Exercicis: Idea de funció lineal. Tipus

Identifica el pendent ($m$) i l'ordenada a l'origen ($n$) de les funcions lineals següents:

• a) $y = 5x - 2$

• b) $y = -\frac{3}{4}x + 1$

• c) $y = 8$

• d) $y = \frac{x}{2}$

Classifica les funcions següents en funció de proporcionalitat directa (funció lineal), funció afí o funció constant:

• a) $y = -3x + 5$

• b) $y = \frac{4}{5}x$

• c) $y = -7$

• d) $y = x$

Escriu l'equació de la funció de proporcionalitat directa la gràfica de la qual passa pel punt $P(4, -12)$.

Donada la funció afí $f(x) = -2x + 9$, calcula les imatges de $x = 3$, $x = -1$ i $x = \frac{1}{2}$.

Escriu l'equació de la funció constant que passa pel punt $A(-3, 6)$. Quin és el valor exacte del seu pendent?

Determina matemàticament si els punts $A(2, 5)$ i $B(-1, -3)$ pertanyen a la gràfica de la funció $y = 3x - 1$.

Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $A(0, 4)$ i $B(2, 10)$.

Una funció de proporcionalitat directa ve donada per la taula de valors següent. Troba la seva expressió algebraica $y = f(x)$.

• $x$: $2, 4, 6$

• $y$: $7, 14, 21$

En el servei de mobilitat urbana d'una ciutat espanyola, l'empresa de patinets elèctrics cobra $1$ € fix pel desbloqueig més $0,20$ € per cada minut de trajecte. En canvi, el servei municipal de bicicletes compartides cobra únicament $0,15$ € per minut, sense quota de desbloqueig.

1. a) Escriu la funció que expressa el cost $y$ (en euros) en funció del temps d'ús $x$ (en minuts) per a cadascun dels dos transports.
2. b) Classifica cada funció en lineal o afí, identificant en cadascuna el pendent ($m$) i l'ordenada a l'origen ($n$), i explica quin significat tenen aquests dos valors a la factura.
3. c) Si disposes d'un pressupost màxim de $3$ €, quants minuts enters com a màxim podràs circular en el patinet elèctric?

Per classificar la funció $y = 8 - 2x$ i trobar el seu comportament a l'inici, en Carlos escriu al seu examen:

«És una funció lineal perquè la seva gràfica és una línia recta. El seu pendent és $m = 8$ perquè és el primer valor que apareix, i la seva ordenada a l'origen és $n = -2$. A més, com que és lineal, la gràfica passa obligatòriament pel punt $(0, 0)$».

1. a) Assenyala els tres errors conceptuals que ha comès en Carlos a la seva explicació.
2. b) Corregeix les afirmacions d'en Carlos indicant el pendent i l'ordenada a l'origen reals de la funció, i classifica-la correctament justificant la teva elecció.
3. c) Demostra numèricament que la gràfica no passa per l'origen $(0,0)$ calculant la imatge de $x = 0$.

Un fontaner cobra $40$ € fixos pel desplaçament a domicili, més $25$ € per cada hora de treball. Escriu la funció que relaciona el cost total del servei ($y$) amb les hores treballades ($x$). Quant costarà una reparació que ha durat $3,5$ hores?

Observa la representació gràfica següent que mostra dues rectes, $A$ i $B$. Determina l'expressió analítica de cadascuna d'elles analitzant els punts per on passen.

Una molla mesura $15$ cm en repòs. En penjar-hi pesos, es comprova que per cada quilogram afegit la molla s'estira $3$ cm (segons la llei de Hooke). Escriu la funció afí que relaciona la longitud total de la molla ($L$) amb la massa penjada en quilograms ($m$). Quina longitud tindrà si hi pengem $4,5$ kg?

Troba l'equació d'una recta que sigui paral·lela a la funció $y = -2x + 5$ i que passi exactament per l'origen de coordenades.

