Exercicis: Com se'ns presenten les funcions

Observa les gràfiques següents i indica quines corresponen a la representació d'una funció matemàtica i quines no. Justifica la teva resposta utilitzant la regla de la línia vertical.

Expressa mitjançant una fórmula algebraica la relació següent descrita verbalment: "El cost $C$ de comprar $x$ quilograms de pomes si cada quilo costa $1,80$ € i la bossa de plàstic per portar-les costa $0,10$ €."

Determina l'expressió algebraica de la funció lineal que relaciona les variables $x$ i $y$ donades en la taula de valors següent:

• $x$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $y$: $5$, $7$, $9$, $11$, $13$

Donada la funció definida per la fórmula $f(x) = \frac{x^2 - 1}{2}$, construeix una taula de valors per a $x \in \{-3, -1, 0, 1, 3\}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la gràfica següent, construeix una taula de valors per a les coordenades $x \in \{-4, -2, 0, 2, 4\}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa les taules de valors següents i determina quina d'elles representa una funció i quina no. Justifica la teva resposta indicant la condició que ha de complir una relació per ser una funció.

Taula A:

• $x$: $-2$, $0$, $2$, $2$, $4$

• $y$: $4$, $0$, $3$, $5$, $16$

Taula B:

• $x$: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$

• $y$: $4$, $1$, $0$, $1$, $4$

Un aparcament de pagament cobra una tarifa base de $2$ € per entrar i $1,50$ € per cada hora d'estada. Crea una taula de valors que mostri el cost total per a estades de $0$, $1$, $2$, $3$ i $4$ hores.

Analitza les descripcions verbals següents i decideix quines defineixen una funció matemàtica (on a cada element inicial li correspon un únic element final):

1. a) A cada persona se li associa el seu número de DNI.
2. b) A cada número de peu (talla de calçat) se li associa una persona que el calça.
3. c) A cada nombre real se li associa el seu quadrat.
4. d) A cada nombre real positiu se li associen les seves arrels quadrades.

Una empresa de mobilitat urbana en una ciutat espanyola ofereix un servei de lloguer de patinets elèctrics compartits. La tarifa consisteix en un cost fix d'$1$ € per desbloqueig més $0,25$ € per cada minut de trajecte.

1. Escriu l'expressió algebraica que proporciona el cost total del viatge, $C(t)$ en euros, en funció del temps d'ús $t$ expressat en minuts.

2. Elabora una taula de valors que mostri el cost per a trajectes de $0$, $4$, $10$, $15$ i $20$ minuts.

3. Per raons de seguretat i d'autonomia de la bateria, l'aplicació bloqueja automàticament qualsevol viatge en assolir els $45$ minuts de durada continuada. Tenint això en compte, defineix de manera raonada el domini de context de la funció $C(t)$.

Una empresa de missatgeria urgent aplica una tarifa per trams per a enviaments peninsulars segons el pes del paquet en quilograms ($x$). La tarifa en euros ve donada per la funció:

$P(x) = \begin{cases} 4,50 & \text{si } 0 < x \le 2 \\ 4,50 + 1,20 \cdot (x - 2) & \text{si } x > 2 \end{cases}$

La Lucía necessita enviar un paquet que pesa exactament $1,5$ kg. Per calcular l'import, substitueix directament $x = 1,5$ en la segona fórmula:

$P(1,5) = 4,50 + 1,20 \cdot (1,5 - 2) = 4,50 + 1,20 \cdot (-0,5) = 4,50 - 0,60 = 3,90 \text{ €}$

La Lucía conclou que, com que el seu paquet pesa $1,5$ kg, li surt més barat que la tarifa fixa de $4,50$ € per a paquets petits.

Explica quin error conceptual ha comès la Lucía en avaluar la funció a trossos, raona per què la seva conclusió no té sentit físic en el context del problema i calcula el preu correcte que ha de pagar.

