Exercicis: Vectors

Un alumne ha calculat les components del vector que va des del punt $A(2, -5)$ fins al punt $B(-1, 4)$ realitzant l'operació $A - B$, obtenint el vector $(3, -9)$. Indica quin és l'error conceptual comès i calcula les vertaderes components del vector $\vec{AB}$.

Ats els punts $A(-2, 5)$ i $B(4, -3)$, calcula les coordenades del vector $\vec{AB}$ i el seu mòdul.

Siguin els vectors $\vec{u} = (3, -1)$ i $\vec{v} = (-2, 4)$. Calcula les coordenades del vector resultant de l'operació $3\vec{u} - 2\vec{v}$.

Calcula les coordenades del punt mitjà del segment d'extrems $P(7, -2)$ i $Q(-3, 6)$.

Troba la distància entre els punts $C(-1, -4)$ i $D(5, 4)$.

Comprova analíticament si els vectors $\vec{a} = (6, -9)$ i $\vec{b} = (-4, 6)$ són paral·lels (linealment dependents).

Calcula el producte escalar dels vectors $\vec{p} = (5, 2)$ i $\vec{q} = (-3, 4)$.

Atès el punt $A(1, 4)$ i el punt mitjà $M(3, -1)$ del segment $AB$, troba les coordenades de l'extrem $B$.

Determina mitjançant el producte escalar si els vectors $\vec{m} = (4, 6)$ i $\vec{n} = (-3, 2)$ són perpendiculars.

En Marcos vol comprovar si la trajectòria d'un dron representada pel vector $\vec{u} = (4, -3)$ i una ràfega de vent $\vec{v} = (6, 8)$ formen un angle recte (és a dir, si són perpendiculars). Al seu examen escriu el següent:

«$\vec{u} \cdot \vec{v} = (4 \cdot 6, -3 \cdot 8) = (24, -24)$. Com que el resultat no és $(0, 0)$, els vectors no són perpendiculars.»

1. a) Localitza i explica els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos: un sobre la naturalesa del producte escalar i un altre sobre el resultat final de la perpendicularitat.
2. b) Fes el càlcul correcte del producte escalar i determina de manera raonada si les direccions del dron i del vent són o no perpendiculars.

Un petit pesquer navega a prop del Delta de l'Ebre. El seu motor li proporciona una velocitat descrita pel vector $\vec{v}_m = (12, 5)$ en nusos (milles per hora, on l'eix horitzontal apunta a l'est i el vertical al nord). En aquest instant, entra un vent de Mestral registrat per l'AEMET que exerceix sobre l'embarcació una velocitat afegida donada pel vector $\vec{v}_w = (4, -5)$ nusos.

1. a) Sense fer operacions complexes, estima raonadament què passarà amb el desplaçament nord-sud del vaixell en combinar-se ambdós efectes i si la velocitat final del pesquer serà més gran o més petita que els $13$ nusos que proporcionava únicament el motor.
2. b) Comprova la teva estimació calculant el vector de velocitat resultant $\vec{v}_r = \vec{v}_m + \vec{v}_w$ i el seu mòdul exacte. Explica el significat físic del resultat obtingut respecte a la teva predicció.

Dos avions parteixen d'un mateix punt amb trajectòries rectilínies descrites pels vectors $\vec{v_1} = (120, 160)$ i $\vec{v_2} = (200, -150)$ (en km/h). Calcula l'angle que formen les seves trajectòries.

Sobre un objecte puntual actuen tres forces representades pels vectors $\vec{F_1} = (15, -10)$, $\vec{F_2} = (-5, 25)$ i $\vec{F_3} = (-4, -3)$ en Newtons. Calcula el vector de la força resultant i determina el seu mòdul.

Troba el valor (o valors) de $k$ perquè el mòdul del vector $\vec{v} = (k, -8)$ sigui exactament $10$.

