Exercicis: Nombres racionals (les fraccions)

Simplifica la següent fracció fins a obtenir la seva fracció irreductible: $\frac{1260}{1500}$.

Realitza la següent operació combinada amb fraccions i simplifica el resultat: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Expressa el nombre decimal periòdic pur $3,\overline{45}$ en forma de fracció irreductible.

Sense realitzar la divisió, determina quines de les fraccions següents donaran lloc a un nombre decimal exacte i quines a un nombre decimal periòdic, justificant la teva resposta mitjançant la factorització dels denominadors: $\frac{13}{40}$, $\frac{5}{21}$, $\frac{27}{250}$.

Observa la següent recta numèrica. Identifica quins nombres racionals (en forma de fracció irreductible) corresponen als punts marcats amb les lletres A, B i C.

La Marta afirma el següent a classe: «Per saber quin tipus de decimal genera la fracció $\frac{21}{750}$, descomponc directament el seu denominador: com que $750 = 2 \cdot 3 \cdot 5^3$, apareixen els factors $2$ i $5$, però com que també hi ha el factor $3$, la fracció genera amb total seguretat un nombre decimal periòdic mixt». Sense calcular la divisió manual: a) Identifica l'error conceptual que ha comès la Marta en analitzar la fracció. b) Explica detalladament per què la seva deducció ha fallat i mostra els passos correctes per classificar el nombre decimal que genera aquesta fracció.

El Ministeri de Transports i Mobilitat Sostenible d'Espanya va finançar una campanya de bitllets de transport per a joves dotada amb una partida pressupostària fixa. Durant el primer mes d'aplicació es van consumir els $\frac{3}{10}$ del pressupost total. El segon mes es va gastar exactament la meitat dels diners que quedaven després del primer mes. Després d'aquests dos mesos, la campanya va finalitzar amb un romanent sobrant de $63\,000$ euros. a) Modela la situació calculant pas a pas la fracció irreductible del pressupost total que representen els diners sobrants. b) Determina l'import total en euros que es va assignar inicialment a la campanya. c) Raona quin dels dos mesos va registrar una despesa més gran en bitllets.

Un empleat destina $\frac{1}{4}$ del seu sou mensual al pagament del lloguer del seu habitatge i $\frac{2}{5}$ de la resta a despeses d'alimentació i subministraments. Si després de realitzar aquests pagaments li queden $810$ euros al seu compte, quin és el seu sou mensual total?

Un embassament destinat al regadiu estava ple fins a les $\frac{7}{8}$ parts de la seva capacitat total. Després d'una setmana d'intensa sequera, s'evapora i es consumeix una quantitat d'aigua equivalent a $\frac{1}{5}$ de la capacitat total de l'embassament. Posteriorment, unes pluges fortes afegeixen una quantitat d'aigua igual a $\frac{1}{4}$ de l'aigua que quedava en aquell moment. Si la capacitat total de l'embassament és de $1200$ hectómetres cúbics, quina fracció de la capacitat total de l'embassament està plena ara i quants hectómetres cúbics conté?

Una pilota de goma especial per a experiments de física es deixa caure des d'una altura inicial de $10$ metres. Després d'impactar contra terra, a cada rebot aconsegueix una altura igual als $\frac{3}{4}$ de l'altura aconseguida en el rebot immediatament anterior. Quina altura aconsegueix la pilota després del tercer rebot? Expressa el resultat final primer en forma de fracció irreductible i després com a nombre decimal.

Es busca una fracció irreductible pròpia i positiva $\frac{a}{b}$ que compleixi alhora les tres condicions següents: 1) El seu valor decimal està comprès estrictament entre $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{3}$. 2) El seu denominador $b$ és un nombre de dues xifres menor que $20$. 3) En convertir-la a nombre decimal, dóna com a resultat un decimal periòdic mixt la part no periòdica del qual (anteperíode) té una sola xifra. a) Raona quins factors primers obligatoris ha de tenir el denominador $b$ i per què no es poden cancel·lar amb el numerador $a$. b) Troba una fracció que compleixi totes les condicions i comprova pas a pas que satisfà els requisits.

