Exercicis: Nombres decimals

Classifica els nombres decimals següents indicant si són exactes, periòdics purs, periòdics mixtos o irracionals:

• $A = 3,14159$

• $B = 2,\widehat{7}$

• $C = 0,1\widehat{23}$

• $D = 1,010010001\dots$

Sense realitzar la divisió, determina el tipus d'expressió decimal (exacta, periòdica pura o periòdica mixta) que correspon a cadascuna de les fraccions següents, analitzant els factors primers dels seus denominadors:

• $\frac{7}{20}$

• $\frac{5}{21}$

• $\frac{11}{6}$

Calcula la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals periòdics purs següents:

• $3,\widehat{45}$

• $0,\widehat{7}$

• $12,\widehat{3}$

Determina la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals periòdics mixtos següents:

• $0,2\widehat{71}$

• $1,0\widehat{5}$

• $3,12\widehat{4}$

En Marcos ha de classificar el tipus de nombre decimal que genera la fracció $\frac{27}{150}$ sense fer la divisió. A la seva llibreta escriu:

«Descomponc el denominador en factors primers: $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$. Com que hi apareixen el $2$ i el $5$, però també hi ha el factor primer $3$, la fracció genera obligatòriament un nombre decimal periòdic mixt».

Tanmateix, en posar $\frac{27}{150}$ a la calculadora, la pantalla mostra $0,18$, que és un decimal exacte.

1. a) Troba l'error que ha comès en Marcos i explica quin pas teòric imprescindible va oblidar fer abans de factoritzar el denominador.
2. b) Corregeix el procediment d'en Marcos amb la fracció $\frac{27}{150}$ i demostra formalment per què resulta ser un decimal exacte.
3. c) Aplica el procediment correcte per determinar, sense efectuar la divisió, quin tipus de nombre decimal genera la fracció $\frac{21}{280}$.

Tres estudiants que comparteixen pis a Granada decideixen comprar per internet un abonament trimestral conjunt per a l'autobús urbà. L'abonament costa exactament $68\text{ \euro}$ en total i acorden pagar cadascun un terç de l'import.

1. a) Abans de calcular amb precisió, fes una estimació mental: entre quins dos nombres enters d'euros s'ha de situar l'aportació individual? Dóna una primera aproximació raonada incloent-hi cèntims.
2. b) Expressa l'aportació exacta de cadascun mitjançant una fracció irreductible i obtén el seu desenvolupament decimal. Quin tipus de decimal és? Justifica la teva resposta analitzant els factors primers del denominador.
3. c) Si cada estudiant fa una transferència per Bizum de $22,66\text{ \euro}$, es cobreix el preu total de l'abonament? Quant sobra o quant falta? Valora si la teva estimació inicial era encertada i reflexiona sobre el problema que sorgeix en intentar pagar amb diners reals (monedes i cèntims) una quantitat periòdica.

Realitza la següent operació combinada passant prèviament els nombres decimals a la seva fracció generatriu. Expressa el resultat final com a fracció irreductible i com a nombre decimal:

$1,\widehat{3} + 0,\widehat{5} - 0,1\widehat{6}$

Determina el valor o els valors que pot prendre la xifra $x$ (de $0$ a $9$) perquè la fracció $\frac{x}{15}$ generi un nombre decimal exacte. Raona la teva resposta basant-te en la descomposició factorial del denominador.

En un habitatge de Sevilla acollit a la tarifa regulada d'electricitat (PVPC), el desglossament del consum d'un mes reflecteix els costos següents segons el tram horari: període vall $12,\widehat{4}\text{ \euro}$, període pla $21,\widehat{4}\text{ \euro}$ i període punta $33,\widehat{4}\text{ \euro}$. A més, disposen d'un descompte social que resta $5,\widehat{1}\text{ \euro}$ a la factura.

Per calcular el cost net total abans d'impostos, a la família proposen dos mètodes de càlcul:

• Mètode 1: Arrodonir cadascun dels quatre imports al cèntim més proper ($12,44\text{ \euro}$, $21,44\text{ \euro}$, etc.) i operar directament amb els decimals arrodonits.

• Mètode 2: Obtenir la fracció generatriu irreductible de cada terme, operar amb fraccions i arrodonir al cèntim únicament el resultat final.

1. a) Aplica el Mètode 1 i calcula el cost net resultant.
2. b) Aplica el Mètode 2 calculant les fraccions generatrius i operant amb elles.
3. c) Compara ambdós resultats numèrics. Coincideixen al cèntim o es produeix alguna discrepància? Justifica quin dels dos mètodes és el correcte i argumenta per què en els sistemes informàtics bancaris o de facturació mai no s'han d'arrodonir els imports intermedis.

Volem trobar una fracció pròpia positiva i irreductible $\frac{a}{b}$ (amb $a < b$) que compleixi les condicions simultànies següents:

1. El seu desenvolupament decimal és un nombre periòdic mixt de la forma $0,1\widehat{y}$ (un anteperíode d'una xifra que val $1$ i un període d'una sola xifra desconeguda $y$).

