Exercicis: Nombres enters

Avalua la següent expressió combinada respectant la jerarquia de les operacions:

$5 - [ 3 - ( -4 + 7 ) \cdot 2 ] + (-8) : 4$

Calcula el valor numèric de la següent expressió que conté valors absoluts:

$|-15 + 8| - |3 - 9| + |-2|$

Determina el signe i calcula el valor exacte de les següents potències de nombres enters:

• $(-2)^4$

• $(-3)^3$

• $-5^2$

• $(-1)^{15}$

Un congelador industrial es troba a una temperatura de $-18$ °C. Si per una fallada elèctrica la temperatura puja $5$ °C i, després de reparar-ho, els motors aconsegueixen baixar-la $12$ °C, quina és la temperatura final del congelador?

En Lucas ha intentat resoldre a la pissarra la següent operació combinada: $15 - (7 - 12) + (-3)^2$. El seu desenvolupament ha estat:

$15 - (7 - 12) + (-3)^2 = 15 - 7 - 12 - 9 = 8 - 12 - 9 = -13$

Tot i això, el seu professor li ha indicat que el resultat és incorrecte perquè ha comès dos errors conceptuals greus sobre les regles dels nombres enters.

1. a) Identifica les dues errades comeses per en Lucas i explica raonadament per què contradiuen les regles dels signes davant d'un parèntesi i el càlcul de potències de base negativa.
2. b) Resol l'operació de manera correcta pas a pas.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) va registrar a l'estació meteorològica de Pradollano (Sierra Nevada, Granada) una temperatura de $-6$ °C a les 07:00 h. Al llarg del dia es van registrar les següents variacions tèrmiques consecutives: al migdia la temperatura va pujar $9$ °C, a mitja tarda va baixar $4$ °C a causa d'una massa d'aire humit, en fer-se fosc va caure bruscament $7$ °C i, durant la nit, el vent la va fer baixar uns altres $2$ °C addicionals.

1. a) Escriu una única expressió aritmètica amb nombres enters que representi tots els canvis de temperatura soferts a l'estació.
2. b) Calcula la temperatura final que marca el termòmetre en acabar la nit.
3. c) Si l'estació hivernal activa l'alerta per gelada severa quan la temperatura baixa per sota de $-8$ °C, es va arribar a activar aquesta alerta al final de la nit? Justifica la teva resposta comparant els nombres enters corresponents.

El saldo d'un compte bancari a principis de mes és de $-150$ €. Al llarg de la setmana es realitzen els moviments següents: un ingrés en efectiu de $400$ €, el cobrament d'un rebut de llum de $85$ €, una transferència emesa de $230$ € i el càrrec d'una comissió de manteniment de $12$ €. Planteja l'operació combinada i determina el saldo final del compte.

Un dron submarí realitza una exploració oceànica. Inicia la immersió baixant $45$ m des de la superfície. Després descendeix $120$ m més per investigar una esquerda. Després de prendre mostres, ascendeix $85$ m i s'atura a fotografiar un coral. Finalment, descendeix $30$ m més per tornar al fons. A quina profunditat es troba respecte del nivell del mar?

Resol la següent operació combinada parant especial atenció als claudàtors i a les potències de base negativa:

$12 - [(-2)^3 + 5 \cdot (-3)] : (-1) + (-4)^2$

En un torneig de bàsquet, la classificació es decideix pel basquetavaratge (diferència entre punts anotats i punts rebuts). En els primers quatre partits, els resultats d'un equip van ser: $75-82$, $90-85$, $68-77$ i $85-80$. Expressa el balanç de cada partit amb un nombre enter i calcula el balanç total de l'equip en acabar la quarta jornada.

Una família de Saragossa revisa els moviments bancaris del seu compte corrent durant l'últim mes. El saldo inicial era de $+380$ €. Al llarg del mes es registren els següents apunts: l'ingrés d'una nòmina per $+1420$ €, el pagament del lloguer per $-690$ €, un rebut d'electricitat de $-185$ €, una despesa acumulada en alimentació de $-310$ €, l'abonament d'una devolució tributària de $+195$ € i la reparació urgent d'una caldera per $-820$ €.