Dues companyies telefòniques ofereixen diferents tarifes mensuals. La companyia Alpha cobra una quota fixa de $5$ € més $0,10$ € per cada minut de trucada. La companyia Beta no té quota fixa, però cobra $0,15$ € per minut.

1. Escriu l'expressió algebraica del cost mensual per a cada companyia en funció dels minuts consumits $x$.

2. Calcula quant pagaries en cada companyia si consumeixes $120$ minuts en un mes.

3. Troba algebraicament a partir de quants minuts resulta més barata la companyia Alpha.

Es disposa d'un fil de filferro de $30$ cm de longitud amb el qual es vol formar un rectangle.

1. Expressa l'àrea del rectangle $A(x)$ en funció de la mida de la seva base $x$.

2. Quin és el domini lògic d'aquesta funció en el context del problema? És a dir, quins valors reals pot prendre la base $x$ perquè el rectangle existeixi?

La gràfica següent mostra l'evolució de la temperatura a l'exterior d'una estació meteorològica al llarg d'un dia complet ($24$ hores). A partir de la gràfica, respon:

1. Quines són les temperatures màxima i mínima assolides, i a quina hora es produeixen?

2. Indica els intervals de temps en què la temperatura ascendeix i en què descendeix.

Relaciona cadascuna de les fórmules algebraiques següents amb la taula de valors que li correspon:

Fórmules:

1. $y = 2x - 3$

2. $y = x^2 + 1$

3. $y = \frac{12}{x}$

Taules:

• Taula A: $(-2, 5)$, $(0, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 10)$

• Taula B: $(-2, -6)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$

• Taula C: $(-1, -5)$, $(0, -3)$, $(2, 1)$, $(4, 5)$

En un experiment de física, es deixa caure una pedra des d'un pont situat a $45$ metres d'altura sobre un riu. L'altura $h$ de la pedra respecte a l'aigua, mesurada en metres, en funció del temps $t$ en segons, ve donada per l'expressió $h(t) = 45 - 5t^2$.

1. Construeix una taula de valors per a $t = 0$, $t = 1$, $t = 2$ i $t = 3$.

2. En quin instant de temps exacte impacta la pedra contra l'aigua?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Identifica quines de les equacions següents relacionen $x$ i $y$ de manera que $y$ sigui una funció de $x$. Justifica la teva resposta aïllant la variable $y$ quan sigui possible.

1. a) $3x + 2y = 6$
2. b) $x^2 + y^2 = 25$
3. c) $y = x^3 - 2$

Un servei de taxi cobra una baixada de bandera de $2,50$ € i un suplement de $1,20$ € per cada quilòmetre recorregut.

1. Escriu l'expressió analítica de la funció que dona el preu del viatge en funció dels quilòmetres recorreguts.

2. Si un client ha pagat $14,50$ € en arribar a la seva destinació, quants quilòmetres ha recorregut el taxi?

Tradueix la situació següent a una expressió algebraica definida a trossos: "Un abonament de transport per a joves costa $20$ € al mes i permet realitzar fins a $30$ viatges sense cost addicional. A partir del viatge número $31$, es cobra $0,50$ € per cada viatge extra realitzat." Sigui $x$ el nombre total de viatges realitzats en el mes i $C(x)$ el cost mensual total.

Segons dades de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), en una jornada primaveral a Sierra Nevada la temperatura a nivell del mar ($0$ metres d'altitud) és de $18$ ºC. A mesura que s'ascendeix pel vessant de la muntanya, la temperatura descendeix a un ritme constant de $0,6$ ºC per cada $100$ metres de desnivell.

1. Obtén la fórmula de la funció $T(h)$ que relaciona la temperatura en graus Celsius amb l'altitud $h$ mesurada en metres.

2. Si el cim més alt accessible en la ruta es troba al pic Veleta, a $3396$ metres d'altitud, determina el domini de context de la funció justificant els extrems de l'interval.

3. Calcula a partir de quina altitud la temperatura estarà per sota del punt de congelació ($0$ ºC) i interpreta si els excursionistes trobaran neu o gel abans d'arribar al cim.

