Exercicis: Funcions lineals. Pendent

Troba el pendent de la recta que passa pels punts $A(1, 4)$ i $B(3, 10)$.

Donada la funció lineal $y = -3x + 5$, indica quin és el seu pendent i la seva ordenada a l'origen. Es tracta d'una funció creixent o decreixent?

Observa la gràfica següent i determina el pendent de la recta representada.

Escriu l'equació explícita de la recta que té un pendent $m = \frac{1}{2}$ i talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, -4)$.

Una relació lineal entre dues variables ve donada per la taula de valors següent:

Calcula el pendent d'aquesta funció.

Una aixeta omple un dipòsit a raó de $3$ litres per minut. Si inicialment hi havia $10$ litres al dipòsit, quin és el pendent de la funció que relaciona el volum d'aigua amb el temps transcorregut?

Donades les rectes següents: $y = 2x$, $y = 0,5x$, $y = -x$, $y = -4x$. Ordena-les de menor a major inclinació (valor absolut del seu pendent) i classifica-les en creixents i decreixents.

La recta que passa pels punts $P(2, 5)$ i $Q(4, y)$ té un pendent $m = 3$. Calcula el valor de la coordenada desconeguda $y$.

En Marcos ha de calcular el pendent de la recta que passa pels punts $A(2, 3)$ i $B(6, 11)$. Al seu examen escriu el procediment següent:

Per tant, conclou que per cada unitat que la recta puja verticalment, avança $0,5$ unitats en horitzontal.

1. a) Assenyala amb precisió quin error conceptual ha comès en Marcos en l'aplicació de la fórmula del pendent.
2. b) Explica per què la seva interpretació verbal posterior també és errònia segons el concepte de pendent com a ritme de canvi.
3. c) Corregeix el càlcul obtenint el valor correcte de $m$ i raona si la funció és creixent o decreixent a partir del seu signe.

En el servei de taxi d'una capital espanyola regulada per tarifes urbanes oficials, la baixada de bandera costa $2,40$ € (import fix obligatori per iniciar el trajecte) i el preu per cada quilòmetre recorregut és d'$1,25$ €.

1. a) Escriu l'equació de la funció lineal $y = mx + n$ que relaciona el cost final del viatge ($y$, en euros) en funció dels quilòmetres recorreguts ($x$).
2. b) Identifica el valor del pendent $m$ i redacta una frase explicant quin significat físic i econòmic té aquest nombre en el context del viatge.
3. c) Un usuari afirma: «Si per un recorregut de $4$ km he pagat $7,40$ €, per recórrer el doble ($8$ km) pagaré exactament el doble, $14,80$ €». Utilitza el pendent i l'ordenada a l'origen per justificar matemàticament per què aquesta afirmació és falsa.

Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $A(-2,5; 3,2)$ i $B(1,5; -4,8)$.

Un avió descendeix a una velocitat constant per aterrar. Als $10$ minuts d'iniciar la maniobra es troba a $8000$ metres d'altitud, i als $25$ minuts està a $3500$ metres. Calcula el pendent de la funció que relaciona l'altitud amb el temps i interpreta el seu significat en aquest context.

Determina el pendent de la recta l'equació general de la qual és $4x - 5y + 20 = 0$. A continuació, escriu la seva equació en forma explícita.

Observa les dues rectes representades a la gràfica. Calcula el pendent de cadascuna d'elles i indica quina representa un ritme de creixement més gran.

Una empresa de lloguer de bicicletes cobra una tarifa fixa inicial més un preu per hora d'ús. Si llogar una bicicleta durant $2$ hores costa $14$ € i llogar-la durant $5$ hores costa $26$ €, troba el pendent de la funció de cost i explica què representa aquest valor en el context del problema.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta que passa pels punts $A(k, 3)$ i $B(2k - 1, 7)$ tingui un pendent $m = -2$.

Dues magnituds $x$ i $y$ mantenen una relació lineal. Si sabem que quan $x$ augmenta $5$ unitats, $y$ disminueix $3$ unitats, i que la recta passa pel punt $(10, -2)$, escriu l'equació explícita de la funció lineal que les relaciona.

Escriu l'equació d'una recta paral·lela a $y = -\frac{3}{4}x + 2$ que passi pel punt $(-8, 5)$.

Segons registres meteorològics de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) en una zona muntanyosa de la península, a una altitud de $500$ m sobre el nivell del mar es registra una temperatura de $19$ ºC, mentre que en una estació situada a $2000$ m la temperatura descendeix fins als $10$ ºC.

1. a) Abans de fer càlculs formals, estima raonadament el signe del pendent i pronostica si la temperatura baixarà més o menys d'$1$ ºC per cada $100$ m de pujada.
2. b) Assumint una variació lineal, calcula el pendent $m$ de la funció que expressa la temperatura ($y$, en ºC) en funció de l'altitud ($x$, en metres).
3. c) Comprova si la teva estimació prèvia ha estat encertada, expressa el pendent com a variació per cada $100$ m i interpreta què significaria físicament a l'atmosfera que el pendent fos $m = 0$.

Es vol dissenyar en el pla cartesià una recta $r$ el pendent fix de la qual sigui $m = -1,5$, però se'n desconeixen diversos elements de partida.