2. El denominador $b$ és un nombre natural de dues xifres estrictament menor que $16$.

1. a) Escriu la fórmula teòrica de la fracció generatriu per a un nombre de la forma $0,1\widehat{y}$ sense simplificar. A partir del seu denominador, dedueix quins factors primers pot tenir $b$ perquè el nombre sigui periòdic mixt i per què $b$ ha de ser obligatòriament un divisor de $90$.
2. b) Comprova els nombres de dues xifres menors que $16$ i identifica l'únic valor possible per al denominador $b$.
3. c) Amb el valor de $b$ trobat, determina quina xifra ha de ser $y$ perquè el numerador $a$ sigui un nombre enter i la fracció sigui irreductible. Comprova el resultat final dividint $a$ entre $b$.

Troba la xifra que ocupa la posició decimal número $250$ en el desenvolupament decimal de la fracció $\frac{3}{13}$. Raona els passos seguits per trobar el període i calcular la posició.

Dos vehicles es desplacen en línia recta. El vehicle A té una velocitat constant de $33,\widehat{3}$ m/s, mentre que el vehicle B viatja a $120$ km/h. Si tots dos mantenen la seva velocitat durant exactament $1,5$ hores, calcula la diferència exacta en metres de la distància recorreguda per tots dos. Treballa amb fraccions per evitar errors d'arrodoniment.

Observa el diagrama que il·lustra el procés d'encaixos successius per localitzar un nombre irracional a la recta real. Sabent que el procés continua infinitament, determina a quin nombre irracional famós s'estan aproximant els intervals i escriu un interval d'amplitud $0,001$ que contingui aquest nombre.

Segons l'Enquesta d'Ocupació Hotelera de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), durant un cap de setmana festiu en una localitat costanera amb $1\,300$ places hoteleres ofertades, es van registrar $400$ pernoctacions de turistes estrangers. La proporció d'ocupació estrangera respecte a la capacitat total va ser, per tant, $\frac{400}{1\,300} = \frac{4}{13}$.

1. a) Sense fer la divisió, justifica de manera raonada quin tipus de nombre decimal representa la fracció irreductible $\frac{4}{13}$ analitzant la descomposició factorial del seu denominador.
2. b) Efectua la divisió $4 : 13$ fins a obtenir el període complet. Expressa el resultat utilitzant la notació periòdica (amb arc) i indica la longitud d'aquest període.
3. c) El departament d'estadística del municipi utilitza un codi de validació digital basat en els decimals d'aquesta proporció: el codi correspon a la xifra que ocupa la posició decimal número $2\,025$ després de la coma. Troba raonadament quina és aquesta xifra explicant amb claredat el significat del quocient i del residu de la divisió sencera que utilitzis per trobar-la.

Un tren de la línia C-1 de Renfe Rodalies fa el trajecte de $35\text{ km}$ entre dues estacions en exactament $33\text{ minuts}$.

1. a) Calcula la velocitat mitjana del tren en quilòmetres per hora ($\text{km/h}$) expressada com una fracció irreductible $\left(\text{recorda que } 33\text{ minuts} = \frac{33}{60}\text{ hores}\right)$.

1. b) Classifica el tipus de decimal que genera aquesta fracció analitzant els factors primers del denominador i escriu el seu valor exacte amb la notació de periodicitat.

1. c) Al centre de control de trànsit ferroviari s'avaluen dues opcions per al programari d'estimació de distàncies recorregudes en trajectes llargs:

• Opció A: El programari emmagatzema i calcula la velocitat arrodonida a les centèsimes ($63,64\text{ km/h}$).

• Opció B: El programari emmagatzema i calcula la velocitat amb la fracció irreductible exacta obtinguda a l'apartat a).

Calcula la distància teòrica total que registraria cada opció després de $165\text{ hores}$ de circulació acumulada d'aquesta unitat. Quin desfasament o error en quilòmetres dona l'Opció A respecte a l'Opció B? Raona la importància de treballar amb fraccions generatrius en el programari de control enfront de les aproximacions decimals.

Repte del tema. Converteix-te en analista climàtic investigant com es manifesten els conjunts numèrics en el temps atmosfèric del nostre país.

1. Recollida de dades. Entra al web d'AEMET i anota les dades de 3 municipis diferents: temperatures màxima i mínima d'un dia fred (assegura't d'incloure'n alguna sota zero) i el recompte de dies de pluja de l'últim mes (nombre natural, $\mathbb{N}$).

2. Full de càlcul i operacions. Construeix una taula i calcula:

• L'amplitud tèrmica de cada localitat restant temperatures (operacions a $\mathbb{Z}$ i decimals).

• La fracció irreductible que representen els dies plujosos sobre el total de dies del mes (nombre racional, $\mathbb{Q}$) i obtén la seva expressió decimal exacta o periòdica.

• La temperatura mitjana de les mínimes operant amb fraccions i arrodonint a les dècimes.

3. Informe raonat. En un document breu (màxim una pàgina), exposa les teves taules i classifica cada resultat a $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ justificant per què pertanyen a cada conjunt. Conclou argumentant quin municipi presenta condicions més extremes.

Es valorarà:

• Recollida rigorosa de dades reals a AEMET i ús ordenat del full de càlcul.

• Exactitud en les operacions amb enters, fraccions i expressions decimals usant coma decimal (ex. $-2,4$ o $15,6$).

• Identificació i classificació correcta dels valors en els conjunts $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$.

• Coherència i claredat argumentativa en les conclusions de l'informe.