Exercicis: Equació d'una recta en la forma punt-pendent

Escriu l'equació de la recta en forma punt-pendent que passa pel punt $A(3, -2)$ i té pendent $m = 4$.

Donada la recta d'equació $y - 5 = -2(x + 1)$, indica un punt exacte per on passa i el valor del seu pendent. A continuació, opera l'expressió per expressar-la en forma explícita.

Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $P(-1, 4)$ i $Q(2, 10)$ i escriu la seva equació en forma punt-pendent utilitzant les coordenades del punt $P$.

Observa la recta representada al pla cartesià. Identifica el seu pendent i un punt exacte de coordenades enteres per on passi, i escriu la seva equació en forma punt-pendent.

Escriu l'equació en forma punt-pendent de la recta paral·lela a $y = 3x - 7$ que passa pel punt $B(-4, 1)$.

Una recta té com a equació punt-pendent $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 6)$. Comprova matemàticament si el punt $C(8, -2)$ pertany a aquesta recta.

Determina l'equació en forma punt-pendent de la bisectriu del primer i tercer quadrant, prenent com a punt de referència l'origen de coordenades.

El nivell d'aigua d'un embassament augmenta de manera constant a raó de $15$ cm per dia. Si el dia $10$ de mesurament el nivell era de $420$ cm, escriu l'equació punt-pendent que relaciona el nivell de l'aigua $y$ amb el nombre de dies transcorreguts $x$.

Per calcular l'equació d'una rampa accessible que arrenca al punt $A(-3, 1)$ amb un pendent descendent del $5\,\%$ ($m = -0,05$), en David escriu al seu quadern:

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès en David en substituir les coordenades del punt a la fórmula punt-pendent $y - y_1 = m(x - x_1)$.
2. b) Escriu l'equació correcta en forma punt-pendent.
3. c) Transforma l'equació a la forma explícita ($y = mx + n$) i comprova analíticament que les coordenades del punt de partida $A(-3, 1)$ satisfan la igualtat.

En el servei de taxi urbà de Saragossa (tarifa diürna de dies feiners), el taxímetre aplica un cost fix per quilòmetre recorregut de $m = 1,10$ €/km. En acabar un trajecte de $9$ km des de la Plaza del Pilar fins a un polígon industrial, el taxímetre marca un import total de $13,05$ €.

1. a) Identifica les variables independent ($x$) i dependent ($y$) indicant les seves unitats. Expressa les dades del viatge en forma d'un punt conegut $P(x_1, y_1)$ i el pendent $m$.
2. b) Escriu l'equació que modelitza el cost total del trajecte en forma punt-pendent.
3. c) Transforma l'equació a la seva forma explícita ($y = mx + n$) i interpreta el significat econòmic real de l'ordenada a l'origen $n$ dins del servei de taxi.

Un tècnic de climatització anota que a les $2$ hores d'engegar un sistema industrial, la temperatura de la sala és de $18^\circ$C, i a les $5$ hores és de $10,5^\circ$C. Suposant que el descens de temperatura segueix un model lineal, escriu l'equació punt-pendent que determina la temperatura $y$ en funció del temps $x$.

Troba l'equació en forma punt-pendent de la recta que és perpendicular a $y = -\frac{1}{3}x + 5$ i que passa pel punt d'intersecció de les rectes $y = 2x - 1$ i $y = x + 3$.

Una empresa de lloguer de furgonetes cobra una quantitat fixa més un preu constant per quilòmetre recorregut. Si per fer un trajecte de $50$ km cobren $65$ € i per un de $120$ km cobren $107$ €, determina el pendent de la funció de cost i escriu la seva equació en forma punt-pendent.

Donada la recta $y - k = 3(x + 2)$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta passi exactament pel punt $A(1, 4)$.

Escriu l'equació en forma punt-pendent de la mediatriu del segment d'extrems $A(-2, 5)$ i $B(4, 1)$. Recorda que la mediatriu és la recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà.

Un ciclista manté una velocitat constant durant el seu entrenament. En el minut $15$ del seu recorregut es troba a la marca del quilòmetre $6$ de la carretera, i en el minut $40$ arriba al quilòmetre $16$. Expressa la posició del ciclista en forma punt-pendent i calcula en quin punt quilomètric es trobarà en el minut $60$.

Escriu l'equació punt-pendent de la recta que talla l'eix d'abscisses a $x = -3$ i l'eix d'ordenades a $y = 6$. Expressa el resultat utilitzant exclusivament el punt de tall amb l'eix d'abscisses com a referència.

Determina l'equació en forma punt-pendent de la recta paral·lela a $2x - 5y + 10 = 0$ que passa pel punt mitjà del segment d'extrems $P(-1, -4)$ i $Q(7, 2)$.

