Exercicis: Paral·lelisme i perpendicularitat

Dues rectes tenen pendents $m_1 = \frac{2}{3}$ i $m_2 = \frac{3}{2}$. Un alumne conclou que, com que estan formades per les mateixes xifres invertides, les rectes són perpendiculars. Explica l'error en aquest "truc" i quin hauria de ser el valor de $m_2$ perquè les rectes fossin veritablement perpendiculars.

Escriu les coordenades d'un vector que sigui paral·lel i d'un altre que sigui perpendicular al vector $\vec{u} = (-4, 7)$.

Donada la recta $r$ d'equació $y = -5x + 3$, indica quin és el pendent de qualsevol recta paral·lela a $r$ i quin és el pendent de qualsevol recta perpendicular a $r$.

Calcula l'equació explícita de la recta paral·lela a $y = 2x - 5$ que passa pel punt $P(3, 1)$.

Determina l'equació general de la recta perpendicular a $3x + 4y - 2 = 0$ que passa per l'origen de coordenades.

Estudia la posició relativa de les rectes $r: 2x - y + 4 = 0$ i $s: -4x + 2y - 8 = 0$.

Comprova mitjançant l'ús de vectors si els punts $A(-1, 2)$, $B(2, 4)$ i $C(8, 8)$ estan alineats.

Calcula el valor de $k$ perquè els vectors $\vec{u} = (k, 3)$ i $\vec{v} = (4, -2)$ siguin perpendiculars.

Obtén l'equació de la recta paral·lela a l'eix d'ordenades (eix Y) que passa pel punt $Q(-5, 2)$.

En un examen, Marcos ha de trobar l'equació d'una recta perpendicular a $r: y = 2x - 3$ que passi pel punt $P(4, 1)$. La seva resposta ha estat la següent:

«Com que és perpendicular, el pendent té el signe contrari, així que $m = -2$. Fent servir l'equació punt-pendent: $y - 1 = -2(x - 4) \implies y = -2x + 9$».

Identifica l'error conceptual que ha comès Marcos en transformar el pendent, explica geomètricament per què un gir de $90^\circ$ no només canvia el signe sinó que inverteix el pendent, i escriu l'equació explícita correcta de la recta perpendicular.

En el pla urbanístic d'ampliació d'una plataforma logística a Zaragoza, una via de ferrocarril per a transport de mercaderies segueix un traçat recte modelitzat per l'equació $r: 3x - y + 6 = 0$ (on les coordenades $x$ i $y$ estan expressades en centenars de metres). L'equip d'enginyeria ha de projectar un vial de servei asfaltat que sigui estrictament paral·lel a la via del tren per evitar encreuaments a nivell i que doni accés al moll de càrrega situat al punt $M(2, 5)$.

1. a) Obtén el pendent de la via de tren i justifica quin valor ha de tenir el pendent del vial de servei per garantir el paral·lelisme.
2. b) Troba l'equació explícita del nou vial de servei.
3. c) Si un vehicle de manteniment surt del moll $M$ i es desplaça cap a l'est augmentant la seva coordenada $x$ en $4$ unitats ($400\text{ m}$), quantes unitats augmentarà la seva coordenada $y$ segons el pendent calculat?

En el pla d'una ciutat, l'avinguda principal segueix la recta $r: 2x - 5y + 10 = 0$. Es vol construir un carrer de vianants paral·lel a l'avinguda que passi per la plaça central, situada en el punt $P(4, -1)$. Troba l'equació general del nou carrer de vianants.

Un raig làser es desplaça sobre la recta $x + 3y - 6 = 0$. Es col·loca un mirall pla perpendicular al raig en el punt exacte on aquest talla l'eix d'abscisses. Determina l'equació explícita de la recta que representa el mirall.

Troba el valor del paràmetre $m$ perquè la recta $mx - 3y + 5 = 0$ sigui perpendicular a la recta que passa pels punts $A(2, -4)$ i $B(5, 1)$.

Una parcel·la agrícola té forma de paral·lelogram. Tres dels seus vèrtexs es troben en els punts $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ i $C(6, 6)$. Calcula les coordenades del quart vèrtex $D$ sabent que els costats $AB$ i $CD$ són paral·lels, igual que els costats $AD$ i $BC$.

Calcula l'equació general de la mediatriu del segment els extrems del qual són els punts $A(-3, 5)$ i $B(1, -1)$.

