Exercicis: Coordenades

Calcula les coordenades del vector $\vec{AB}$ sabent que el seu punt d'origen és $A(-3, 5)$ i el seu extrem és $B(4, -2)$.

Determina el mòdul del vector $\vec{v} = (6, -8)$. Simplifica el resultat si és possible.

Troba la distància exacta entre els punts $P(1, 4)$ i $Q(-5, -4)$ en el pla cartesià.

Calcula les coordenades del punt mitjà del segment els extrems del qual són $M(7, -1)$ i $N(-3, 9)$.

Ats els vectors $\vec{u} = (2, -5)$ i $\vec{v} = (-1, 3)$, calcula les coordenades del vector resultant de l'operació $3\vec{u} - 2\vec{v}$.

Esbrina les coordenades del punt $A'$ sabent que és el simètric de $A(-2, 6)$ respecte del centre de simetria $P(1, 1)$.

Comprova analíticament si els punts $A(1, 2)$, $B(3, 5)$ i $C(7, 11)$ estan alineats calculant les components dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BC}$.

Atès el vector $\vec{w} = (k, 3)$, calcula els possibles valors del paràmetre $k$ perquè el mòdul de dit vector sigui exactament $5$.

Per determinar el vector de desplaçament entre dues balises de senderisme situades a $A(-2, 5)$ i $B(4, 1)$, en Mario fa al seu quadern el càlcul següent: $\vec{AB} = (-2 - 4,\ 5 - 1) = (-6, 4)$. A partir d'aquest resultat, en Mario afirma que per anar des de la balisa $A$ fins a la $B$ cal avançar $6\text{ km}$ cap a l'oest (esquerra) i $4\text{ km}$ cap al nord (amunt).

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès per en Mario en aplicar la fórmula de les components d'un vector.
2. b) Sense aplicar fórmules numèriques encara, observa les coordenades d'origen a $A$ i d'arribada a $B$, i raona per què la conclusió qualitativa d'en Mario sobre la direcció i el sentit del recorregut no té cap sentit.
3. c) Escriu el procediment correcte i calcula les veritables components del vector $\vec{AB}$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) disposa de dues estacions automàtiques de monitoratge en una comarca agrícola de Castella i Lleó, representades sobre un mapa coordenat en quilòmetres: l'estació de Saldaña al punt $A(2, 3)$ i la de Carrión al punt $B(8, 11)$.

1. a) L'AEMET té previst instal·lar un nou pluviòmetre digital al punt mitjà exacte del trajecte rectilini que uneix ambdues instal·lacions. Determina raonadament les coordenades on s'ha d'ubicar el pluviòmetre.
2. b) Un tècnic de manteniment afirma que la distància en línia recta entre ambdues estacions meteorològiques supera els $12\text{ km}$. Comprova matemàticament si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa calculant el mòdul exacte del vector $\vec{AB}$.

Un dron de vigilància forestal enlaura del punt $A(-2, 1)$ en un mapa quadriculat les unitats del qual estan en quilòmetres. Vola en línia recta fins al punt $B(4, 9)$ per revisar una clariana sospitosa, i des d'allà es desplaça directament al punt $C(10, 1)$ per examinar un refugi. Calcula la distància total que ha recorregut el dron durant aquest trajecte.

En un videojoc d'exploració pirata, el cofre del tresor està amagat en un punt $T$ que es troba exactament sobre la línia recta que uneix la Roca de la Calavera $R(-4, -1)$ i el Gran Arbre $A(6, 4)$. Les pistes indiquen que la distància de la Roca al tresor és el doble que la distància del tresor a l'Arbre. Determina les coordenades exactes del punt $T$.

El centre geomètric d'una pista de patinatge circular sobre gel està situat en les coordenades $C(2, -3)$. Si un dels extrems de la pista, on es situa la porta d'entrada, està en el punt $A(-1, 1)$, troba les coordenades de l'extrem diametralment oposat $B$ i calcula el diàmetre total de la pista.

Un arquitecte dissenya un pont suspès en què tres dels ancoratges del cable principal han d'estar perfectament alineats per garantir la tensió correcta. En el plànol d'obra, les seves coordenades són $P(-3, 2)$, $Q(1, 4)$ i $R(a, 7)$. Calcula el valor del paràmetre $a$ perquè l'estructura sigui estable.

