Exercicis: Punt mitjà d'un segment

En determinar el punt mitjà $M$ del segment d'extrems $C(-4, 2)$ i $D(6, 8)$, un company ha restat les coordenades dels extrems i ha dividit entre dos: $M\left(\frac{6 - (-4)}{2}, \frac{8 - 2}{2}\right) = (5, 3)$. Corregeix aquest error comú i troba les coordenades correctes del punt mitjà.

Calcula les coordenades del punt mitjà del segment d'extrems $A(4, -2)$ i $B(-6, 8)$.

Troba el punt mitjà del segment els extrems del qual són els punts $C(-3, -5)$ i $D(-1, -9)$.

Determina les coordenades del punt mitjà del segment format pels punts $E\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ i $F\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)$.

El punt $M(1, 1)$ és el punt mitjà del segment d'extrems $A(-2, 3)$ i $B$. Calcula les coordenades de l'extrem $B$.

Troba les coordenades del punt simètric de $P(5, -2)$ respecte del punt $Q(0, 4)$.

Comprova matemàticament si el punt $M(2, -1)$ és vertaderament el punt mitjà del segment que uneix els punts $R(7, -5)$ i $S(-3, 3)$.

Calcula les coordenades del punt que divideix exactament per la meitat el segment que uneix l'origen de coordenades amb el punt $P(-14, 22)$.

Un telefèric connecta l'estació base situada en el punt $B(100, 200)$ amb el cim de la muntanya en el punt $P(500, 800)$, en un pla coordenat. Troba les coordenades de la torre de suport intermèdia que s'ha de construir exactament a meitat de camí.

En Marcos ha de calcular les coordenades del punt mitjà del segment d'extrems $A(-6, 8)$ i $B(2, -4)$. En la seva llibreta escriu la resolució següent:

Identifica quin error conceptual ha comès en Marcos (amb quina altra fórmula o concepte de geometria analítica s'ha confós?), explica raonadament per què el seu resultat no té lògica visualitzant la posició de tots dos punts en el pla cartesià i calcula la solució correcta.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) projecta ubicar una estació pluviomètrica intermèdia exactament en el punt mitjà entre dos observatoris automàtics situats als municipis d'Almazán, $A(14, 32)$, i Sigüenza, $B(26, -4)$, on les coordenades venen donades en quilòmetres respecte al centre de coordinació comarcal.

1. a) Sense fer el càlcul numèric exacte de la fórmula, fes una estimació raonada: indica entre quins valors enters s'han de situar la coordenada $x$ i la coordenada $y$ de la nova estació, i dedueix en quin quadrant del mapa estarà situada.
2. b) Calcula les coordenades exactes del punt mitjà $M$.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era correcta i justifica si el resultat obtingut és coherent amb les posicions de tots dos municipis.

En el plànol urbanístic d'una ciutat, dues estacions de metro estan ubicades en les coordenades $A(-2,5; 4,8)$ i $B(7,3; -1,2)$. Els enginyers necessiten perforar un pou de ventilació exactament en el punt mitjà entre totes dues estacions. Calcula les coordenades exactes de dit pou.

El segment que uneix els punts $P(-4, 7)$ i $Q(8, 3)$ és el diàmetre d'una circumferència. Calcula les coordenades del centre de la circumferència i la longitud exacta del seu radi.

Tres dels vèrtexs d'un paral·lelogram $ABCD$ són $A(-1, -2)$, $B(4, -1)$ i $C(5, 3)$. Sabent que les diagonals d'un paral·lelogram es tallen en el seu punt mitjà, calcula les coordenades del quart vèrtex $D$.

El punt mitjà del segment els extrems del qual són $A(3m, n-2)$ i $B(m+4, 3n)$ és el punt $M(7, 5)$. Planteja un sistema d'equacions i calcula els valors dels paràmetres $m$ i $n$.

En un videojoc, un personatge travessa un portal de teletransport que funciona com un punt de simetria central ubicat a $M(15, 20)$. Si el personatge entra al portal des de la posició $C(5, 8)$, en quines coordenades reapareixerà? Si després de reaparèixer camina en línia recta fins a la posició $D(30, 40)$, quin és el punt mitjà d'aquest últim recorregut?