1. a) Abans de calcular el resultat exacte, fes una estimació arrodonint cada quantitat a la centena més propera. Determina, a partir de la teva estimació, si la família acabarà el mes amb saldo positiu o en números vermells (saldo negatiu).
2. b) Planteja la suma de nombres enters amb els valors exactes i calcula el saldo final del compte.
3. c) Compara el saldo exacte obtingut amb la teva estimació prèvia i valora si estimar abans de calcular ha estat útil i encertat per anticipar la situació financera de la família.

Per calcular el valor de l'expressió $-3 \cdot [4 - (-5 + 9) \cdot 2 - 7]$, dos estudiants de 4t d'ESO proposen estratègies diferents:

• Estratègia de la Marina: Opera primer de dins cap a fora; és a dir, resol el parèntesi interior $(-5 + 9)$, efectua la multiplicació per $2$, opera les sumes i restes de dins del claudàtor i, finalment, multiplica el resultat obtingut per $-3$.

• Estratègia d'en Sergio: Aplica la propietat distributiva eliminant directament el claudàtor, multiplicant cadascun dels termes interiors per $-3$ abans de resoldre l'interior.

1. a) Resol l'operació seguint amb rigor l'estratègia de la Marina.
2. b) Resol l'operació seguint l'estratègia d'en Sergio, parant una atenció especial al signe de cada producte.
3. c) Raona quina de les dues estratègies resulta més convenient i menys propensa a cometre errors de signes en aquest cas concret, justificant la teva elecció en funció de la jerarquia de les operacions.

La ciutat de Roma va ser fundada tradicionalment l'any $753$ aC i l'Imperi Romà d'Occident va caure l'any $476$ dC. Tenint en compte que en el calendari històric gregorià no existeix l'any $0$ (es passa directament del $1$ aC al $1$ dC), planteja una operació amb nombres enters per calcular quants anys van transcórrer exactament entre tots dos esdeveniments històrics.

Un programa informàtic modifica un comptador $C$ (el valor inicial del qual és $C = 0$) mitjançant un bucle que es repeteix $100$ vegades (iteracions numerades del $1$ al $100$). En les iteracions parells, el programa suma $5$ al comptador; en les iteracions senars, resta $8$. Planteja una expressió amb nombres enters que modeli el procés i calcula quin serà el valor exacte del comptador $C$ en acabar les $100$ iteracions.

Dissenya una expressió aritmètica combinada que compleixi simultàniament tots els requisits següents:

1. Ha d'utilitzar exactament quatre nombres enters diferents, dels quals almenys dos han de ser estrictament negatius.

2. Ha de contenir obligatòriament una potència de base negativa amb exponent parell, de la forma $(-a)^2$, i un valor absolut $|b - c|$ on la resta interior doni un resultat negatiu abans d'aplicar les barres de valor absolut.

3. Ha d'incloure almenys una multiplicació i una resta que quedi fora del valor absolut i del parèntesi de la potència.

4. En resoldre l'expressió respectant la jerarquia de les operacions, el resultat final ha de ser exactament $-16$.

Escriu l'expressió completa que has dissenyat i demostra, resolent-la pas a pas, que compleix cadascuna de les condicions exigides.

En un projecte interdisciplinari d'Història i Matemàtiques s'investiguen tres fites arqueològiques clau de la península Ibèrica:

1. El final del setge celtiber de Numància (Sòria) va tenir lloc l'any $133$ aC.

2. La fundació oficial de la colònia romana de Caesaraugusta (actual Saragossa) va tenir lloc l'any $14$ aC.

3. La inauguració de l'aqüeducte de Segòvia durant el període imperial se situa l'any $112$ dC.

Tenint en compte que en la datació històrica convencional no existeix l'any $0$ (de l'any $1$ aC es passa directament a l'any $1$ dC):

1. a) Modela mitjançant nombres enters i calcula quants anys van transcórrer entre la caiguda de Numància i la fundació de Caesaraugusta.
2. b) Modela i calcula quants anys van transcórrer entre la fundació de Caesaraugusta i la inauguració de l'aqüeducte de Segòvia, justificant matemàticament per què cal restar $1$ en calcular la distància temporal entre dates aC i dC.
3. c) Un fullet turístic afirma que entre la caiguda de Numància i la inauguració de l'aqüeducte de Segòvia van transcórrer exactament $133 + 112 = 245$ anys. Explica per què aquest càlcul és incorrecte, formula l'operació matemàtica adequada i troba el nombre exacte d'anys transcorreguts.