En un dia assolellat de primavera a Granada, l'estació d'AEMET registra a les 14:00 h una temperatura de $22,4^\circ$C a una altitud de $680$ m. Segons el gradient tèrmic vertical habitual a la troposfera, la temperatura descendeix de manera lineal a un ritme constant de $0,65^\circ$C per cada $100$ m d'altitud guanyada (és a dir, amb un pendent $m = -0,0065^\circ$C/m). Un grup de senderistes ascendeix al refugi de Poqueira, situat a $2500$ m d'altitud.

1. a) Estima mentalment abans de calcular: sabent que la pujada és d'uns $1800$ m i la temperatura baixa uns $0,65^\circ$C cada $100$ m, esperes que la temperatura al refugi rondi els $20^\circ$C, els $10^\circ$C o els $0^\circ$C? Justifica breument la teva estimació.
2. b) Pren el punt de referència $A(680; 22,4)$ i escriu l'equació en forma punt-pendent que expressa la temperatura $y$ (en $^\circ$C) en funció de l'altitud $x$ (en metres).
3. c) Calcula mitjançant l'equació la temperatura exacta a $2500$ m i compara el resultat amb la teva estimació inicial per valorar si era raonable.

En el pla d'ordenació d'una zona logística, una via de servei recta ha de ser perpendicular a la carretera principal que uneix els punts $A(1, 2)$ i $B(5, 4)$. A més, la via auxiliar ha de complir dues condicions tècniques addicionals: ha de passar per un punt d'accés $P(3, y_1)$ i ha de tallar l'eix d'abscisses (eix $X$, on $y = 0$) en un punt amb coordenada horitzontal $x \ge 4$.

1. a) Troba el pendent $m_{AB}$ de la carretera principal i determina el pendent exacte $m$ que ha de tenir la via de servei perpendicular.
2. b) Escriu l'equació de la via de servei en forma punt-pendent mantenint l'ordenada $y_1$ del punt $P$ com a incògnita.
3. c) Dedueix algebraicament quins valors pot prendre l'ordenada $y_1$ perquè el punt de tall amb l'eix $X$ compleixi la condició $x \ge 4$. Tria un valor concret de $y_1$ que serveixi i escriu l'equació punt-pendent definitiva de la via.

Una rampa d'accés ha de tenir un pendent exacte del $8\%$ per complir la normativa d'accessibilitat arquitectònica. Si la rampa comença a nivell de terra al punt $A(0, 0)$ i ha de superar un desnivell fins a arribar a una plataforma situada al punt $B(x_0; 1,2)$ (amb coordenades mesurades en metres), escriu l'equació de la recta de la rampa en forma punt-pendent i determina la coordenada horitzontal $x_0$.

En el triangle de vèrtexs $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$ i $C(1, 5)$, troba l'equació en forma punt-pendent de la recta que conté l'altura corresponent al vèrtex $C$.

Donades les rectes $r_1: y - 2 = a(x + 1)$ i $r_2: y - b = 3(x - 2)$, troba analíticament els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè totes dues expressions representin rectes coincidents.

Un model econòmic lineal d'oferta indica que a un preu de $10$ € s'ofereixen $1000$ unitats d'un producte, i per cada euro que augmenta el preu, l'oferta augmenta en $150$ unitats. D'altra banda, la demanda del mateix producte ve donada per l'equació punt-pendent $y - 1200 = -100(x - 15)$, on $y$ representa la quantitat d'unitats i $x$ és el preu en euros. Escriu l'equació punt-pendent de l'oferta i troba el punt d'equilibri del mercat (preu i quantitat).

Un raig de llum làser parteix del punt $P(-4, 5)$, incideix sobre un mirall pla perfectament alineat amb l'eix d'abscisses i es reflecteix passant pel punt $Q(6, 3)$. Escriu l'equació en forma punt-pendent de la recta que descriu el raig reflectit.

Escriu l'equació punt-pendent de la recta que passa pels punts $(a, 0)$ i $(0, b)$ (amb $a \neq 0$ i $b \neq 0$). A continuació, transforma-la algebraicament pas a pas fins a obtenir l'equació segmentària de la recta $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Troba l'equació en forma punt-pendent de la recta que forma un angle de $135^\circ$ amb el semieix positiu d'abscisses i que, juntament amb els eixos coordenats, determina un triangle d'àrea $8\text{ u}^2$ situat íntegrament en el primer quadrant.

