorre $\frac{2}{5}$ de la distància que li quedava pendent. Si després d'aquestes dues hores encara li falten 30 km per arribar a la meta, quina és la longitud total de l'etapa?

Una empresa tecnològica destina $\frac{3}{8}$ del seu pressupost anual al pagament de salaris, $\frac{1}{5}$ a campanyes de màrqueting i $\frac{1}{4}$ del pressupost restant a recerca i desenvolupament (R+D). Quina fracció del pressupost total queda disponible per a altres despeses operatives?

Un aliatge metàl·lic utilitzat en enginyeria aeroespacial està compost per $\frac{3}{7}$ de coure, $\frac{2}{5}$ de zinc, i la resta és estany. Si la massa total d'una peça fabricada amb aquest aliatge és de 140 kg, quants quilograms exactes d'estany conté?

Una aixeta és capaç d'omplir una piscina en 4 hores, mentre que una segona aixeta pot omplir-la en 6 hores. Si s'obren totes dues aixetes al mateix temps, quina fracció de la piscina s'haurà omplert al cap d'1 hora? Quant de temps total (en hores i minuts) trigaran a omplir la piscina per complet?

Un embassament d'una conca hidrogràfica del sud d'Espanya té una capacitat màxima de $450\text{ hm}^3$ i a l'inici de la tardor es troba ple fins als $\frac{2}{5}$ de la seva capacitat total. Durant un temporal de pluges recull un volum equivalent a $\frac{1}{3}$ de la capacitat total de l'embassament, però al mateix temps s'ha de desembassar per seguretat una quantitat igual a $\frac{1}{10}$ de l'aigua que tenia emmagatzemada a l'inici. a) Abans de calcular el volum exacte en $\text{hm}^3$, fes una estimació raonada comparant les fraccions: superarà l'embassament la meitat de la seva capacitat total després del temporal? Justifica la teva resposta. b) Calcula la fracció exacta irreductible de la capacitat total que queda embassada i obtén el volum final en $\text{hm}^3$ per comprovar la validesa de la teva estimació.

Per simplificar la fracció composta $\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}{\frac{5}{8}}$, dos estudiants de 4t d'ESO proposen estratègies diferents: la Sara prefereix fer primer la resta del numerador buscant el m.c.m. dels denominadors $4$ i $6$, i després dividir entre $\frac{5}{8}$ multiplicant per la fracció inversa. En Sergio, en canvi, proposa multiplicar el numerador global i el denominador global per $24$ (el m.c.m. de $4$, $6$ i $8$) per eliminar totes les fraccions intermèdies de cop en el primer pas. a) Desenvolupa per escrit tots dos mètodes pas a pas i comprova que s'arriba a la mateixa fracció irreductible. b) Analitza i argumenta quin dels dos mètodes consideres més segur i eficient per evitar errors amb fraccions en aquest tipus d'expressions.

Calcula la suma exacte de la següent sèrie de fraccions. (Pista: Observa el patró i descompon cada fracció com la resta de dues fraccions més simples, per exemple $\frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$):

$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10} $

La regidoria de Joventut d'un ajuntament distribueix el seu pressupost anual de la manera següent: assigna $\frac{1}{4}$ del total al manteniment de les instal·lacions esportives; dels diners restants, destina $\frac{2}{5}$ a cursos i tallers de formació laboral; i la quantitat final que queda sense assignar, que ascendeix a exactament $45\,000$ €, es reserva per a un fons de beques de transport. a) Modela la situació plantejant una única equació de primer grau on la incògnita $x$ sigui el pressupost total inicial, expressant les fraccions en funció de $x$. b) Resol l'equació per esbrinar el pressupost total de la regidoria. c) Comprova el resultat calculant les partides monetàries de cadascuna de les tres finalitats i verificant que la seva suma coincideix amb el total.

En una jornada d'alta producció renovable a Espanya, l'operador del sistema elèctric (Red Eléctrica) registra que l'energia eòlica cobreix $\frac{3}{8}$ de la demanda nacional, la solar fotovoltaica genera una quantitat equivalent a $\frac{1}{3}$ de l'aportada per l'eòlica, i l'energia hidroelèctrica aporta $\frac{1}{4}$ de la resta de la demanda que encara quedava per cobrir. Les centrals no renovables cobreixen els $240\text{ GWh}$ restants necessaris per proveir el consum total. a) Determina mitjançant operacions amb fraccions quina fracció irreductible de la demanda total diària va representar la producció no renovable. b) Calcula la demanda elèctrica total de la jornada en $\text{GWh}$ i quants $\text{GWh}$ va generar específicament l'energia solar. c) Si de cara a l'any següent l'aportació solar augmentés en una meitat més (és a dir, un factor de $\frac{3}{2}$) respecte a la seva quota actual i les altres renovables mantinguessin les seves fraccions idèntiques, demostra mitjançant el càlcul amb fraccions si la suma de totes les energies renovables assoliria o no els $\frac{3}{4}$ de la demanda total del país.