Exercicis: Simetria d'una funció

Determina algebraicament si la funció $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ és parell, senar o no té simetria.

Comprova de forma analítica si la funció racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ presenta algun tipus de simetria.

Estudia la simetria de la funció polinòmica $h(x) = x^3 - 4x + 1$.

Observa la gràfica següent d'una funció $f(x)$. A partir de la seva representació, determina quin tipus de simetria té i calcula el valor de $f(-2)$ sabent que $f(2) = -2$.

La gràfica a continuació representa la funció $g(x)$. Identifica visualment la seva simetria i troba $g(-3)$ si sabem que $g(3) = 2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Classifica les funcions elementals següents com a parells, senars o sense simetria: $y = x$, $y = x^2$, $y = \frac{1}{x}$, $y = |x|$.

Una funció $f(x)$ passa pel punt $(2, 5)$. Si sabem que és una funció parell, per quin altre punt ha de passar obligatòriament? I si fos una funció senar?

Raona si el producte d'una funció parell per una funció senar dona com a resultat una funció parell, senar o sense simetria. Pots utilitzar exemples senzills com $x^2$ i $x$ per il·lustrar la teva conclusió.

En un examen de 4t d'ESO, l'Hugo ha de determinar si la funció $f(x) = x^3 - 4x + 1$ és parella, senar o no té simetria. L'Hugo escriu al seu full:

«Calculo $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) + 1 = -x^3 + 4x + 1$. Com que els termes amb $x$ han canviat tots de signe, la funció és senar».

1. a) Troba i explica amb les teves paraules l'error conceptual que ha comès l'Hugo en aplicar la definició de funció senar ($f(-x) = -f(x)$).
2. b) Escriu l'expressió completa de $-f(x)$ i compara-la terme a terme amb $f(-x)$ per corregir el raonament de l'Hugo.
3. c) Determina de manera raonada la conclusió correcta sobre la simetria de $f(x)$.

L'ajuntament de Fuengirola està dissenyant una nova pista de patinatge i encarrega el perfil transversal d'una rampa en forma d'U modelitzada per una funció quadràtica $f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$, on $x$ és la distància horitzontal en metres des del centre de la pista i $f(x)$ és l'alçària en metres respecte al terra.

1. a) Per seguretat i equilibri en el disseny, la rampa ha de tenir simetria parella respecte a l'eix vertical central ($Y$). Demostra algebraicament quin valor ha de prendre obligatòriament el paràmetre $b$ perquè es compleixi sempre que $f(-x) = f(x)$.
2. b) Sabent que el punt més baix de la rampa és al centre a ran de terra ($f(0) = 0$) i que a $3\text{ m}$ del centre l'alçària és d'$1,8\text{ m}$, obtén els valors d'$a$ i $c$, i escriu la fórmula definitiva de la rampa.
3. c) Sense fer substitucions numèriques a la fórmula, dedueix quant valdrà $f(-3)$ justificant-ho a partir de la simetria de la funció.

El cable principal d'un pont penjant adopta la forma d'una paràbola descrita per la funció $f(x) = 0,05x^2 + 10$, on $x$ és la distància horitzontal en metres des del centre del pont. Comprova analíticament la seva simetria i explica quin significat físic té aquest resultat per a l'estructura del pont.

El perfil d'una pala d'un aerogenerador es modelitza mitjançant una funció senar de la forma $f(x) = ax^3$. Si l'extrem de la pala es troba en les coordenades $(15, 30)$ en cm, en quines coordenades es trobarà l'extrem oposat? Calcula a més el valor del paràmetre $a$.

Estudia algebraicament la simetria de la funció $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x^2+4}}$.

Demostra algebraicament si la funció exponencial combinada $f(x) = \frac{3^x - 3^{-x}}{2}$ és parell, senar o cap de les dues.