El coordinador d'un poliesportiu municipal vol analitzar l'ocupació del gimnàs durant un dissabte, des de la seva obertura a les 8:00 fins al tancament a les 22:00. Per presentar els resultats a l'equip directiu, pot triar entre tres maneres diferents de mostrar la mateixa informació:

• Forma 1 (Taula): Un llistat amb el nombre exacte de persones registrades pel torn d'entrada cada hora en punt ($8$ h, $9$ h, $10$ h, etc.).

• Forma 2 (Gràfica): Una corba contínua temporal generada pel sensor de l'aforament en temps real al llarg de les $14$ hores.

• Forma 3 (Fórmula): Una expressió algebraica polinòmica aproximada de grau 3, $A(t) = -0,2 \cdot t^3 + 4,1 \cdot t^2 - 18 \cdot t + 25$, on $t$ són les hores transcorregudes des de les 8:00.

Respon de manera justificada a les preguntes següents:

1. a) Si la direcció necessita identificar d'un cop d'ull les hores punta de més saturació i els intervals en què el gimnàs va estar per sota del $30$ % d'aforament, quina de les tres maneres és la més eficaç i per què?
2. b) Si es necessita auditar el compliment del límit legal d'aforament a les 12:00 en punt per a una inspecció tècnica, quina és la manera més convenient i quin inconvenient presentaria utilitzar la fórmula?

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ que està formada per tres trams: un tros d'hipèrbola, un segment rectilini i un tros de corba exponencial.

1. a) Determina, fixant-te en la quadrícula (1 unitat = 1 quadre), el domini i el recorregut de la funció.
2. b) Identifica l'equació de la recta vertical marcada en vermell (assímptota de la hipèrbola a la qual pertany el primer tram) i els punts de discontinuïtat.
3. c) Sabent que el primer tram és de la forma $y = \frac{k}{x+2}$, el segon és lineal i el tercer és de la forma $y = a^{x-3}$, determina l'expressió analítica completa de la funció $f(x)$ definida a trossos.

Es disposa d'una planxa de cartró quadrada de $40$ cm de costat. Es vol construir una caixa sense tapa tallant un quadrat de costat $x$ a cadascuna de les quatre cantonades i doblegant les solapes resultants cap amunt.

1. Expressa el volum de la caixa, $V(x)$, en funció del costat $x$ del quadrat retallat.

2. Determina el domini de definició d'aquesta funció en el context geomètric del problema.

Les tarifes d'un aparcament públic indiquen que es cobrarà $2$ € per la primera hora o fracció d'hora, i $1,50$ € per cada hora o fracció d'hora addicional.

1. Construeix una taula de valors que mostri el cost d'aparcar per als temps $t \in \{0,5; 1; 1,5; 2; 2,5\}$ hores.

2. Explica per què la representació gràfica d'aquesta situació correspon a una funció escalonada (funció a trossos constant per intervals).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la gràfica de la funció següent definida a trossos, troba l'expressió algebraica (fórmula) que correspon a cadascun dels tres trams rectes que la componen.

Un teatre disposa de $500$ butaques. S'ha comprovat que, si el preu de l'entrada és de $20$ €, el teatre s'omple per complet. A més, un estudi de mercat estima que per cada increment de $5$ € en el preu de l'entrada, es venen $40$ butaques menys.

Expressa els ingressos totals del teatre, $I(x)$, en funció del nombre d'increments de $5$ € aplicats al preu original (és a dir, $x$ representa la quantitat de vegades que es puja el preu en $5$ €).

Observa la seqüència següent de figures formades per punts. Determina l'expressió algebraica de la funció $N(s)$ que relaciona el número de la figura (pas $s$) amb el nombre total de punts que la componen. Utilitza la fórmula obtinguda per calcular quants punts tindrà la Figura 40.

Troba l'expressió algebraica de la paràbola representada en la gràfica sabent que és de la forma $y = ax^2 + bx + c$. Utilitza els punts destacats per plantejar i resoldre el sistema d'equacions necessari.