La relació entre la temperatura en graus Celsius ($C$) i graus Fahrenheit ($F$) és lineal. Sabem que l'aigua es congela a $0$ ºC, cosa que equival a $32$ ºF, i bull a $100$ ºC, cosa que equival a $212$ ºF. Troba la funció $F(C)$ que permet convertir graus Celsius a graus Fahrenheit.

Calcula els punts exactes de tall amb els eixos de coordenades (eix $X$ i eix $Y$) de la funció afí $y = \frac{2}{5}x - 4$.

Un dipòsit conté $800$ litres d'aigua i es va buidant mitjançant una bomba que extreu $40$ litres per minut. Escriu l'expressió analítica del volum d'aigua al dipòsit en funció del temps. Quant de temps trigarà a buidar-se per complet?

Troba l'equació de la funció afí que passa pels punts $P(-2, 5)$ i $Q(1, -4)$.

Segons les dades meteorològiques d'AEMET, el gradient tèrmic vertical mitjà a la troposfera fa que la temperatura baixi aproximadament $0,65$ °C per cada $100$ metres de desnivell ($0,0065$ °C per metre). En un dia de primavera, a les 12:00 h, l'estació meteorològica de Granada (a $700$ m sobre el nivell del mar) registra una temperatura de $20$ °C. Es vol predir la temperatura a l'estació d'esquí de Pradollano (a $2100$ m d'altitud).

1. a) Abans d'operar, estima raonadament si a Pradollano la temperatura estarà per sobre o per sota dels $10$ °C calculant mentalment quants graus es perdran aproximadament en els $1400$ m de pujada.
2. b) Modela la situació mitjançant una funció afí $T(x) = mx + n$ que expressi la temperatura $T$ (en °C) en funció de l'alçària ascendida $x$ (en metres, prenent $x = 0$ a la ciutat de Granada). Indica el valor i el significat del signe del pendent $m$.
3. c) Calcula amb la funció la temperatura exacta esperada a Pradollano i comprova si la teva estimació inicial era encertada i coherent amb el resultat.

Un analista de dades necessita modelitzar tres tarifes de consum que coincideixen exactament en un mateix punt de control: el punt $P(5, 20)$, on $x$ representa el consum en gigabytes i $y$ el cost en euros. Troba les expressions algebraiques demanades:

1. a) Determina la fórmula d'una funció lineal $f(x)$ que passi pel punt $P$. Justifica pas a pas com calcules el seu pendent a partir de les coordenades de $P$.
2. b) Planteja la fórmula d'una funció afí $g(x)$ que també passi pel punt $P$, però la quota fixa (ordenada a l'origen) de la qual sigui de $5$ €. Calcula el pendent que ha de tenir aquesta recta.
3. c) Escriu l'expressió d'una funció constant $h(x)$ que contingui el punt $P$. Indica el valor del seu pendent i descriu com és la seva gràfica en els eixos cartesians.

Dues companyies telefòniques ofereixen tarifes diferents. En la gràfica del cost mensual en euros ($C$) en funció dels minuts parlats ($t$), la recta de la Tarifa A passa pels punts $(0, 10)$ i $(200, 20)$, mentre que la de la Tarifa B passa per l'origen $(0, 0)$ i $(200, 20)$. A partir de la gràfica, determina l'expressió algebraica de cada tarifa i explica, resolent el sistema corresponent, a partir de quants minuts convé contractar la Tarifa A respecte de la Tarifa B.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $y = (3k - 2)x + 5$ sigui coincident amb la recta que passa pels punts $A(-1, 2)$ i $B(3, 14)$.

Una màquina industrial es compra per $15\,000$ €. El seu valor es deprecia linealment amb el temps fins a assolir un valor de $0$ € al cap de $12$ anys. Determina la funció que expressa el valor de la màquina en funció dels anys transcorreguts. Quin serà el seu valor residual exacte quan tingui $7$ anys d'antiguitat?

