Exercicis: Pendent d'una recta

Per trobar el pendent de la recta que passa pels punts $P(1, 3)$ i $Q(4, 9)$, un estudiant ha dividit la diferència de les abscisses entre la diferència de les ordenades, i ha obtingut $m = \frac{4 - 1}{9 - 3} = \frac{1}{2}$. Explica per què aquest raonament és incorrecte i calcula el pendent real de la recta.

Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $A(-1, 4)$ i $B(3, -2)$.

Determina el pendent d'una recta el vector director de la qual és $\vec{v} = (5, -3)$.

Troba el pendent d'una recta sabent que forma un angle de $60^\circ$ amb el semieix positiu d'abscisses.

Indica quin és el pendent i l'ordenada a l'origen de la recta l'equació explícita de la qual és $y = \frac{3}{4}x - 5$.

Obtén el pendent de la recta donada per l'equació general $2x + 6y - 7 = 0$.

Una recta $r$ té com a pendent $m = -2$. Si la recta $s$ és paral·lela a $r$, quin és el pendent de $s$?

Es sap que una recta $r$ té com a vector director $\vec{v} = (1, 4)$. Determina el pendent de qualsevol recta que sigui perpendicular a $r$.

Durant una ruta de senderisme, un muntanyer comença en un refugi situat a $1200$ m d'altitud. Després d'avançar $4000$ m en distància horitzontal, arriba a un cim a $1800$ m d'altitud. Suposant que l'ascens es fa en línia recta, calcula el pendent del vessant de la muntanya.

En un exercici de classe, en Marcos ha de calcular el pendent de la rampa que uneix els punts $A(2, -1)$ i $B(6, 7)$. Al seu quadern escriu la resolució següent:

A partir de la seva resposta:

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos en aplicar la fórmula del pendent.
2. b) Calcula el valor correcte del pendent $m$ mostrant els passos ordenats.
3. c) A partir del signe del pendent que has corregit, raona si la rampa ascendeix o descendeix a mesura que ens desplacem d'esquerra a dreta en el pla.

En un tram de la carretera nacional N-630 al seu pas pel Puerto de Pajares (entre Astúries i Lleó), un senyal de perill de la Dirección General de Tráfico (DGT) adverteix d'una forta baixada amb un pendent del $-12\,\%$.

1. a) Si un vehicle avança una distància horitzontal de $250\text{ m}$ al llarg d'aquest tram, calcula quants metres descendeix en vertical.
2. b) Si prenem com a origen d'aquest tram el punt de coordenades $(0, 1378)$, on la segona coordenada representa l'altitud en metres sobre el nivell del mar, escriu l'equació de la recta $y = mx + n$ que modelitza el perfil altimètric de la calçada.
3. c) Utilitza l'equació anterior per determinar a quina altitud es trobarà el vehicle després d'avançar $600\text{ m}$ en horitzontal i explica quin significat pràctic té que el pendent sigui negatiu en la conducció.

Per complir amb la normativa d'accessibilitat, una rampa per a cadires de rodes no ha de superar un pendent del $8\%$. Si es necessita salvar un desnivell de $0,6$ m d'altura disposant d'un espai horitzontal de $8$ m, calcula el pendent de la rampa resultant en percentatge i raona si compleix la normativa.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta que passa pels punts $A(k, 2)$ i $B(4, -1)$ tingui un pendent $m = \frac{3}{2}$.

Determina el valor de $k$ sabent que la recta $r: 3x - ky + 2 = 0$ és paral·lela a la recta que passa pels punts $P(1, 5)$ i $Q(3, 9)$.

Calcula el valor de $a$ perquè la recta $r: 5x + 2y - 4 = 0$ sigui perpendicular a la recta $s: ax - 10y + 1 = 0$.

Una empresa compra maquinària industrial per $20000$ €. S'estima que el seu valor es deprecia linealment amb el temps, de manera que al cap de $6$ anys el seu valor serà de $5000$ €. Calcula el pendent de la recta que relaciona el valor de la màquina amb el temps transcorregut i interpreta el seu significat econòmic.

