Exercicis: Taula de freqüència

En una enquesta a $20$ estudiants s'ha preguntat pel nombre de germans ($X$) i el nombre de mascotes ($Y$). Els resultats es recullen en la taula de doble entrada següent:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
0	$2$	$4$	$1$
1	$3$	$5$	$2$
2	$1$	$1$	$1$

Indica quants estudiants tenen exactament $1$ germà i $2$ mascotes, i comprova que la suma de totes les freqüències conjuntes coincideix amb el nombre total d'estudiants enquestats.

S'ha preguntat a $10$ persones pel nombre de vegades que van al cinema al mes ($X$) i el nombre de llibres que llegeixen al mes ($Y$). Les respostes obtingudes per a cada individu $(X,Y)$ han estat:

$(1, 0), (2, 1), (1, 0), (3, 2), (2, 1), (1, 1), (3, 2), (2, 0), (1, 0), (2, 1)$.

Construeix la taula de doble entrada corresponent a aquestes dues variables indicant les freqüències absolutes conjuntes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la taula de freqüències conjuntes següent que relaciona les notes de Matemàtiques ($X$) i les notes de Física ($Y$) d'un grup d'alumnes:

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Escriu la taula de la distribució marginal de la variable $X$ (notes de Matemàtiques), indicant cada valor de $X$ i la seva corresponent freqüència marginal $f_{i\bullet}$.

A partir de la mateixa taula de l'exercici anterior, que relaciona les notes de Matemàtiques ($X$) i Física ($Y$):

$X \setminus Y$	$5$	$6$	$7$
5	$4$	$2$	$0$
6	$1$	$5$	$3$
7	$0$	$2$	$6$

Escriu la taula de la distribució marginal de la variable $Y$ (notes de Física), indicant cada valor de $Y$ i la seva freqüència marginal $f_{\bullet j}$.

Completa els totals marginals (files i columnes) de la taula de contingència següent que relaciona el nombre d'hores d'estudi diari ($X$) i el nombre d'assignatures suspeses ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
1	$1$	$3$	$2$
2	$4$	$1$	$0$
3	$0$	$2$	$2$
Total $Y$

Copia la taula al teu quadern i omple les caselles buides amb les sumes corresponents.

La taula següent mostra la relació entre l'edat de diversos joves ($X$) i el nombre d'hores que dediquen a fer esport a la setmana ($Y$):

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
14	$5$	$3$	$1$
15	$2$	$6$	$4$
16	$1$	$2$	$5$

Escriu la distribució condicionada del nombre d'hores d'esport ($Y$) per als joves que tenen exactament $15$ anys ($X=15$).

En un estudi sobre famílies, s'ha registrat el nombre de cotxes ($X$) i el nombre de bicicletes ($Y$). Sabem que la variable $X$ pren els valors $0, 1, 2$ i la variable $Y$ pren els valors $0, 1$. Construeix la taula de doble entrada sabent que:

• Hi ha $2$ famílies amb $(0,0)$ i $3$ famílies amb $(0,1)$.

• Hi ha $4$ famílies amb $(1,0)$ i $5$ famílies amb $(1,1)$.

• Hi ha $1$ família amb $(2,0)$ i $0$ famílies amb $(2,1)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la distribució marginal següent de la variable $X$ amb freqüències absolutes $f_i$:

$X$	$1$	$2$	$3$
$f_i$	$4$	$5$	$1$

Si sabem que la variable $Y$ només pren el valor $Y=2$ per a tots els individus de la mostra, construeix la taula de doble entrada completa per a la distribució conjunta de $(X,Y)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una enquesta a $30$ estudiants de 4t d'ESO sobre el nombre d'hores diàries d'oci amb pantalles ($X$: 1, 2 o 3 hores) i els dies setmanals que practiquen esport fora de l'institut ($Y$: 0, 1 o 2 dies), s'ha obtingut la taula de freqüències de doble entrada següent:

$X \setminus Y$	$0$ dies	$1$ dia	$2$ dies	Total $X$
1 hora	$2$	$5$	$4$	$11$
2 hores	$3$	$6$	$3$	$12$
3 hores	$4$	$2$	$1$	$7$
Total $Y$	$9$	$13$	$8$	$30$

L'Álvaro analitza aquestes dades i comet dos errors habituals en el seu quadern de treball:

1. Afirma: «Per saber quantes persones han participat en l'estudi en total, he de sumar els totals de les files ($11 + 12 + 7 = 30$) i els totals de les columnes ($9 + 13 + 8 = 30$), per la qual cosa en total es va enquestar $60$ persones».