Sobre un objecte puntual sotmès a un experiment físic actuen dues forces en el pla representades pels vectors $\vec{F_1} = (4, 3)$ N i $\vec{F_2} = (-1, 5)$ N. Calcula el mòdul de la força resultant $\vec{F_R}$ que actua sobre l'objecte.

Els vèrtexs d'una parcel·la triangular destinada a un nou parc són $A(-3, -2)$, $B(5, 0)$ i $C(1, 8)$. L'ajuntament vol col·locar un gran fanal central exactament al baricentre de la parcel·la per optimitzar la il·luminació. Calcula les coordenades on s'ha d'instal·lar el fanal.

Demostra de forma analítica, calculant la longitud exacta de cadascun dels seus costats, que el triangle format pels punts $A(2, 1)$, $B(5, 5)$ i $C(-2, 4)$ és un triangle isósceles.

Determina les coordenades d'un vector $\vec{v}$ que sigui paral·lel al vector $\vec{u} = (-3, 4)$, però que tingui un mòdul de $15$ unitats i sentit contrari a $\vec{u}$.

Durant una etapa contrarellotge de la Vuelta Ciclista a España, el dispositiu GPS de l'organització registra el pas d'un ciclista per un punt de cronometratge intermedi $A(1, 2)$ i, minuts després, pel punt de control $B(7, 10)$, sobre una quadrícula de seguiment on cada unitat representa $1\text{ km}$.

1. a) Estima raonadament la distància en línia recta entre ambdós punts abans d'operar: sabent que l'avanç horitzontal és de $6\text{ km}$ i el vertical és de $8\text{ km}$, justifica per què la distància en línia recta ha de ser obligatòriament més gran que $8\text{ km}$ i menor que $14\text{ km}$.
2. b) Calcula el mòdul exacte del vector de desplaçament $\vec{AB}$ i comprova si el valor obtingut coincideix amb la teva estimació prèvia.
3. c) Si el comptaquilòmetres de la bicicleta marca que el ciclista ha recorregut una distància sobre l'asfalt de $9,4\text{ km}$ entre $A$ i $B$, és físicament possible aquest registre en la realitat? Justifica la teva resposta comparant la distància geomètrica en línia recta amb el recorregut real per carretera.

A la xarxa de distribució d'una empresa de missatgeria urgent, se sap que el centre logístic comarcal $M(3, 4)$ se situa exactament al punt mitjà de la ruta recta que connecta la nau d'expedició $A(-1, 9)$ amb un punt de lliurament $B$.

1. a) Planteja les equacions corresponents a partir de la definició de punt mitjà i dedueix les coordenades exactes en què s'ubica el punt de lliurament $B$.
2. b) L'empresa projecta obrir un nou punt de recollida ràpida $C$ situat més endavant sobre la mateixa recta que uneix $A$ i $M$. Si aquest punt $C$ ha de tenir obligatòriament una abscissa $x = 11$, calcula l'ordenada $y$ que se li ha d'assignar perquè els tres enclavaments $A$, $M$ i $C$ quedin perfectament alineats. Justifica el càlcul comprovant que els vectors $\vec{AM}$ i $\vec{MC}$ tenen la mateixa direcció.

Un robot de magatzem es mou al llarg d'una cinta transportadora rectilínia. En un instant donat, el sistema registra el seu pas pel punt $A(1, 2)$ i, més tard, per la posició $B(4, 8)$. Si un sensor de proximitat ha d'estar ubicat obligatòriament sobre l'eix d'abscisses, determina les coordenades exactes de dit sensor perquè equidisti dels punts $A$ i $B$.

Comprova mitjançant l'ús de vectors si el quadrilàter de vèrtexs $A(-4, -1)$, $B(2, -3)$, $C(4, 3)$ i $D(-2, 5)$ és un paral·lelogram. A continuació, calcula el seu perímetre exacte expressant el resultat amb radicals simplificats.

Ats els punts $A(a, 1)$ i $B(2, a)$ dependents del paràmetre real $a$, troba els possibles valors de dit paràmetre perquè la distància entre $A$ i $B$ sigui exactament $\sqrt{5}$ unitats.