Un raig de llum làser incideix sobre un mirall pla situat sobre l'eix d'abscisses (eix X). Si el raig incident passa pel punt $A(-4, 5)$ i colpeja el mirall en l'origen de coordenades $(0,0)$, quin és el pendent de la recta que descriu la trajectòria del raig reflectit?

Calcula l'angle d'inclinació respecte del semieix positiu d'abscisses de la recta que passa pels punts $A(0, 2)$ i $B(3, 2+3\sqrt{3})$.

Un avió de passatgers inicia la seva maniobra de descens cap a l'aeroport quan es troba a una altitud de $4000$ m. Després de recorrer una distància horitzontal de $15$ km, la seva altitud s'ha reduït a $1000$ m. Si el descens manté una inclinació constant, calcula el pendent de la trajectòria de vol.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) analitza la variació de la temperatura amb l'altitud a Sierra Nevada durant un dia serè. A l'estació de Pradollano (a una altitud de $2100\text{ m}$) el termòmetre marca $13,5\,^\circ\text{C}$, mentre que a prop del pic Veleta (a $3300\text{ m}$) la temperatura descendeix fins als $5,1\,^\circ\text{C}$.

1. a) Abans de calcular res, estima raonadament el signe del pendent de la recta que relaciona la temperatura ($y$, en $^\circ\text{C}$) amb l'altitud ($x$, en metres), i valora si esperes que el valor absolut d'aquest pendent sigui més gran que $1$ o molt més proper a $0$. Justifica la teva previsió amb el sentit comú.
2. b) Modelitza la situació calculant el pendent exacte $m$ a partir de les dades registrades i expressa'l com la variació de temperatura per cada $100\text{ m}$ de desnivell positiu ascendit.
3. c) Comprova si el valor numèric obtingut és coherent amb la teva estimació prèvia i explica per què aquesta taxa de canvi és crucial per a un excursionista que planifica l'abric necessari per assolir el cim.

L'ajuntament d'una localitat projecta un parc infantil inclusiu amb una rampa accessible que parteix del terra en el punt $P(2, 0)$ i ha d'arribar a una plataforma de jocs recolzada en un pilar vertical situat a l'abscissa horitzontal $x = 10$ (mesures en metres).

1. a) La normativa d'accessibilitat estableix que el pendent de la rampa ha de ser exactament del $6\,\%$ ($m = 0,06$). Determina a quina alçada exacta $y$ s'ha de situar el punt d'ancoratge $Q(10, y)$ al pilar per complir aquesta condició.
2. b) Si per un error de replanteig a l'obra l'ancoratge es col·loca a una alçada de $0,8\text{ m}$, calcula el pendent resultant en percentatge i justifica raonadament si la rampa continuaria sent reglamentària o resultaria massa inclinada.
3. c) Sense necessitat de calcular l'equació explícita de la recta, troba les coordenades d'un punt intermedi $R$ de la rampa reglamentària la posició horitzontal de la qual sigui $x = 6\text{ m}$, justificant el teu raonament a partir de la definició de pendent com a avanç i pujada.

Determina el valor de $k$ perquè els punts $A(1, k)$, $B(k, 1)$ i $C(0, 3)$ estiguin alineats, utilitzant per a això el concepte de pendent.

Els vèrtexs d'un triangle són $A(-2, 5)$, $B(4, 1)$ i $C(2, -3)$. Calcula el pendent de la recta que conté l'altura corresponent al vèrtex $B$.

En el disseny d'una carretera, un tram d'ascens continu amb un pendent del $6\%$ connecta directament amb un tram de descens que té un pendent del $-4\%$. Calcula l'angle que meitat formen les rasants de tots dos trams en el punt de trobada.

Una circumferència té el centre en el punt $C(3, -2)$ i passa pel punt $P(6, 2)$. Sabent que la recta tangent a una circumferència en un punt és perpendicular al radi en aquest punt, troba el pendent de la recta tangent a la circumferència en el punt $P$.