En una comarca agrícola del sud d'Espanya, una bassa comunitària per a regadiu es trobava a principis d'estiu plena fins als $\frac{4}{5}$ de la seva capacitat total. Durant una onada de calor registrada per l'AEMET, els agricultors van consumir $\frac{3}{8}$ de l'aigua que contenia la bassa en tasques de reg per degoteig. Dies després, una tempesta va descarregar aportant un volum d'aigua equivalent a $\frac{1}{10}$ de la capacitat total de la bassa. a) Abans d'operar amb fraccions exactes, estima raonadament si després d'aquests dos esdeveniments la bassa quedarà per sobre o per sota de la meitat de la seva capacitat, justificant la teva predicció. b) Calcula amb exactitud la fracció irreductible de la capacitat total que conté la bassa després de la tempesta. c) Compara el teu resultat amb l'estimació prèvia i valora si el valor obtingut és coherent.

Un mecanisme de rellotgeria consta d'un sistema de tres engranatges A, B i C connectats en sèrie (A mou B, i B mou C). L'engranatge A té $12$ dents, l'engranatge B té $18$ dents i l'engranatge C té $30$ dents. Sabent que el nombre de voltes que dona un engranatge és inversament proporcional al seu nombre de dents, si l'engranatge A gira exactament $\frac{15}{4}$ de volta, quina fracció de volta donarà l'engranatge C?

En el disseny arquitectònic d'un mosaic, es dibuixa un quadrat inicial d'àrea $1 \text{ m}^2$. A dins, s'hi inscriu un segon quadrat unint els punts mitjans dels costats del primer. Aquest procés geomètric es repeteix per dibuixar un tercer quadrat inscrit en el segon, i un quart quadrat inscrit en el tercer. Quina fracció de l'àrea del primer quadrat representa l'àrea compresa exclusivament entre el tercer i el quart quadrat?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per esbrinar si l'expressió $E = \left(\frac{7}{12} - \frac{1}{8}\right) \cdot \frac{6}{25}$ genera un decimal exacte, periòdic pur o periòdic mixt sense fer la divisió decimal, dos estudiants trien estratègies diferents: la Lucía decideix fer primer la resta del parèntesi calculant el mínim comú múltiple tradicional, multiplicar després en línia, simplificar dividint entre el m.c.d. al final i factoritzar el denominador obtingut. En Marcos, en canvi, opta per descompondre en factors primers tots els termes des del principi i simplificar factors comuns abans de fer qualsevol producte de nombres grans. a) Resol l'exercici seguint amb detall cadascun dels dos mètodes i classifica el decimal resultant. b) Avalua els avantatges i inconvenients de tots dos camins i justifica quin dels dos mètodes resulta més eficaç si treballessis amb fraccions els termes de les quals tinguessin nombres de tres o quatre xifres.

Segons estudis de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre pressupostos familiars, una llar mitjana distribueix els seus ingressos mensuals de la forma següent: reserva $\frac{3}{8}$ del sou per pagar el lloguer de l'habitatge; dels diners restants, destina $\frac{2}{5}$ a alimentació i subministraments; amb el que encara li queda, n'aparta $\frac{1}{3}$ per a imprevistos i emergències; finalment, dedica $\frac{1}{4}$ dels diners restants finals a plans d'estalvi, quedant-li un saldo lliure de $315$ euros per a lleure. a) Planteja les operacions encadenades necessàries per determinar quina fracció irreductible del sou total representen aquests $315$ euros. b) Calcula el salari total mensual de la família i l'import exacte en euros que gasta al mes en el lloguer. c) Un familiar afirma: «Si sumem les fraccions gastades $\frac{3}{8} + \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, obtenim més d'$1$, per la qual cosa la família hauria gastat més diners dels que ingressa». Explica amb rigor l'error matemàtic d'aquest raonament.