Per instal·lar una nova xarxa de fibra òptica subterrània, els enginyers han de dividir el segment rectilini que uneix la central d'operacions $C(-5, 2)$ amb el node principal $N(7, -4)$ en quatre trams d'idèntica longitud. Calcula les coordenades dels tres punts de connexió intermedis.

Un punt $P(x, y)$ compleix la condició de tenir la mateixa abscissa que ordenada. Si es sap que la distància de $P$ al punt $M(2, 0)$ és igual a la distància de $P$ al punt $N(0, 4)$, planteja l'equació corresponent i determina les coordenades exactes del punt $P$.

En un sistema de posicionament aeroespacial, tres satèl·lits estan ubicats en les coordenades $S_1(-2, k)$, $S_2(1, 2)$ i $S_3(k, -2)$. Determina el valor del paràmetre $k$ sabent que, per motius de calibratge, els tres satèl·lits estan perfectament alineats i es compleix que $k > 0$.

Els punts $A(-1, 3)$, $B(2, -1)$ i $C(x, y)$ formen els vèrtexs d'un triangle rectangle en què l'angle recte es situa al vèrtex $B$. Sabent que el vèrtex $C$ es troba posicionat sobre l'eix d'ordenades (eix Y), calcula les coordenades exactes del punt $C$ fent ús del Teorema de Pitàgores.

Troba les coordenades dels tres vèrtexs d'un triangle $ABC$ sabent que les coordenades dels punts mitjans dels seus costats són $M(2, 1)$, $N(3, -2)$ i $P(0, -1)$. Planteja el sistema d'equacions corresponent per resoldre'l.

Per comprovar si tres torres de vigilància forestal ubicades als punts $A(-3, -1)$, $B(1, 2)$ i $C(9, 8)$ estan alineades (és a dir, si hi ha una línia de visió directa contínua entre totes tres), dos guardes del parc proposen camins diferents:

• Proposta de la Lucía: calcular les tres distàncies $d(A, B)$, $d(B, C)$ i $d(A, C)$ mitjançant el teorema de Pitàgores i comprovar si es compleix la relació mètrica $d(A, B) + d(B, C) = d(A, C)$.

• Proposta d'en Marcos: calcular els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BC}$ i verificar si les seves components són directament proporcionals.

1. a) Aplica ambdós mètodes de manera explícita pas a pas i determina si les tres torres es troben o no en línia recta.
2. b) Compara críticament ambdues estratègies: quin dels dos mètodes resulta més avantatjós i segur quan les coordenades cartesianes no donen arrels quadrades exactes? Justifica la teva resposta atenent a la càrrega de càlcul i a la precisió numèrica.

Un consorci comarcal de gestió de residus a Espanya necessita ubicar una nova planta de reciclatge per donar servei a dos municipis: Aliseda, situada a $A(2, 2)$, i El Pinar, a $B(8, 4)$ (coordenades expressades en quilòmetres). Per normativa de transport pesant, la planta s'ha de construir sobre una carretera rectilínia horitzontal d'ordenada fixa $y = 9$, és a dir, en un punt de coordenades genèriques $P(x, 9)$. Per evitar desacords sobre el cost de transport, la planta s'ha de situar exactament a la mateixa distància en línia recta d'ambdós municipis ($d(A, P) = d(B, P)$).

1. a) Planteja la igualtat algebraica $[d(A, P)]^2 = [d(B, P)]^2$ en funció de l'abscissa $x$, desenvolupa-la i resol l'equació de primer grau resultant per trobar la posició exacta de la planta $P$.
2. b) En una reunió preliminar, un representant municipal va proposar ubicar la instal·lació al punt $Q(5, 9)$, argumentant que $x = 5$ és la mitjana aritmètica de les abscisses d'ambdós pobles ($(2 + 8)/2 = 5$) i que, per tant, equidistaria de tots dos. Calcula les distàncies numèriques $d(A, Q)$ i $d(B, Q)$ per demostrar que aquesta proposta intuïtiva era errònia i raona geomètricament per què la planta s'ha de desplaçar cap a l'oest ($x < 5$) per compensar la diferència de latitud entre ambdós municipis.