La gràfica següent representa una funció definida a trossos formada per tres segments rectilinis. Determina la seva expressió analítica completa $f(x)$, indicant clarament els intervals de definició per a cada tram.

Calcula l'àrea del triangle que forma la recta $y = -\frac{3}{2}x + 6$ en tallar els eixos de coordenades $X$ i $Y$.

Dos vaixells es troben en dos ports separats per $300$ km. El vaixell $A$ surt cap al port del vaixell $B$ a una velocitat constant de $40$ km/h. Al mateix temps, el vaixell $B$ surt cap al port del vaixell $A$ a $35$ km/h. Escriu les funcions de posició de tots dos vaixells respecte del port d'origen del vaixell $A$ i calcula analíticament en quin instant de temps es creuaran.

Troba l'equació de la recta que passa pel punt $P(2, 3)$ sabent que la seva ordenada a l'origen és exactament el doble que la seva abscissa a l'origen (és a dir, el punt de tall amb l'eix $Y$ és el doble que el punt de tall amb l'eix $X$).

Demostra matemàticament que si $f(x)$ és una funció de proporcionalitat directa ($f(x) = mx$), es compleix sempre que $f(a+b) = f(a) + f(b)$ per a qualssevol valors $a$ i $b$. Després, comprova i justifica per què aquesta propietat no es compleix per a una funció afí $g(x) = mx + n$ (amb $n \neq 0$).

Al laboratori d'automoció d'un centre de Formació Professional registren les següents dades sobre el combustible restant al dipòsit d'un vehicle híbrid que circula a velocitat constant per autovia:

• Als $100$ km recorreguts queden $45$ litres.

• Als $200$ km queden $40$ litres.

• Als $300$ km queden $35$ litres.

• Als $400$ km queden $30$ litres.

Dos alumnes debaten sobre com catalogar la funció que relaciona els quilòmetres ($x$) amb els litres restants ($y$):

• L'Alba proposa calcular el quocient $\frac{y}{x}$ a cada punt per comprovar si és constant.

• En Bruno proposa calcular el ritme de canvi $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ entre parells de punts successius i comprovar l'ordenada a l'origen.

1. a) Aplica la proposta de l'Alba. Quins quocients obtens? Quina conclusió errònia sobre el tipus de funció es podria extreure si només ens basem en aquest mètode?
2. b) Aplica la proposta d'en Bruno. Quin valor constant obtens per al pendent? Escriu l'expressió completa de la funció $y = mx + n$.
3. c) Compara ambdós procediments: justifica quin dels dos mètodes és l'únic adequat per identificar i construir funcions afins en taules experimentals i per què l'altre mètode només serveix per a funcions lineals.

A l'Àrea de Prestació Conjunta del taxi de Madrid (tarifa 1, feiners de 7:00 a 21:00 h), la baixada de bandera és de $2,50$ € i cada quilòmetre recorregut costa $1,30$ €. D'altra banda, una empresa de vehicles VTC que opera a la mateixa zona cobra una quota base fixa de $0,70$ € i una tarifa quilomètrica de $1,80$ €/km per a aquest mateix horari.

1. a) Escriu la funció del cost total $y$ (en euros) en funció dels quilòmetres $x$ per a cadascun dels dos serveis de transport. Identifica el pendent i l'ordenada a l'origen de totes dues i classifica-les raonadament segons els tipus de funció estudiats.
2. b) Interpreta el significat pràctic dels pendents: quin servei encareix més el viatge per cada quilòmetre addicional recorregut? A partir d'això i observant les quotes fixes, raona conceptualment quin dels dos serveis resultarà més econòmic en trajectes curts i quin en trajectes llargs.
3. c) Calcula de manera justificada a partir de quants quilòmetres exactes el cost és idèntic en ambdós serveis. Si t'has de desplaçar des de l'estació de Chamartín fins a l'aeroport Adolfo Suárez Madrid-Barajas (un trajecte de $12$ km), quina opció et convé contractar i quants euros estalviaràs?