Discuteix els valors que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè les rectes $r: kx - 2y + 4 = 0$ i $s: 8x - ky - 1 = 0$ siguin estrictament paral·leles.

Per maximitzar l'eficiència d'un panell solar, aquest s'ha d'instal·lar de forma perpendicular als raigs del sol en el moment de màxima radiació. En aquest instant, un post vertical de $3$ m d'altura projecta una ombra horitzontal de $4$ m sobre un terra pla. Calcula el pendent que ha de tenir l'estructura del panell solar.

Donada la recta $r: 2x + 7y - 5 = 0$, es considera un punt qualsevol $P$ del pla que no pertany a $r$. Si $P'$ és el punt simètric de $P$ respecte de la recta $r$, quin és el pendent del segment $\overline{PP'}$? Raona la teva resposta.

Troba la relació algebraica entre les coordenades $x$ i $y$ d'un punt $P(x,y)$ sabent que el pendent de la recta que uneix $P$ amb $A(5,0)$ multiplicat pel pendent de la recta que uneix $P$ amb $B(-5,0)$ dóna com a resultat $-1$. Quina figura geomètrica formen tots els punts $P$ que compleixen aquesta condició?

L'equip tècnic d'una empresa ferroviària valora tres propostes diferents per traçar una via de maniobres en una estació de mercaderies. En el plànol de l'oficina tècnica (amb coordenades en metres), les tres trajectòries venen descrites de la manera següent:

• Proposta A: donada per la seva equació general $4x + 125y - 500 = 0$.

• Proposta B: parteix del punt $P(20, 4)$ amb un vector director $\vec{v} = (50, -2)$.

• Proposta C: passa directament per dos pals de catenària situats a $A(0, 5)$ i $B(150, 1)$.

1. a) Determina el pendent $m$ de cada proposta utilitzant en cada cas el procediment més directe segons les dades ofertes (fórmula a partir de l'equació general, quocient de components del vector director o variació de coordenades entre dos punts). Justifica en cada cas per què aquest camí és preferible i més àgil que transformar totes les opcions a la forma $y = mx + n$.
2. b) Converteix els tres pendents a tant per cent i ordena'ls de menor a major inclinació en valor absolut per determinar quin traçat ofereix el descens més suau per als trens.
3. c) Explica quin avantatge pràctic ofereix disposar directament del vector director enfront de disposar de l'equació general quan els operaris han de marcar sobre el terreny físic com avançar cada metre de via.

Segons dades de Red Eléctrica de España i del Ministeri per a la Transició Ecològica, la potència instal·lada d'energia solar fotovoltaica a Espanya ha crescut de manera destacada: l'any 2018 (que considerem any $t = 0$) la potència era de $4800\text{ MW}$, mentre que l'any 2023 ($t = 5$) va assolir els $25800\text{ MW}$.

1. a) Suposant un comportament lineal en aquest quinquenni, obtén l'equació de la recta $P(t) = m \cdot t + n$ que modelitza la potència instal·lada $P$ (en $\text{MW}$) en funció del temps transcorregut $t$ (en anys des de 2018).
2. b) Interpreta el significat físic i les unitats del pendent $m$ i de l'ordenada a l'origen $n$ en el context del sector energètic espanyol.
3. c) El Pla Nacional Integrat d'Energia i Clima (PNIEC) va fixar com a fita per a l'any 2030 ($t = 12$) comptar amb una potència fotovoltaica instal·lada d'almenys $76000\text{ MW}$. Utilitza el teu model per predir si al ritme mitjà d'instal·lació anual del període 2018-2023 s'aconseguiria complir aquest objectiu nacional.
4. d) Raona críticament si és realista assumir que el pendent es mantindrà estrictament constant fins al 2030 o quins factors reals (tècnics, econòmics o de xarxa elèctrica) podrien provocar que el pendent real variï amb el pas dels anys.