Un dron es desplaça en línia recta des del punt $A(-4, 2)$ fins al punt $B(8, 14)$ en un mapa de coordenades en metres. Si fa una parada exactament a un terç del recorregut des del punt de partida $A$, en quines coordenades exactes s'atura?

Perquè dues bigues d'una estructura d'acer es creuin en angle recte, els seus vectors directors han de ser perpendiculars. Si la primera biga segueix la direcció $\vec{u} = (k-1, 3)$ i la segona $\vec{v} = (4, k)$, calcula el valor del paràmetre $k$.

En un camp de futbol modelitzat en un pla cartesià, un jugador està en la posició $J(-12, 5)$ i la pilota en $B(18, -11)$ (mides en metres). Calcula la distància en línia recta entre el jugador i la pilota, i les coordenades del punt exacte on el jugador haurà recorregut la meitat del camí cap a la pilota.

Tres satèl·lits de telecomunicacions es troben en les posicions orbitals $S_1(-2, 3)$, $S_2(1, 7)$ i $S_3(7, 15)$. Comprova analíticament si estan alineats en la mateixa trajectòria.

En un motor de videojocs, un personatge es mou en la direcció del vector $\vec{d} = (3, -4)$. El programador necessita generar un vector perpendicular a la trajectòria del personatge, però que tingui un mòdul de $15$ unitats. Troba les coordenades dels dos possibles vectors que compleixen aquesta condició.

En un simulador nàutic necessites programar dos vectors de propulsió, $\vec{a}$ i $\vec{b}$, que interactuen amb un corrent marí donat pel vector $\vec{u} = (4, -2)$. Has de determinar les components numèriques de $\vec{a}$ i $\vec{b}$ complint simultàniament aquestes tres condicions:

1) Cap de les components dels vectors pot ser igual a zero.

2) El vector $\vec{a}$ ha de ser perpendicular al corrent $\vec{u}$.

3) El vector $\vec{b}$ ha de tenir la mateixa direcció que $\vec{a}$, però sentit contrari i un mòdul que sigui exactament el triple del mòdul de $\vec{a}$.

Escriu les components d'una parella de vectors que compleixi aquestes condicions i justifica pas a pas com has deduït cadascuna a partir de les propietats geomètriques dels vectors.

Una furgoneta de missatgeria ecològica reparteix paquets a l'àrea metropolitana de Madrid partint de la central logística a Coslada. El seu primer trajecte ve donat pel vector $\vec{d}_1 = (6, 8)$ (en quilòmetres, on l'eix $X$ representa l'avanç cap a l'est i l'eix $Y$ cap al nord). Des d'allà, fa un segon desplaçament $\vec{d}_2 = (-2, 4)\text{ km}$ fins a l'últim lliurament.

1. a) Modela el trajecte total determinant el vector desplaçament resultant $\vec{d}_{\text{total}}$ des de la central fins al punt final i calcula a quina distància en línia recta es troba de la base.
2. b) Per tornar directament a la central sense parades, quin vector de retorn $\vec{d}_{\text{regreso}}$ ha de marcar el navegador? Justifica quina relació tenen el seu mòdul, direcció i sentit respecte a $\vec{d}_{\text{total}}$.
3. c) Un dron de supervisió parteix de la central seguint la ruta marcada pel vector $\vec{w} = (6, -2)$. Determina mitjançant el producte escalar si la trajectòria del dron és perpendicular a la ruta de tornada directa de la furgoneta.

Quatre estaques marquen els vèrtexs d'una parcel·la amb forma de paral·lelogram $ABCD$. Es coneixen les coordenades de tres d'elles: $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ i $C(5, 3)$. Calcula les coordenades de la quarta estaca $D$ sabent que és el vèrtex oposat a $B$.

Una màquina de tall làser ha de retallar una peça triangular amb vèrtexs a $P(-4, 2)$, $Q(2, 6)$ i $R(4, -1)$ (en cm). Demostra analíticament quin tipus de triangle és (equilàter, isósceles o escalè) i calcula el perímetre exacte de la peça.

