Exercicis: Funció radical

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{4x - 12}$.

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $g(x) = \sqrt{3x + 9} - 3$.

Donada la funció $h(x) = \sqrt{5 - 2x}$, calcula les imatges corresponents als valors $x = -2$, $x = \frac{1}{2}$ i $x = -10$.

Observa les gràfiques següents i associa cadascuna d'elles (A, B, C i D) amb la seva expressió analítica corresponent entre les opcions següents: $y = \sqrt{x+2}$, $y = \sqrt{x} + 2$, $y = \sqrt{x-2}$, i $y = \sqrt{x} - 2$.

Escriu l'expressió algebraica de la funció que resulta de traslladar la gràfica de la funció $f(x) = \sqrt{x}$ tres unitats cap a l'esquerra i cinc unitats cap avall.

Troba el valor de $x$ per al qual la funció radical $f(x) = \sqrt{15 - 3x}$ pren el valor $y = 6$.

Explica de manera raonada la diferència entre els dominis de les funcions $f(x) = \sqrt[3]{2x - 8}$ i $g(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Indica quin és el recorregut (o conjunt imatge) de les funcions $f(x) = \sqrt{x - 5}$ i $g(x) = -\sqrt{x - 5}$.

La Sofía està estudiant la gràfica de la funció radical $f(x) = \sqrt{x - 4} + 3$ i vol esbrinar en quin punt talla l'eix vertical (eix $Y$). Al seu examen escriu el següent:

«Per trobar el tall amb l'eix $Y$, fem $x = 0$:

$f(0) = \sqrt{0 - 4} + 3 = \sqrt{-4} + 3$.

Com que l'arrel d'un nombre negatiu no existeix en els nombres reals, aquesta part es cancel·la i val $0$. Per tant, $f(0) = 0 + 3 = 3$. La gràfica talla l'eix $Y$ en el punt $(0, 3)$».

1. a) Explica quin és l'error de concepte que comet la Sofía en manipular l'arrel de $-4$.
2. b) Calcula el domini de definició de $f(x)$ i utilitza'l per justificar si la gràfica talla o no l'eix $Y$.

Volem determinar la fórmula d'una funció radical de la forma $f(x) = \sqrt{x - h} + v$ a partir d'una sèrie de condicions sobre la seva gràfica:

1. El seu domini de definició comença exactament en $x = 3$; és a dir, la funció només existeix per a $x \geq 3$.

2. La corba talla l'eix horitzontal (eix $X$) en el punt $(7, 0)$.

1. a) A partir de la condició del domini, dedueix de manera raonada el valor del paràmetre $h$.
2. b) Substitueix les coordenades del punt de tall amb l'eix $X$ a l'expressió per calcular el valor exacte de $v$.
3. c) Escriu l'expressió analítica completa de la funció $f(x)$ i descriu quins desplaçaments horitzontal i vertical ha experimentat respecte a la funció elemental $y = \sqrt{x}$.

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{-x^2 + 2x + 8}$.

El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple ve donat per la funció $T(l) = 2\pi\sqrt{\frac{l}{9,8}}$, on $l$ és la longitud del pèndol en metres. Calcula el període d'un pèndol de $2,5\text{ m}$ de longitud i esbrina quina longitud ha de tenir un pèndol perquè el seu període sigui exactament de $2\text{ s}$.

Observa la gràfica de la funció radical $f(x)$. A partir d'aquesta, determina el seu domini, el seu recorregut, els punts de tall amb els eixos i els seus intervals de creixement o decreixement.

Troba analíticament els punts d'intersecció entre la funció radical $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ i la recta $g(x) = x$.

La velocitat $v$ (en m/s) de propagació d'un tsunami a l'oceà depèn de la profunditat $d$ (en metres) segons la funció $v(d) = \sqrt{9,8 \cdot d}$. Si un tsunami avança a una velocitat de $720\text{ km/h}$, quina és la profunditat de l'oceà en aquest punt? (Recorda realitzar els canvis d'unitats necessaris).

Determina la funció inversa de la branca dreta de la paràbola $f(x) = x^2 - 4$ (és a dir, per a $x \ge 0$). Quin és el domini de la funció inversa resultant?

Troba el domini de definició de la funció $g(x) = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 16}}$.

Un far es troba situat en una costa recta. Un vaixell navega paral·lel a la costa a una distància de $3\text{ km}$ d'aquesta (passant just davant del far en el seu punt més proper). Si el vaixell s'allunya a una velocitat constant de $15\text{ km/h}$, escriu la funció que determina la distància en línia recta des del vaixell fins al far en funció del temps $t$ (en hores).

Per esbrinar si la gràfica d'una funció radical talla l'eix horitzontal (eix $X$), en Marcos i l'Elena proposen dos mètodes diferents:

• Mètode d'en Marcos (algebraic): Plantejar l'equació $f(x) = 0$, aïllar el radical, elevar tots dos membres al quadrat i comprovar si la solució obtinguda és vàlida.

• Mètode de l'Elena (gràfic i recorregut): Analitzar el vèrtex o punt d'inici $(h, v)$ i observar el desplaçament vertical $v$ i el creixement de la corba per deduir directament si creua o no l'eix $X$.

1. a) Aplica el mètode de l'Elena per justificar, sense resoldre cap equació, per què la funció $g(x) = \sqrt{x - 1} + 4$ no pot tallar mai l'eix $X$.
2. b) Aplica el mètode d'en Marcos a la funció $f(x) = \sqrt{x + 5} - 3$ per trobar les coordenades exactes del seu punt de tall amb l'eix $X$.
3. c) Explica en quina situació és més ràpid i avantatjós utilitzar el raonament de l'Elena i quan és imprescindible recórrer al mètode algebraic d'en Marcos.