1. a) Sabent que la recta $r$ ha de passar obligatòriament pel punt $A(2, 4)$, fes el procediment invers per determinar la seva ordenada a l'origen $n$ i escriu la seva equació explícita $y = mx + n$.
2. b) Planteja i resol una equació basada en la definició de pendent per trobar la coordenada horitzontal desconeguda d'un punt $B(x_B, -2)$ que pertanyi a aquesta recta.
3. c) Escriu l'equació general d'una altra recta $s$ que sigui paral·lela a $r$ i l'ordenada a l'origen de la qual sigui el triple que la de $r$, justificant com utilitzes la condició de paral·lelisme.

Una molla s'allarga proporcionalment a la força aplicada (llei de Hooke). En penjar-hi un pes de $2$ kg, la longitud total de la molla és de $15$ cm. En penjar-hi un pes de $5$ kg, la seva longitud total és de $21$ cm. Calcula el pendent de la funció que relaciona la longitud amb el pes, escriu la seva equació general i indica quina és la longitud de la molla en repòs (sense pes).

Comprova analíticament si els punts $A(-2, 5)$, $B(1, -1)$ i $C(5, -9)$ estan alineats calculant i comparant els pendents dels segments que els uneixen.

A la gràfica següent es mostra el viatge d'un tren de mercaderies que fa un trajecte d'anada, fa una parada i torna al seu punt d'origen. Calcula el pendent en cadascun dels tres trams i interpreta el resultat com a velocitat (en km/h).

El valor d'una màquina industrial es deprecia linealment amb el temps. Es va comprar nova per un valor de $45000$ € i, al cap de $6$ anys, s'ha taxat en $18000$ €. Calcula el pendent de la funció valor-temps, determina en quin any la màquina perdrà teòricament tot el seu valor i escriu l'expressió analítica de la funció.

Donades les rectes $r: ax + 3y - 6 = 0$ i $s: 2x - by + 4 = 0$, determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la recta $r$ té un pendent $m = 2$ i que totes dues rectes són estrictament paral·leles.

Demostra algebraicament que la taxa de variació mitjana (T.V.M.) de la funció lineal $f(x) = mx + n$ en qualsevol interval genèric $[a, b]$ és sempre constant i igual al seu pendent $m$.

Una recta amb pendent $m = -\frac{2}{3}$ forma amb els eixos de coordenades un triangle rectangle al primer quadrant. Si l'àrea d'aquest triangle és de $27$ unitats quadrades, troba l'equació explícita de la recta.

Un dipòsit industrial conté $1200$ litres d'aigua i comença a buidar-se a un ritme constant. Si el pendent de la funció que relaciona el volum d'aigua restant (en litres) amb el temps transcorregut (en hores) és $m = -40$, troba quant de temps trigarà a quedar el dipòsit exactament a un quart de la seva capacitat màxima inicial.

Per comprovar si tres parcel·les agrícoles els accessos de les quals estan situats en un pla cadastral en els punts $A(-2, -5)$, $B(2, 1)$ i $C(6, 7)$ queden perfectament alineades al llarg d'un canal de reg rectilini, dos tècnics proposen mètodes diferents:

• Mètode de la Laura: Calcula el pendent del tram entre $A$ i $B$, després el pendent del tram entre $B$ i $C$, i comprova si coincideixen.

• Mètode d'en Carlos: Troba l'equació explícita de la recta que uneix $A$ i $B$ ($y = mx + n$) i després comprova si les coordenades de $C$ satisfan aquesta igualtat.

1. a) Resol el problema aplicant pas a pas el mètode de la Laura i determina si els punts estan alineats.
2. b) Resol el mateix problema aplicant el mètode d'en Carlos per confirmar el resultat.
3. c) Analitza ambdós procediments: quin dels dos mètodes és més eficient i convenient si un topògraf necessités comprovar l'alineació d'una sèrie de deu parcel·les consecutives? Justifica la teva elecció valorant la càrrega de càlcul de cada opció.

D'acord amb els informes de la Direcció General de l'Aigua del Ministeri per a la Transició Ecològica i el Repte Demogràfic (MITECO), a l'inici de l'estiu (setmana $0$) un embassament d'una conca hidrogràfica del sud peninsular acumulava $360$ hm³ d'aigua. Després de $15$ setmanes continuades de calor i sense pluges, el volum va descendir de manera constant fins als $210$ hm³ a causa del consum i de l'evaporació.

1. a) Modela l'evolució de la reserva d'aigua ($y$, en hm³) en funció de les setmanes transcorregudes ($x$) mitjançant una funció lineal. Calcula el pendent $m$ i interpreta el seu signe i les seves unitats en termes de ritme de canvi setmanal.
2. b) El protocol de sequera declara la fase d'emergència quan l'embassament baixa dels $100$ hm³. Determina justificadament en quina setmana s'assoliria aquesta fase si no es modifiquessin les condicions.
3. c) A la mateixa conca, un segon embassament veí tenia a la setmana $0$ un volum de $270$ hm³. Sabent que la recta que descriu el seu buidatge és paral·lela a la del primer embassament, explica quin significat pràctic té aquest paral·lelisme respecte al seu ritme de pèrdua d'aigua i raona, sense necessitat de calcular l'equació completa del segon embassament, quin dels dos entrarà abans en fase d'emergència.