Determina el valor de $m$ perquè els vectors $\vec{u} = (m, 1)$ i $\vec{v} = (2, -3)$ formin un angle exacte de $135^\circ$.

En un experiment físic, el desplaçament d'una partícula ve donat pel vector $\vec{w} = (11, -2)$. Expressa aquest vector com a combinació lineal dels vectors de les corrents dels fluids $\vec{u} = (3, 2)$ i $\vec{v} = (1, -4)$. És a dir, troba els escalars $x$ i $y$ tals que $\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}$.

Es vol instal·lar un router WiFi en un passadís rectilini que coincideix amb l'eix d'abscisses (eix X). El router ha d'estar exactament a la mateixa distància de dos ordinadors situats en els punts $A(-2, 5)$ i $B(4, 1)$. Calcula les coordenades exactes on s'ha de col·locar el router.

Atès el triangle de vèrtexs $A(-1, 0)$, $B(3, 2)$ i $C(1, 6)$, demostra utilitzant el producte escalar que és un triangle rectangle i, a continuació, calcula la seva àrea.

Un pont penjant té un cable recte que connecta el punt d'ancoratge $A(-6, 8)$ amb el pilar $B(10, -4)$ (en metres). Es volen col·locar tres llums separant el cable en quatre trams d'igual longitud. Calcula les coordenades dels tres punts d'il·luminació.

Una bola de billar xoca contra la banda de la taula. La trajectòria d'arribada està definida pel vector $\vec{v_i} = (4, -3)$. Si la banda és paral·lela a l'eix X, el vector de la trajectòria de sortida $\vec{v_f}$ tindrà la mateixa component X però la component Y oposada. Calcula l'angle exacte que formen els vectors de les trajectòries d'arribada i de sortida.

Per comprovar si el triangle de vèrtexs $A(-3, 1)$, $B(1, 4)$ i $C(-2, 8)$ té un angle recte al vèrtex $B$, dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Estratègia de la Carla: Calcular les longituds dels tres costats mitjançant els seus mòduls ($|\vec{AB}|$, $|\vec{BC}|$ i $|\vec{AC}|$) i verificar si es compleix el teorema de Pitàgores ($|\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2$).

• Estratègia de l'Hugo: Obtenir únicament els vectors dels costats concurrents a $B$, és a dir, $\vec{BA}$ i $\vec{BC}$, i calcular el seu producte escalar per veure si dóna zero.

1. a) Aplica totes dues estratègies pas a pas per resoldre la qüestió geomètrica.
2. b) Compara els dos procediments: quantes operacions intermèdies requereix cadascun? Justifica quina de les dues estratègies és més eficient, ràpida i menys propensa a errors de càlcul en treballar amb vectors.

El servei de Salvament Marítim a l'Estret de Gibraltar monitora al seu radar (amb distàncies en milles nàutiques) una pastera a la deriva que va sortir del punt $A(2, 3)$. A causa del corrent marí, la llanxa es desplaça cada hora segons el vector $\vec{c} = (3, 1)$.

1. a) Modela mitjançant operacions vectorials la posició $P$ en la qual es trobarà la llanxa després de $3$ hores de deriva ininterrompuda.
2. b) Des de l'estació costanera situada a $B(2, -6)$, una embarcació de rescat surt en l'instant de l'alarma per interceptar la llanxa al punt $P$ exactament en complir-se aquestes $3$ hores. Determina les components del vector desplaçament $\vec{s}$ que ha de completar el vaixell de salvament.
3. c) Sabent que la velocitat màxima del vaixell de rescat és de $5$ nusos ($5$ milles nàutiques per hora), calcula el mòdul de $\vec{s}$ i justifica matemàticament si l'embarcació té prou potència per arribar a temps a la trobada. En quina direcció i sentit simplificat ha de posar rumb la tripulació?