L'estructura d'un pont compta amb una biga diagonal que va des de l'ancoratge $A(2, 1)$ fins al node $B(14, 9)$, expressat en metres. Es necessita instal·lar un sensor de tensió exactament al centre de la biga. Calcula les coordenades del sensor.

Un triangle té com a vèrtexs els punts $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ i $C(2, 8)$. Calcula les coordenades dels punts mitjans dels seus tres costats. Després, troba el perímetre del nou triangle format per aquests punts mitjans i comprova que és exactament la meitat del perímetre del triangle original $ABC$.

En un model astronòmic bidimensional, un cometa és detectat en la posició $P_1(-300, 450)$ i diversos dies després en la posició $P_2(150, -150)$ (coordenades en milions de quilòmetres). Troba les coordenades del punt que es troba exactament a la meitat d'aquestes dues observacions. Després, calcula la distància des de l'origen de coordenades (on es troba el Sol) fins a dit punt mitjà.

Un operador de transport de mercaderies té ubicat el seu centre neuràlgic en la coordenada $M(3, -2)$ d'una quadrícula regional.

1. a) Una furgoneta de repartiment avariada es troba en el punt $A(-5, 4)$. Determina algebraicament les coordenades exactes del punt $B$ on s'ha de situar un vehicle d'assistència perquè el centre $M$ quedi exactament en el punt mitjà entre tots dos.
2. b) Planteja ara el problema de manera inversa i oberta: troba les coordenades de dos altres punts diferents, $C$ i $D$ (amb coordenades enteres i diferents de les anteriors), de manera que $M(3, -2)$ continuï sent el seu punt mitjà. Explica quina relació matemàtica general han de complir les sumes de les seves abscisses i de les seves ordenades perquè qualsevol parella de punts sigui vàlida.

El servei comarcal d'emergències sanitàries ha d'instal·lar una nova base d'ambulàncies de Suport Vital Bàsic per donar servei a dos centres de salut aïllats, ubicats en els punts $A(-14, 26)$ i $B(6, -8)$, amb coordenades en quilòmetres.

1. a) Per equitat territorial, la base $M$ s'ha de col·locar en el punt mitjà del segment que uneix tots dos centres. Calcula les coordenades de la base $M$.
2. b) El protocol comarcal estableix que una base d'ambulàncies només pot donar cobertura urgent addicional a una residència de gent gran situada a $R(-10, 15)$ si la distància en línia recta des de la base fins a la residència és inferior a $10\text{ km}$. Determina les components del vector $\vec{MR}$, calcula el seu mòdul i justifica raonadament si la residència quedarà dins del radi reglamentari de cobertura.

Atès un quadrilàter qualsevol amb vèrtexs a $A(-4, 2)$, $B(2, 6)$, $C(6, 0)$ i $D(0, -6)$. Calcula les coordenades dels punts mitjans dels seus quatre costats. A continuació, demostra matemàticament que el nou quadrilàter format en unir aquests punts mitjans és sempre un paral·lelogram.

Els extrems d'un segment són els punts $A(k^2, 3k)$ i $B(-4, k-8)$. Determina el valor o els valors del paràmetre $k$ per als quals el punt mitjà d'aquest segment coincideix exactament amb l'origen de coordenades.

Una màquina de tall làser realitza una incisió recta sobre una planxa de metall des del punt $P(-8, 10)$ fins al punt $Q(12, -6)$. El sistema necessita col·locar exactament tres reblons espaiats a la mateixa distància al llarg d'aquest tall (és a dir, dividint el segment en 4 parts iguals). Calcula les coordenades dels tres punts de rebló utilitzant successives vegades el concepte de punt mitjà.

Un punt $P(-2, 5)$ es reflecteix respecte del punt $M_1(1, 3)$ per obtenir un punt $P'$. Posteriorment, el punt $P'$ es reflecteix respecte del punt $M_2(4, -1)$ per obtenir un punt final $P''$. Calcula les coordenades de $P''$ i demostra que el vector translació $\vec{PP''}$ és exactament el doble del vector $\vec{M_1M_2}$.