2. Afirma: «La casella que conté el número $6$ indica que hi ha $6$ alumnes que fan esport $2$ dies a la setmana i passen $1$ hora davant de les pantalles».

Identifica quin concepte confon l'Álvaro en cadascuna de les seves afirmacions, explica per què el seu raonament és erroni i redacta la interpretació correcta d'ambdues qüestions a partir de la taula.

El Consorci Regional de Transports d'una comunitat autònoma analitza la mobilitat juvenil i entrevista $40$ estudiants de secundària sobre dues variables: el títol de transport que utilitzen habitualment ($X$: «Abonament Jove», «Targeta multiviatge» o «Bitllet senzill») i els dies a la setmana que fan servir l'autobús o el metro ($Y$: «1-2 dies», «3-4 dies» o «5-7 dies»). De les entrevistes s'extreuen aquestes dades:

• $18$ joves tenen Abonament Jove; d'aquests, cap no viatja només 1-2 dies i $12$ viatgen de 5 a 7 dies.

• $14$ joves utilitzen Targeta multiviatge; d'aquests, $6$ viatgen d'1 a 2 dies i $5$ viatgen de 3 a 4 dies.

• Els $8$ joves restants fan servir Bitllet senzill; cap no viatja de 5 a 7 dies, i els que viatgen d'1 a 2 dies tripliquen els que viatgen de 3 a 4 dies.

1. a) Modela aquesta situació construint una taula de freqüències de doble entrada completa: situa a les files els títols de transport ($X$), a les columnes la freqüència d'ús ($Y$), i calcula totes les freqüències conjuntes i els totals marginals de files i columnes.
2. b) A partir de la taula, calcula quin percentatge del total de joves viatja en transport públic de 5 a 7 dies a la setmana i raona per què resulta coherent amb la realitat que cap usuari de Bitllet senzill no pertanyi a aquesta categoria d'ús intensiu.

Una taula de doble entrada mostra la relació entre el nombre de gols marcats ($X$) i els gols rebuts ($Y$) per un equip de futbol en diversos partits. Algunes caselles interiors s'han esborrat, però es conserven els totals marginals.

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$	Total $X$
0	$2$	$a$	$0$	$5$
1	$b$	$3$	$1$	$8$
2	$1$	$1$	$c$	$4$
Total $Y$	$7$	$7$	$3$	$17$

Calcula els valors desconeguts $a$, $b$ i $c$ perquè la taula sigui coherent.

La taula següent relaciona la quantitat de fertilitzant en grams ($X$) i l'alçària de la planta en centímetres ($Y$) després d'un mes de creixement:

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calcula la distribució marginal de l'alçària de les plantes ($Y$) i troba la seva mitjana aritmètica marginal $\bar{y}$.

Utilitzant la taula de l'exercici anterior sobre fertilitzant ($X$) i alçària ($Y$):

$X \setminus Y$	$10$	$15$	$20$
5	$2$	$4$	$1$
10	$1$	$5$	$3$
15	$0$	$2$	$6$

Calcula la mitjana condicionada de l'alçària de les plantes sabent que se'ls va aplicar exactament $10\text{ g}$ de fertilitzant (és a dir, calcula $\bar{y}_{X=10}$).

En un estudi econòmic es relaciona el nivell d'ingressos mensuals en milers d'euros ($X$) i la despesa en oci en centenars d'euros ($Y$) de diverses famílies.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$12$	$6$	$2$
2	$5$	$10$	$5$
3	$1$	$4$	$5$

Respon a les preguntes següents calculant els percentatges corresponents:

1. a) Quin percentatge del total de famílies enquestades té uns ingressos de $2$ mil euros i gasta $3$ centenars d'euros en oci?
2. b) Quin percentatge de les famílies que ingressen $3$ mil euros gasten $2$ centenars d'euros en oci?