La gràfica següent mostra únicament la part corresponent a $x \ge 0$ d'una funció $f(x)$. Si es sap que la funció és senar, descriu com seria la part que falta a l'interval $x < 0$ i determina les coordenades dels vértexs en el costat negatiu.

Calcula el valor que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè la funció $f(x) = 2x^2 + kx + 5$ sigui una funció parell en tot el seu domini.

La variació de temperatura en una càmera de proves es regeix per la funció $T(t) = \frac{12t}{t^2 + 4}$ per a $t \in [-5, 5]$, on $t$ és el temps en hores i $T$ la temperatura en graus Celsius. Determina la simetria de la funció i interpreta què passa amb les temperatures en els instants $t = 3$ i $t = -3$.

Donades dues funcions, $f(x)$ parell i $g(x)$ senar, analitza la simetria de la funció suma $h(x) = f(x) + g(x)$. Comprova-ho utilitzant les funcions $f(x) = x^2$ i $g(x) = x$.

Per esbrinar si la funció polinòmica $f(x) = 2x^4 - 7x^2 + 3$ té algun tipus de simetria, dos estudiants proposen estratègies diferents:

• La Sofía proposa un camí numèric: calcular $f(2)$ i $f(-2)$, i si donen el mateix resultat, assegurar que la funció és parella.

• En Mateo proposa el mètode analític: calcular l'expressió algebraica general de $f(-x)$ i comparar-la directament amb $f(x)$ i amb $-f(x)$.

1. a) Aplica el mètode d'en Mateo pas a pas i conclou justificadament si la funció és parella, senar o no té simetria.
2. b) Compara els dos mètodes i explica per què el camí de la Sofía no serveix per demostrar formalment que una funció és parella en tot el seu domini.
3. c) Tanmateix, el mètode de la Sofía sí que és útil per descartar simetries. Comprova-ho amb la funció $g(x) = x^2 + 3x$: avalua $g(1)$ i $g(-1)$, i justifica a partir d'ells per què es pot assegurar immediatament que $g$ no és parella.

En les obres d'adequació d'un túnel de carretera a l'autovia A-6 al seu pas per Guadarrama, es modelitza l'alçària de la volta mitjançant la funció $h(x) = 6 - 0,15 \cdot x^2$, on $x$ representa la distància horitzontal en metres des de la mitjana divisòria central (amb $-5 \le x \le 5$) i $h(x)$ és l'alçària del túnel en metres.

1. a) Abans de fer càlculs, estima si té sentit enginyeril que la secció transversal d'un túnel de doble sentit sigui una funció parella, senar o sense simetria respecte a la línia central, i argumenta la teva previsió.
2. b) Comprova algebraicament si la funció $h(x)$ és parella, senar o no té simetria aplicant la condició formal sobre $h(-x)$.
3. c) Un camió de bombers circula pel carril dret i el seu punt més exterior se situa a $x = 4\text{ m}$ de la mitjana. Calcula l'alçària del túnel en aquest punt per veure si passa per sota d'un senyal instal·lat a $3,5\text{ m}$ d'alçària. Després d'això, justifica mitjançant la simetria quina serà l'alçària al carril esquerre a $x = -4\text{ m}$ sense necessitat de repetir l'operació.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció racional $f(x) = \frac{ax^3 + b}{x^2 - 1}$ sigui senar i passi pel punt $(2, \frac{16}{3})$.

Demostra que qualsevol funció $f(x)$ definida a $\mathbb{R}$ es pot expressar com la suma d'una funció parell i una funció senar. (Pista: considera les expressions $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ i $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$).

Un arc arquitectònic es modelitza mitjançant la funció $y = \frac{k}{e^{cx} + e^{-cx}}$. Demostra que aquest arc és simètric respecte de l'eix d'ordenades independentment del valor de $c$. Si l'altura màxima de l'arc a $x = 0$ és de $10$ metres, troba el valor de $k$.