Un ciclista $A$ surt d'una ciutat cap a l'est a una velocitat constant de $20$ km/h. Exactament una hora després, un segon ciclista $B$ surt de la mateixa ciutat i en la mateixa direcció perseguint el primer a una velocitat constant de $25$ km/h. Expressa la distància $d(t)$ que separa tots dos ciclistes en funció del temps $t$ (en hores) transcorregut des que va sortir el ciclista $A$.

Un dipòsit de $500$ litres de capacitat conté inicialment $100$ litres d'aigua. S'obre una aixeta que aboca aigua a raó de $25$ litres per minut durant $10$ minuts. A continuació, l'aixeta es tanca i el dipòsit roman en repòs durant $5$ minuts. Finalment, s'obre un desguàs que buida l'aigua a raó de $50$ litres per minut fins que el dipòsit queda completament buit. Escriu l'expressió analítica a trossos de la funció volum $V(t)$ que indica la quantitat d'aigua al dipòsit en l'instant $t$ (en minuts).

En una capital de província espanyola, l'empresa pública d'aigües factura el consum bimestral d'aigua domèstica per blocs per premiar l'estalvi, aplicant la tarifa variable següent sobre els metres cúbics ($x$) consumits:

• Bloc 1 (consum bàsic, fins a $20 \text{ m}^3$): $0,50$ € per $\text{m}^3$.

• Bloc 2 (consum mitjà, excés sobre $20 \text{ m}^3$ i fins a $40 \text{ m}^3$): els primers $20 \text{ m}^3$ es paguen a la tarifa del Bloc 1, i els metres cúbics que superin els $20$ es paguen a $1,10$ € cadascun.

• Bloc 3 (consum elevat, més de $40 \text{ m}^3$): els primers $40 \text{ m}^3$ segons els blocs anteriors, i l'excés sobre $40 \text{ m}^3$ a $2,20$ € per $\text{m}^3$.

Un habitatge ha registrat un consum bimestral de $35 \text{ m}^3$.

1. Sense calcular encara la factura exacta, fes una estimació del cost: l'import total estarà més a prop de $17$ €, de $27$ € o de $45$ €? Justifica com descartes les altres dues opcions recolzant-te en els preus dels blocs.

2. Escriu l'expressió analítica completa de la funció a trossos $C(x)$ que calcula el cost de l'aigua per a qualsevol consum $x$ en l'interval $[0, 40]$.

3. Calcula l'import exacte per als $35 \text{ m}^3$ consumits, comprova la validesa de la teva estimació inicial i calcula el preu mitjà real que paga aquesta família per cada metre cúbic consumit.

Un municipi turístic posarà en marxa un aparcament públic dissuasiu vigilat i necessita fixar les tarifes per hores per evitar que els vehicles hi romanguin abandonats diversos dies. S'han establert els requisits següents per a la funció de cost total $P(t)$ en euros en funció del temps d'estacionament $t$ en hores:

1. Les dues primeres hores ($0 \le t \le 2$) són gratuïtes ($0$ €) per fomentar el comerç local.

2. Entre les $2$ i les $6$ hores ($2 < t \le 6$), el cost creix de manera lineal a raó d'$1,80$ € per cada hora addicional a partir de la segona.

3. A partir de les $6$ hores i fins al límit màxim diari de $24$ hores ($6 < t \le 24$), el preu per hora addicional augmenta per penalitzar les estades llargues. La funció ha de ser contínua (sense salt en $t = 6$), de manera que el cost comenci en el valor acumulat fins a aquell moment i assoleixi un import final d'exactament $61,20$ € si el cotxe hi roman les $24$ hores completes.

Amb aquestes dades:

1. a) Determina l'expressió analítica de la funció a trossos $P(t)$, detallant la fórmula i l'interval de validesa de cadascun dels seus tres trams.
2. b) Si un usuari ha pagat un total de $16,20$ €, esbrina raonadament mitjançant l'equació del tram corresponent quantes hores exactes ha romàs el seu vehicle a l'aparcament.