Les alçades en centímetres ($X$) i el nombre de medalles obtingudes ($Y$) d'un grup d'atletes s'han recollit en la taula següent, en què la variable $X$ està agrupada en intervals:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[160, 170)$	$6$	$3$	$1$
$[170, 180)$	$4$	$8$	$2$
$[180, 190)$	$2$	$5$	$9$

Obtén la distribució marginal de les alçades ($X$) i calcula la seva mitjana aritmètica marginal $\bar{x}$, utilitzant les marques de classe de cada interval.

Donada la taula de doble entrada següent sobre el nombre de dies de pluja a la setmana ($X$) i el nombre d'accidents de trànsit diaris ($Y$) en una ciutat:

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calcula la variància marginal de la variable $Y$ (accidents de trànsit).

A partir de les mateixes dades de l'exercici anterior sobre dies de pluja ($X$) i accidents ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
1	$10$	$4$	$1$
2	$5$	$8$	$2$
3	$2$	$6$	$12$

Calcula la variància condicionada del nombre d'accidents de trànsit ($Y$) quan el nombre de dies de pluja és exactament $X=3$.

El diagrama de dispersió següent mostra les qualificacions obtingudes en dues proves d'aptitud, $X$ i $Y$, per un grup de candidats. Els nombres de dins dels cercles indiquen la freqüència absoluta conjunta (el nombre de candidats que van obtenir aquesta parella de puntuacions). Construeix la taula de doble entrada associada a aquest gràfic i calcula la mitjana marginal de la prova $X$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) ha registrat durant els $30$ dies del mes de novembre en una comarca costanera dues variables: el nivell d'avís per temporal de vent ($X$: 0 = Sense avís, 1 = Avís groc, 2 = Avís taronja) i el nivell de precipitació acumulada ($Y$: 0 = Sense pluja, 1 = Pluja moderada, 2 = Pluja forta). Els registres es resumeixen en la taula següent:

$X \setminus Y$	Sense pluja ($0$)	Moderada ($1$)	Forta ($2$)	Total $X$
Sense avís (0)	$11$	$4$	$0$	$15$
Groc (1)	$2$	$5$	$3$	$10$
Taronja (2)	$0$	$1$	$4$	$5$
Total $Y$	$13$	$10$	$7$	$30$

1. a) Estima sense calcular: Observa la posició de les freqüències més altes al llarg de la diagonal i a les cantonades de la taula. Estima si un avís per vent més sever tendeix a associar-se amb un nivell de pluja més alt o si totes dues variables semblen comportar-se de manera totalment independent. Justifica en quines caselles et fixes per fer la teva estimació.
2. b) Comprova amb dades: Calcula la proporció de dies de pluja forta ($Y=2$) dins del grup de dies sense avís de vent ($X=0$) i compara-la numèricament amb la proporció de dies de pluja forta dins del grup amb avís taronja ($X=2$). Confirmen aquests percentatges la teva estimació inicial? Justifica la teva resposta.

En un estudi sobre hàbits de vida saludable basat en indicadors de l'Enquesta Nacional de Salut (INE), un equip d'atenció primària recull dades de $60$ pacients adults. S'analitzen dues variables: el consum diari de fruita fresca ($X$: 0 = Menys d'1 peça, 1 = D'1 a 2 peces, 2 = 3 o més peces) i el nivell setmanal d'activitat física ($Y$: 0 = Sedentari, 1 = Moderada, 2 = Regular). En imprimir l'informe, una taca de tinta va esborrar quatre caselles ($a$, $b$, $c$ i $d$):

$X \setminus Y$	Sedentari ($0$)	Moderada ($1$)	Regular ($2$)	Total $X$
$< 1$ peça (0)	$12$	$6$	$a$	$20$
1-2 peces (1)	$8$	$b$	$10$	$25$
$\ge 3$ peces (2)	$c$	$4$	$9$	$d$
Total $Y$	$22$	$17$	$21$	$60$

1. a) Dedueix de manera raonada el valor de les quatre caselles desconegudes ($a$, $b$, $c$ i $d$) a partir de les propietats dels totals marginals de fila i columna, indicant amb claredat l'ordre que has seguit per calcular-les.
2. b) Una doctora afirma després de veure els resultats: «El percentatge de persones sedentàries entre els qui amb prou feines mengen fruita ($< 1$ peça) és més del triple que el percentatge de persones sedentàries entre els qui mengen tres o més peces al dia». Comprova amb càlculs numèrics de freqüències relatives si l'afirmació de la doctora és certa o falsa.