En un experiment de física, es col·loquen quatre masses puntuals idèntiques en les coordenades $A(-4, 2)$, $B(2, 6)$, $C(4, -2)$ i $D(-2, -4)$. Per trobar el centre de masses del sistema complet, primer calcula el punt mitjà del segment $AB$ i el punt mitjà del segment $CD$. Després, calcula el punt mitjà del segment que uneix els dos punts mitjans anteriors. Quines són les coordenades del centre de masses del sistema?

El centre d'un rectangle se situa en el punt $M(3, 2)$. Es coneixen les coordenades de dos dels seus vèrtexs adjacents, que són $A(-1, -1)$ i $B(7, -1)$. Calcula les coordenades dels altres dos vèrtexs $C$ i $D$. Finalment, comprova analíticament que les dues diagonals del rectangle mesuren exactament el mateix.

El punt simètric de $A(x, y)$ respecte del punt $M(2, -3)$ és $A'$. Al seu torn, el punt simètric de $A'$ respecte del punt $N(-1, 4)$ és $A''$. Si sabem que les coordenades finals són $A'' = (5, 7)$, planteja les equacions corresponents i determina les coordenades del punt original $A$.

Sigui $A(-3, 4)$ un punt fix al pla. Un segon punt $B(x, y)$ es mou lliurement però mantenint-se sempre sobre la recta d'equació $y = 2x$. Expressa les coordenades del punt mitjà $M$ del segment $AB$ en funció de $x$. A partir d'aquí, dedueix quina és la relació algebraica (equació) que compleixen sempre les coordenades del punt $M$.

En una explotació agrícola de regadiu a Castella-la Manxa es delimita una parcel·la amb forma de paral·lelogram $ABCD$. Es registren amb GPS tres dels seus vèrtexs: $A(-3, 2)$, $B(5, 4)$ i $C(7, -2)$. Per trobar la posició del quart vèrtex $D$, dos tècnics proposen estratègies diferents:

• Tècnic 1: Trobar el punt mitjà $M$ de la diagonal coneguda $AC$ i, recolzant-se en la propietat que les diagonals es tallen en el seu punt mitjà, aïllar $D$ sabent que $M$ és també el punt mitjà de la diagonal $BD$.

• Tècnic 2: Igualar els vectors lliures de costats oposats paral·lels (per exemple, $\vec{AB} = \vec{DC}$, complint-se $B - A = C - D$) i aïllar directament les coordenades de $D$.

1. a) Aplica pas a pas tots dos mètodes per obtenir les coordenades de $D$ i comprova que tots dos camins condueixen al mateix resultat.
2. b) Compara els dos procediments: quin requereix menys passos de càlcul? Si a més la comunitat de regants necessita conèixer la ubicació exacta del centre geomètric de la parcel·la per perforar un pou d'abastament, quin dels dos mètodes aporta aquesta informació de manera directa? Justifica la teva resposta.

Un helicòpter de Salvament Marítim s'envola de la base costanera $A(-12, 18)$ per assistir un pesquer que emet un senyal d'auxili des del punt $B(8, -6)$ (coordenades expressades en milles nàutiques). Les instruccions de coordinació ordenen fondejar una balsa salvavides $Q$ exactament en el punt mitjà del trajecte entre la base i el pesquer.

1. a) Modela la situació calculant les coordenades exactes de la balsa intermèdia $Q$.
2. b) Suposa que, a causa del fort vent i d'una errada d'orientació, l'helicòpter sobrepassa la balsa $Q$ mantenint la mateixa línia recta i recorre més enllà de $Q$ exactament la mateixa distància que separa la base $A$ de la balsa $Q$, arribant al punt $A'$ (és a dir, el simètric de $A$ respecte a $Q$). Calcula les coordenades de $A'$ aplicant l'expressió $A' = 2Q - A$.
3. c) En observar el resultat numèric obtingut, un oficial de guàrdia afirma: «Qualsevol punt simètric respecte al punt mitjà d'un segment coincideix necessàriament amb l'altre extrem del segment». Demostra algebraicament (utilitzant lletres genèriques $A(a_1, a_2)$ i $B(b_1, b_2)$) si l'afirmació de l'oficial és una propietat matemàtica universal o si ha estat una simple casualitat de les coordenades d'aquest problema.