Els equips d'atestats de la Guàrdia Civil de Trànsit a Espanya utilitzen models matemàtics per estimar la velocitat a la qual circulava un turisme abans de realitzar una frenada d'emergència sobre asfalt sec. En condicions estàndard, la velocitat $v$ (en $\text{km/h}$) es relaciona amb la longitud de la petjada de frenada $d$ (en metres) mitjançant la funció radical:

1. a) En un tram d'una carretera convencional espanyola amb velocitat màxima permesa de $90\text{ km/h}$, després d'un accident es mesura una petjada de frenada de $36\text{ metres}$. Calcula la velocitat estimada a la qual circulava el turisme i determina si sobrepassava el límit legal de velocitat.
2. b) Determina el domini matemàtic de la funció $v(d)$ i explica quin significat físic té en aquest context real el fet que no es puguin introduir valors de $d < 0$.
3. c) Si un conductor afirma que circulava a $70\text{ km/h}$, quants metres hauria d'haver mesurat la seva petjada de frenada? Resol l'equació corresponent.

A partir de la funció radical bàsica $f(x) = \sqrt{x}$, apliquem les transformacions geomètriques següents en ordre: un desplaçament de $3$ unitats cap a la dreta, una reflexió respecte de l'eix d'abscisses i, per últim, un desplaçament de $4$ unitats cap amunt. Escriu l'expressió analítica de la nova funció $g(x)$, calcula el seu domini i troba els seus punts de tall amb els eixos.

La gràfica següent correspon a una funció del tipus $f(x) = a\sqrt{x-b} + c$. Observa els punts clau assenyalats a la corba i determina el valor exacte dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

Determina els valors que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè el domini de la funció $f(x) = \sqrt{x^2 - kx + 9}$ sigui tot el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$.

Es vol estendre un cable des de dalt de tot d'una torre de $10\text{ m}$ d'alçària fins a un punt a terra, i des d'aquí fins a una casa situada a $25\text{ m}$ de la base de la torre. Si anomenem $x$ la distància des de la base de la torre fins al punt d'ancoratge a terra, escriu la funció $L(x)$ que representa la longitud total del cable.

Troba el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{\frac{2x - 6}{x + 4}}$.

Resol analíticament el sistema format per les funcions $y = \sqrt{x + 4}$ i $y = \sqrt{x - 1} + 1$, per trobar el seu punt d'intersecció.

Segons la Teoria de la Relativitat Especial, el temps es dilata per a un objecte que es mou a gran velocitat. El factor de Lorentz $\gamma$ ve donat per la funció $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, on $v$ és la velocitat de l'objecte i $c \approx 300\,000\text{ km/s}$ és la velocitat de la llum. Determina el domini matemàtic d'aquesta funció i explica breument el seu significat físic en termes de la velocitat màxima assolible.

Estudia i determina el domini de definició de la funció $h(x) = \sqrt{|x - 3| - 2}$.

Expressa l'àrea d'un triangle isósceles inscrit en una circumferència de radi $R = 5\text{ cm}$ en funció de l'altura $h$ del triangle. Quin és el domini matemàtic d'aquesta funció en el seu context geomètric?

En navegació marítima davant de les costes espanyoles, la distància visual màxima $D$ (en quilòmetres) a la qual s'albira la línia de l'horitzó des d'una alçària d'observació $h$ (en metres sobre el nivell del mar) ve modelitzada per la funció:

Un observador puja al mirador del Faro de Chipiona (Cadis), situat a $64\text{ metres}$ sobre el nivell del mar.

1. a) Estima: Sense utilitzar calculadora, arrodoneix mentalment el coeficient $3{,}57$ a $3{,}5$ i calcula una estimació aproximada de la distància en quilòmetres a l'horitzó visible des d'aquesta alçària. Explica amb paraules el teu càlcul mental.
2. b) Comprova: Fes ara el càlcul precís amb el valor exacte de la fórmula ($3{,}57$) i valora si la teva estimació prèvia era raonable i útil per a la navegació marítima.
3. c) Raonament proporcional: Si l'observador duplicava la seva alçària pujant a un helicòpter a $128\text{ metres}$ sobre el nivell del mar, es duplicarà també la distància a la qual albira l'horitzó? Justifica la teva resposta analitzant les propietats de la funció radical sense limitar-te a donar el resultat numèric.

La Confederació Hidrogràfica de l'Ebre supervisa les maniobres de desguàs a les preses espanyoles. D'acord amb la llei de Torricelli, la velocitat de sortida de l'aigua $v$ (en metres per segon, $\text{m/s}$) per una comporta profunda depèn de l'alçària $h$ de la làmina d'aigua (en metres) sobre el llit de l'embassament mitjançant la funció radical:

on es resta $5$ perquè els primers $5\text{ metres}$ de la base corresponen a la zona de seguretat per a decantació de fangs, per sota de la qual les comportes romanen tancades.

1. a) Troba el domini de definició d'aquesta funció i interpreta el seu significat pràctic per al personal tècnic que gestiona la presa.
2. b) Durant un període de sequera, el nivell de l'aigua descendeix de $41\text{ metres}$ a $14\text{ metres}$. Un tècnic afirma que, en haver baixat l'alçària gairebé a la tercera part, la velocitat del raig també es reduirà a un terç. Comprova algebraicament si l'afirmació del tècnic és correcta o errònia calculant les velocitats en tots dos casos.
3. c) Per garantir el funcionament òptim de les turbines hidroelèctriques associades, es requereix que la velocitat de sortida de l'aigua sigui d'almenys $14\text{ m/s}$. Planteja i resol l'equació corresponent per determinar l'alçària mínima $h$ a la qual s'ha de trobar l'embassament.