Dos vaixells segueixen trajectòries rectilínies. El vaixell A es desplaça per la recta $r: 4x + ky - 7 = 0$ i el vaixell B per la recta $s: x - 2y + 5 = 0$. Determina el valor de $k$ perquè les seves trajectòries siguin paral·leles i comprova si en aquest cas podrien col·lidir (és a dir, si les rectes són coincidents).

En el triangle de vèrtexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(2, -3)$, troba l'equació general de l'altura que parteix del vèrtex $A$.

Determina les components d'un vector $\vec{u}$ que sigui perpendicular al vector $\vec{v} = (-6, 8)$ i el mòdul del qual sigui exactament de $15$ unitats.

Un professor de matemàtiques vol dissenyar una pregunta d'examen tipus test en la qual la resposta correcta sigui: «L'equació de la mediatriu del segment $AB$ és $s: y = -0,5x + 3$».

1. a) Si el professor decideix fixar com a dada un dels extrems al punt $A(1, 0)$, reconstrueix pas a pas les coordenades que ha de tenir l'altre extrem $B(x_B, y_B)$ perquè aquesta recta $s$ sigui rigorosament la seva mediatriu (recorda que la mediatriu és perpendicular al segment i passa pel seu punt mitjà).
2. b) Comprova el teu resultat verificant que les distàncies des d'$A$ i des de $B$ fins al punt de tall de la mediatriu amb l'eix d'ordenades, $P(0, 3)$, són exactament iguals.

En una explotació agrícola de regadiu a Albacete, una canalització principal subterrània connecta dos pous situats a les coordenades $P_1(1, 2)$ i $P_2(7, 5)$ (mesurades en hectòmetres, $\text{hm}$). Es projecta instal·lar una canonada secundària rectilínia perpendicular a la principal que subministri aigua a un dipòsit auxiliar ubicat a $D(3, 8)$.

1. a) Estima abans de calcular: Observant que la canalització principal ascendeix de manera suau (avança $6\text{ hm}$ en horitzontal per pujar només $3\text{ hm}$ en vertical), el pendent de la canonada perpendicular ha de ser positiu o negatiu? El seu valor absolut serà més gran que $1$ (molt inclinada) o menor que $1$ (poc inclinada)? Estima raonadament el seu signe i la seva inclinació.
2. b) Calcula i comprova: Determina el pendent exacte de la canalització principal i el de la canonada secundària. Comprova si coincideix amb la teva estimació prèvia.
3. c) Escriu l'equació general de la canonada secundària.
4. d) Si aquesta canonada es perllonga fins a creuar el límit sud de la finca (la recta $y = 0$), en quina coordenada $x$ es produirà l'encreuament? Queda dins dels límits del terreny si la finca abasta des de $x = 0$ fins a $x = 10\text{ hm}$?

Dos cables tensors d'un pont penjant es meitat modelen en el pla cartesià. El primer cable segueix la recta $r: ax - 3y - 4 = 0$ i el segon passa pels punts $P(1, 3)$ i $Q(a, 5)$. Determina els possibles valors del paràmetre $a$ perquè els cables siguin paral·lels, i el valor de $a$ perquè siguin perpendiculars.

Troba les coordenades de l'ortocentre (punt de tall de les altures) del triangle els vèrtexs del qual són $A(0, 4)$, $B(-4, 0)$ i $C(2, -2)$.

En un videojoc, un personatge llança un projectil des del punt $P(1, 6)$ en direcció perpendicular a un escut d'energia. L'escut es desplaça al llarg de la recta que uneix els punts $M(3, 2)$ i $N(7, -1)$. Calcula les coordenades exactes del punt d'impacte del projectil sobre la recta de l'escut.

Donada la recta $r: 2x - y + 3 = 0$ i el punt $A(4, 1)$, troba les coordenades del punt $A'$, que és el simètric de $A$ respecte de la recta $r$.

Un raig de llum parteix del punt $A(1, 5)$, incideix sobre un mirall pla situat al llarg de l'eix d'abscisses en un punt $P(x, 0)$ i es reflecteix passant pel punt $B(7, 2)$. Sabent que l'angle d'incidència és igual a l'angle de reflexió, calcula les coordenades exactes del punt d'impacte $P$.

Determina els valors dels paràmetres $A$ i $B$ perquè les rectes $r: Ax + By - 5 = 0$ i $s: 3x - 4y + 1 = 0$ siguin perpendiculars i, a més, es tallin en un punt que té per ordenada $y = 1$.