Determina algebraicament el tipus de simetria de la funció logarítmica $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$. Tingues en compte les propietats dels logaritmes.

Troba els valors dels paràmetres $m$ i $n$ que fan que la funció polinòmica $f(x) = x^4 + (m-2)x^3 + nx^2 + (n+1)x + 5$ sigui simètrica respecte de l'eix d'ordenades.

El camp magnètic $B(x)$ creat per un fil conductor recte i indefinit a una distància $x$ ve donat per $B(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}$. Comprova la paritat d'aquesta funció. Quina interpretació física té el fet que la funció sigui senar en avaluar el camp en una posició $x$ i en la seva oposada $-x$?

Si $f(x)$ és una funció parell i $g(x)$ és una funció qualsevol, determina de forma raonada la simetria de la funció composta $k(x) = g(f(x))$. Es pot afirmar el mateix de la funció $h(x) = f(g(x))$?

Una funció parell $f(x)$ està formada per segments rectes. En el primer quadrant, tanca un triangle amb els vértexs $(0, 4)$, $(3, 0)$ i l'origen de coordenades. A partir de la gràfica mostrada per a $x \ge 0$, dedueix l'equació de $f(x)$ per a tot el seu domini expressada com a funció a trossos i calcula l'àrea total tancada per la funció i l'eix d'abscisses.

L'Instituto Español de Oceanografía (IEO) monitora el flux d'aigua a la boca d'una ria gallega. La velocitat de l'aigua en metres per segon durant un cicle es modelitza mitjançant la funció $v(t) = \frac{4t}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des del moment de nivell mitjà ($t = 0$), amb $-3 \le t \le 3$. Els valors positius indiquen corrent entrant (plenamar) i els negatius, corrent sortint (baixamar).

1. a) Demostra analíticament que la funció $v(t)$ és senar calculant pas a pas $v(-t)$ i comparant-lo amb $-v(t)$.
2. b) Si al cap de 2 hores de la marea mitjana ($t = 2$) el sensor registra una velocitat d'entrada d'$1\text{ m/s}$, dedueix raonadament a partir de la simetria quina era la velocitat i el sentit de l'aigua 2 hores abans d'aquest instant central ($t = -2$).
3. c) Un membre de l'equip afirma que qualsevol funció senar el domini de la qual inclogui el $0$ ha de passar obligatòriament per l'origen $(0,0)$. Demostra algebraicament si aquesta afirmació és sempre vertadera utilitzant la igualtat $f(-x) = -f(x)$ per a $x = 0$, i explica quin significat físic té això per al corrent a $t = 0$.

L'Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) modelitza la pressió atmosfèrica al voltant de l'ull d'una borrasca al mar Cantàbric mitjançant $P(x) = 0,04x^2 + 990$, on $x$ és la distància en desenes de quilòmetres a l'est ($x > 0$) o a l'oest ($x < 0$) del centre de la borrasca ($x = 0$), i $P(x)$ és la pressió en hectopascals ($\text{hPa}$).

1. a) Justifica analíticament per què $P(x)$ és una funció parella i quina implicació meteorològica té això respecte a la distribució de pressions a banda i banda de l'ull de la tempesta.
2. b) Un front desplaça la borrasca $30\text{ km}$ cap a l'est (és a dir, 3 desenes de quilòmetres a la dreta), de manera que el nou model passa a ser $Q(x) = P(x - 3) = 0,04(x - 3)^2 + 990$. Desenvolupa l'expressió de $Q(x)$ i comprova algebraicament si $Q(x)$ continua sent una funció parella respecte a l'eix $Y$.
3. c) Explica des del punt de vista geomètric per què un desplaçament horitzontal fa perdre la simetria parella respecte a l'eix $Y$, indica quin és ara el nou eix vertical de simetria de la gràfica i raona si una translació vertical (per exemple, sumar $5\text{ hPa}$ a tota la funció) provocaria també la pèrdua de la simetria parella.