Un dipòsit industrial conté inicialment $500$ litres d'un compost químic líquid. S'obre una vàlvula que buida el dipòsit a una velocitat constant. Sabent que l'equació que modelitza el volum $V$ (en litres) en funció del temps $t$ (en minuts) es pot expressar en forma punt-pendent com $V - 200 = m(t - 15)$, calcula el pendent $m$ i determina quant de temps trigarà el dipòsit a buidar-se per complet.

En una xarxa d'abastament d'aigua, es projecta estendre una canonada secundària perpendicular a la canalització general que passa pels punts $A(1, 3)$ i $B(7, 6)$. La nova canonada ha d'arrencar obligatòriament d'una arqueta de control situada a $C(3, 8)$. Dos enginyers valoren dos mètodes per obtenir la seva equació:

• Mètode 1 (Equació punt-pendent): Calcular el pendent $m_1$ de la canalització general, deduir el pendent perpendicular $m_2 = -1/m_1$ i substituir directament les coordenades de l'arqueta $C(3, 8)$ a la fórmula $y - y_1 = m_2(x - x_1)$.

• Mètode 2 (Ajust de l'ordenada a l'origen): Calcular $m_2$, escriure la forma explícita teòrica $y = m_2 x + n$, substituir $x = 3$ i $y = 8$ per plantejar i resoldre una equació de primer grau en $n$, i reconstruir l'equació final.

1. a) Aplica tots dos mètodes pas a pas i comprova que tots dos condueixen exactament a la mateixa equació en forma explícita.
2. b) Si durant l'obra civil l'arqueta es desplaça $2$ metres cap al nord (passant a ser a $C'(3, 10)$) però mantenint el mateix pendent perpendicular, justifica quin dels dos mètodes permet actualitzar el model matemàtic de manera més àgil i directa.
3. c) En una revisió rutinària es localitza una presa clandestina al punt $D(5, 4)$. Justifica analíticament si aquesta presa es troba connectada a la canonada secundària calculada o no.

A la línia ferroviària d'alta velocitat Madrid-València, un tren AVE circula a velocitat de creuer constant en via oberta. El sistema de telemetria registra que a les 12:15 h ($x_1 = 15$ minuts transcorreguts des de les 12:00 h) el comboi passa pel quilòmetre $65$ de la línia ($y_1 = 65$ km), i a les 12:45 h ($x_2 = 45$ minuts) creua el punt quilomètric $185$ ($y_2 = 185$ km).

1. a) Escriu l'equació en forma punt-pendent que modelitza la posició quilomètrica $y$ en funció del temps transcorregut $x$ (en minuts a partir de les 12:00 h), prenent com a referència el primer registre de telemetria.
2. b) Interpreta el significat físic del pendent $m$ del model: calcula el seu valor en km/min, transforma'l a km/h multiplicant per $60$ i valora si és una velocitat coherent amb els límits comercials de l'AVE a Espanya (màxim legal de $300$ km/h).
3. c) Transforma l'equació a forma explícita ($y = mx + n$) i calcula el valor de $y$ per a $x = 0$ (a les 12:00 h). Explica per què aquest valor matemàtic no descriu la posició real del tren a l'estació d'origen i què significa això respecte al domini de validesa d'un model lineal.
4. d) Sabent que l'estació terme de València Joaquín Sorolla es troba al punt quilomètric $385$, calcula a quina hora arribarà el comboi si manté ininterrompudament aquesta velocitat de creuer fins a l'aproximació final.

Repte del tema. Quant pagues realment per la llum? Analitza la factura familiar.

1. Recollida de dades: Pren una factura d'electricitat real de casa teva (o consulta el terme de potència i el preu mitjà del $kWh$ al web de Red Eléctrica de España, REE). Identifica el cost fix en euros ($n$) i el preu variable per cada $kWh$ consumit ($m$, el pendent). Raona si es tracta d'una funció afí, lineal o constant.

2. Modelització punt-pendent: Pren el consum real del mes per fixar un punt de treball $P(x_0, y_0)$, on $x_0$ són els $kWh$ gastats i $y_0$ el cost total resultant. Escriu l'equació de la recta en forma punt-pendent: $y - y_0 = m(x - x_0)$. Fes-la servir per predir la factura si a casa aconseguiu reduir el consum un $20\,\%$.

3. Representació i informe: Introdueix la funció a GeoGebra o en un full de càlcul per traçar la gràfica. Elabora un informe breu (una cara) explicant el significat real del pendent i proposant dues mesures justificades per abaratir el rebut.

Es valorarà:

• Identificació correcta de les dades reals ($m$ i $n$) i classificació del tipus de funció.

• Aplicació adequada de la forma punt-pendent i correcció en els càlculs.

• Destresa en la representació gràfica digital (GeoGebra o full de càlcul) i ús d'unitats (€ i $kWh$).

• Claredat i realisme de les conclusions i propostes de l'informe.