Un quadrat $ABCD$ té el costat $AB$ sobre la recta $r: x + 3y - 5 = 0$. Sabent que el vèrtex $C$ té coordenades $C(4, 7)$, troba l'equació de la recta que conté el costat $BC$ i calcula l'àrea del quadrat.

Demostra analíticament que el quadrilàter de vèrtexs $A(-1, -2)$, $B(4, -1)$, $C(5, 4)$ i $D(0, 3)$ és un rombe. Per fer-ho, comprova que els seus costats són paral·lels dos a dos i que les seves diagonals són perpendiculars entre si.

Es consideren les dues rectes següents expressades en forma general:

$r: 3x - 4y + 5 = 0$

$s: 4x + 3y - 12 = 0$

Dues alumnes discuteixen sobre quin és el mètode més eficaç per demostrar si són perpendiculars:

• Mètode de la Laura (pendents): Aïllar la variable $y$ en totes dues equacions per obtenir els seus pendents explícits ($m_r$ i $m_s$) i comprovar si $m_r \cdot m_s = -1$.

• Mètode de la Carmen (vectors directors): Obtenir directament un vector director de cada recta a partir dels coeficients generals de l'equació ($Ax + By + C = 0 \implies \vec{v} = (-B, A)$) i calcular el seu producte escalar $\vec{v_r} \cdot \vec{v_s}$ per comprovar si dona zero.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes pas a pas.
2. b) Compara els dos procediments: quin resulta més ràpid i redueix el risc d'errors amb signes o fraccions quan les rectes venen en forma general? Justifica la teva resposta.
3. c) Si ara et donen les rectes en forma contínua $\dfrac{x - 2}{5} = \dfrac{y + 1}{-3}$ i $\dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{y}{5}$, quin dels dos mètodes triaries utilitzar directament i per quin motiu?

El centre de coordinació de Salvament Marítim de Finisterre (Galícia) registra a les seves pantalles de radar dues trajectòries en una jornada de temporal (coordenades en milles nàutiques):

• Un vaixell pesquer segueix la ruta rectilínia $r_1: 3x + 4y - 12 = 0$.

• Un mercant navega per una ruta de seguretat $r_2$ estrictament paral·lela a $r_1$, passant per una boia oceanogràfica situada a $B(10, 5)$.

• Una embarcació de rescat ràpid surt de la base costanera a l'origen $O(0, 0)$ per interceptar la trajectòria del mercant $r_2$ seguint la distància més curta possible en línia recta (és a dir, una trajectòria perpendicular a $r_2$).

1. a) Modela l'equació general de la ruta $r_2$ del mercant i justifica analíticament per què no col·lidirà amb la ruta del pesquer.
2. b) Determina l'equació de la trajectòria rectilínia que descriu l'embarcació de rescat des de la base $O(0, 0)$.
3. c) Calcula analíticament les coordenades exactes del punt de trobada previst al radar entre l'embarcació de rescat i la ruta del mercant.
4. d) Troba la distància total (en milles nàutiques) que recorrerà l'embarcació de rescat des de la costa fins a aquest punt i interpreta si la trajectòria triada optimitza el consum de combustible i el temps de resposta.

Repte del tema. Com dissenyaries una xarxa logística de drons d'auxili per al teu municipi?

1. Captura de dades. Entra a Google Maps o al visor Iberpix (IGN) i fixa el teu institut com a origen $(0,0)$. Localitza dos punts d'interès del teu barri (per exemple, centre de salut $A$ i poliesportiu $B$) i obtén les seves coordenades $(x,y)$ en quilòmetres usant l'escala gràfica.

2. Eix principal i base intermèdia. Calcula les components del vector $\vec{AB}$ i la distància euclidiana real entre ambdós punts. Determina el punt mitjà $M$, on s'ubicarà un punt segur de recàrrega.

3. Traçat de corredors. Troba el pendent $m$ i l'equació de la recta que uneix $A$ i $B$. Dissenya un corredor secundari paral·lel a aquesta que passi per l'institut $(0,0)$ i una via d'emergència perpendicular que talli la principal a $M$.

4. Informe tècnic. Representa tot el sistema a GeoGebra (punts, vectors i rectes) i redacta un informe breu de mitja pàgina justificant la viabilitat geomètrica de la xarxa.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul de coordenades, vectors, punt mitjà i distàncies.

• Correcció en trobar pendents i aplicar les condicions de paral·lelisme i perpendicularitat.

• Qualitat del disseny a GeoGebra i rigor en les conclusions de l'informe.