En una taula de doble entrada que relaciona dues variables $X$ i $Y$, la freqüència de la casella per a $X=2$ i $Y=3$ és un valor desconegut $k$.

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
1	$4$	$5$	$2$
2	$1$	$3$	$k$
3	$2$	$6$	$1$

Si sabem que la mida total de la mostra és $N=30$, determina el valor de $k$ i, a continuació, calcula la desviació típica marginal de la variable $X$.

La taula següent relaciona les hores d'entrenament setmanal ($X$) i el temps en una cursa en minuts ($Y$). Dues freqüències absolutes conjuntes, $a$ i $b$, són desconegudes.

$X \setminus Y$	$15$	$20$	$25$
2	$4$	$2$	$1$
4	$a$	$5$	$3$
6	$1$	$b$	$4$

Sabem que en total hi ha $N=40$ atletes en l'estudi i que la mitjana marginal d'hores d'entrenament és $\bar{x} = 4,25$. Planteja un sistema d'equacions lineals i troba els valors exactes de $a$ i $b$.

Donada la taula de contingència bidimensional següent per a les variables discretes $X$ i $Y$:

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
10	$1$	$3$	$0$
20	$2$	$5$	$2$
30	$0$	$2$	$5$

Calcula la covariància $\sigma_{xy}$ de la distribució conjunta. Recorda que la fórmula de la covariància és $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_j f_{ij}}{N} - \bar{x}\bar{y}$.

Un estudi econòmic agrupa tant la variable $X$ (despesa en publicitat en milers d'euros) com la variable $Y$ (vendes en milers d'euros) en intervals de classe.

$X \setminus Y$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
$[0, 2)$	$2$	$5$	$1$
$[2, 4)$	$3$	$8$	$4$
$[4, 6)$	$0$	$2$	$5$

Utilitzant les marques de classe de cada interval, calcula les mitjanes marginals $\bar{x}$ i $\bar{y}$, i la covariància de la distribució bidimensional.

Demostra numèricament una propietat fonamental de les mitjanes condicionades utilitzant la taula següent:

$X \setminus Y$	$1$	$3$	$5$
2	$3$	$1$	$0$
4	$1$	$4$	$1$
6	$0$	$2$	$8$

Primer, calcula les mitjanes condicionades de $Y$ per a cada valor de $X$: $\bar{y}_{X=2}$, $\bar{y}_{X=4}$ i $\bar{y}_{X=6}$. A continuació, calcula la mitjana marginal $\bar{y}$ i comprova que es compleix la relació de la mitjana ponderada: $\bar{y} = \frac{\sum \bar{y}_{X=x_i} \cdot f_{i\bullet}}{N}$.

Reconstrueix una taula de doble entrada per a les variables $X$ (nombre d'avaries en una màquina) i $Y$ (línia de producció: $1$ o $2$). Es coneixen les dades següents:

• La distribució marginal de $X$ pren els valors $0, 1, 2$ amb freqüències marginals $f_{0\bullet} = 20$, $f_{1\bullet} = 15$ i $f_{2\bullet} = 5$.

• La distribució condicionada de $Y$ atès $X=0$ és equiprobable (la meitat de les avaries correspon a la línia $1$ i l'altra meitat a la línia $2$).

• Per a $X=1$, ocorren el doble d'avaries a la línia $1$ que a la línia $2$.

• Per a $X=2$, totes les avaries ocorren a la línia $2$.

Dibuixa la taula de doble entrada amb totes les freqüències absolutes conjuntes $f_{ij}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una classe, les qualificacions obtingudes en la primera avaluació ($X$) i en la segona avaluació ($Y$) es recullen en la taula de doble entrada següent:

$X \setminus Y$	$4$	$6$	$8$
4	$2$	$3$	$0$
6	$1$	$5$	$2$
8	$0$	$1$	$6$

Es defineix una nova variable unidimensional $Z = X + Y$, que representa la suma de les notes de totes dues avaluacions. A partir de la taula bidimensional, construeix la taula de freqüències absolutes de la variable $Z$ i calcula la seva mitjana aritmètica $\bar{z}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una màquina envasadora classifica els productes segons el seu pes en grams ($X$) i la seva longitud en mil·límetres ($Y$). En lloc de les freqüències absolutes, es proporciona la taula de freqüències relatives conjuntes següent $h_{ij} = \frac{f_{ij}}{N}$:

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$
100	$0,10$	$0,20$	$0,15$
200	$0,05$	$0,30$	$0,20$

Si sabem que la freqüència absoluta marginal per als productes que pesen $100\text{ g}$ és $f_{100\bullet} = 45$, determina el nombre total de productes avaluats $N$ i restrueix la taula de freqüències absolutes conjuntes $f_{ij}$.

En un estudi sobre el benestar digital en un centre educatiu participen $N = 50$ estudiants de 4t d'ESO. S'analitzen dues variables: el temps setmanal dedicat a la lectura de llibres per oci ($X$: 1 = Menys de 2 hores, 2 = 2 hores o més) i l'ús recreatiu diari del telèfon mòbil ($Y$: 1 = Menys de 3 hores, 2 = 3 hores o més). Les dades individuals s'han perdut, però la memòria final del projecte recull amb certesa les tres condicions següents:

1. Exactament $30$ dels $50$ estudiants enquestats afirmen fer un ús del mòbil de $3$ hores o més al dia ($Y = 2$).

2. La meitat exacta de la mostra dedica $2$ hores o més a la setmana a llegir llibres ($X = 2$).

3. Entre els estudiants que llegeixen menys de 2 hores a la setmana ($X = 1$), el nombre dels qui usen el mòbil 3 hores o més al dia quadruplica el dels qui l'usen menys de 3 hores.

1. a) Reconstrueix la taula de freqüències de doble entrada completa (les quatre cel·les conjuntes i tots els totals marginals de fila i columna). Planteja i justifica cada deducció matemàtica o equació que facis servir per trobar cada cel·la.
2. b) Calcula la proporció d'alumnes amb ús elevat del mòbil ($Y = 2$) dins del col·lectiu de lectors habituals ($X = 2$) i compara-la amb la mateixa proporció dins del col·lectiu de no lectors ($X = 1$). A la vista d'ambdós valors, raona quin tipus de relació o tendència mostren aquestes dues variables en la mostra analitzada.

La Direcció General de Trànsit (DGT) registra en un tram de carretera interurbana una mostra de $100$ infraccions per excés de velocitat, classificades segons el tipus de via ($X$: Convencional o Autovia) i la gravetat de la infracció ($Y$: Lleu, Greu o Molt greu). Per una errada informàtica s'han esborrat tres cel·les interiors ($x$, $y$, $z$), tot i que es conserven tots els totals marginals:

$X \setminus Y$	Lleu ($L$)	Greu ($G$)	Molt greu ($M$)	Total $X$
Convencional	$x$	$25$	$y$	$60$
Autovia	$z$	$15$	$5$	$40$
Total $Y$	$50$	$40$	$10$	$100$

Per calcular les tres freqüències desconegudes, dos membres de l'equip tècnic proposen mètodes diferents:

• Mètode A (Deducció marginal directa): Calcular primer $y$ fent servir la columna «Molt greu» ($y + 5 = 10$), després $z$ amb la fila «Autovia» ($z + 15 + 5 = 40$), i finalment $x$ restant a la columna «Lleu» o a la fila «Convencional».

• Mètode B (Sistema algebraic global): Plantejar un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites sumant les files i columnes on intervenen les incògnites:

$$\begin{cases} x + y + 25 = 60 \\ z + 15 + 5 = 40 \\ x + z = 50 \end{cases}$$

i resoldre'l per substitució.

1. a) Obtén els valors de $x$, $y$ i $z$. Compara ambdós mètodes i justifica quin dels dos és més eficient i convenient a la pràctica per a taules de doble entrada, valorant la quantitat d'operacions i el risc d'error.
2. b) Suposa que a l'informe s'hagués esborrat també el total marginal de la fila «Convencional» ($60$). Raona si encara seria possible reconstruir la taula sencera amb algun dels mètodes o si faltaria informació, justificant la teva resposta a partir de la relació que hi ha entre els totals marginals i la mida mostral total $N$.