Exercicis: Covariància

En un estudi bidimensional sobre $25$ individus, s'han obtingut les mitjanes $\bar{x} = 8$ i $\bar{y} = 15$. Sabent que la suma dels productes de les variables és $\sum x_i y_i = 3200$, calcula la covariància $s_{xy}$.

Donada la taula següent amb tres parells de valors corresponents a les variables $X$ i $Y$:

Calcula el centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ i la covariància de la distribució.

En una investigació sobre el rendiment esportiu, es relaciona el nombre d'hores setmanals d'entrenament ($X$) amb el temps en minuts que un atleta triga a completar una cursa de $10$ km ($Y$). Quin signe esperes que tingui la covariància $s_{xy}$? Raona breument la teva resposta.

Per a un conjunt de $40$ dades bidimensionals, es sap que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ i la covariància és $s_{xy} = -8,5$. Troba el valor de la suma dels productes $\sum x_i y_i$.

En un experiment de termodinàmica, la covariància entre la pressió i el volum d'un gas en certes condicions és $s_{xy} = -15,4$. Si per facilitar els càlculs l'investigador decideix sumar $2$ a tots els valors de pressió i restar $5$ a tots els valors de volum, quin serà el nou valor de la covariància?

Calcula la covariància de la distribució bidimensional següent expressada en una taula de freqüències absolutes $f_i$:

En estudiar la relació entre la quantitat de fertilitzant aplicat a una planta (en grams) i el seu creixement setmanal (en mil·límetres), s'obté una covariància de $24,6$. Què indica el signe d'aquest paràmetre estadístic sobre la relació entre el fertilitzant i el creixement?

El centre de gravetat d'una distribució bidimensional és $(5, 9)$. Si la mitjana aritmètica dels productes dels valors de totes dues variables és $\frac{\sum x_i y_i}{N} = 42$, determina el valor de la covariància.

A partir de registres de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) a la província de Granada durant un dia d'hivern, s'han registrat l'altitud ($X$, en centenars de metres) i la temperatura mitjana ($Y$, en $^\circ\text{C}$) de quatre localitats: Motril $(0; 14)$, Lanjarón $(5; 10)$, Baza $(8; 7)$ i Trevélez $(15; 1)$.\na) Abans de fer qualsevol càlcul numèric, estima raonadament quin signe esperes que tingui la covariància entre l'altitud i la temperatura. Explica en què bases la teva previsió.\nb) Amb les dades donades, calcula les mitjanes $\bar{x}$ i $\bar{y}$, i troba el valor exacte de la covariància $\sigma_{xy}$.\nc) Comprova si el signe obtingut coincideix amb la teva estimació inicial i valora si el resultat és coherent amb el fenomen físic observat a les zones de muntanya.

En un estudi escolar sobre hàbits d'oci, en Marcos ha anotat les hores setmanals dedicades a l'estudi ($X$) i les hores dedicades a videojocs ($Y$) de $5$ companys: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 2)$ i $(5, 3)$.\nPer calcular la covariància, en Marcos escriu al seu quadern:\n«Calculo les mitjanes: $\bar{x} = 3$ i $\bar{y} = 4$.\nMultiplico cada parell i els sumo: $\sum x_i y_i = 1\cdot 6 + 2\cdot 5 + 3\cdot 4 + 4\cdot 2 + 5\cdot 3 = 6 + 10 + 12 + 8 + 15 = 51$.\nAplico la fórmula: $\sigma_{xy} = 51 - 3 \cdot 4 = 51 - 12 = 39$.\nCom que la covariància és positiva ($\sigma_{xy} = 39 > 0$), concloc que com més hores juguen a videojocs, més hores estudien.»\na) Localitza i explica detalladament l'error matemàtic que ha comès en Marcos en l'aplicació de la fórmula.\nb) Explica per què la seva conclusió qualitativa resulta clarament contradictòria en observar les dades originals de la taula.\nc) Corregeix el procediment i calcula el valor correcte de $\sigma_{xy}$, interpretant adequadament el resultat obtingut.

S'ha mesurat la temperatura $X$ (en $^\circ\text{C}$) i la resistència $Y$ (en MPa) d'un nou material plàstic en $5$ assaigs diferents, i s'han obtingut els resultats següents:

Calcula la covariància d'aquesta distribució bidimensional i interpreta el seu signe en el context del problema.

En un estudi d'arquitectura, la covariància entre la longitud d'una biga $X$ (mesurada en metres) i la seva deformació màxima $Y$ (mesurada en mil·límetres) és $s_{xy} = 3,5$. Si es decideix expressar la longitud en centímetres ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$) i la deformació en micròmetres ($1\text{ mm} = 1000\,\mu\text{m}$), calcula el nou valor de la covariància.

S'ha realitzat una enquesta a $20$ famílies sobre el nombre de vehicles que tenen ($X$) i el nombre de places de garatge que tenen en propietat ($Y$). Els resultats es resumeixen en la taula de doble entrada següent:

Calcula el centre de gravetat i la covariància $s_{xy}$.

Un conjunt de $10$ parells de dades bidimensionals té com a mitjanes $\bar{x} = 6$ i $\bar{y} = 8$, i la seva covariància és $s_{xy} = 4$. Si es descobreix que falta incloure un onzè parell de dades que coincideix exactament amb el centre de gravetat, és a dir, el parell $(6, 8)$, calcula la nova covariància del conjunt de $11$ dades.

Observa el gràfic de dispersió següent que representa quatre observacions obtingudes en un experiment de laboratori:

A partir de les coordenades enteres dels punts mostrats en el gràfic, determina la taula de valors i calcula la covariància de la distribució.

En un estudi sobre el temps d'ús de pantalles, s'ha agrupat l'edat dels enquestats ($X$) en intervals, relacionant-la amb el nombre de dispositius intel·ligents que tenen ($Y$):

Utilitzant les marques de classe per a la variable $X$, calcula la covariància de la distribució.

D'una variable estadística bidimensional $(X,Y)$ composta per $8$ observacions, es coneixen les dades següents:

$\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 64$, i $\sum x_i y_i = 280$.

Calcula el centre de gravetat i la covariància.

En un estudi econòmic sobre la relació entre la taxa d'inflació ($X$, en $\%$) i la taxa d'atur ($Y$, en $\%$) d'un país durant $5$ anys consecutius, es van registrar els parells de valors següents: $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 2)$. Calcula la covariància i indica si els resultats recolzen una relació directa o inversa entre totes dues taxes.

A partir de dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre equipament i consum a les llars, s'analitza la temperatura mitjana exterior durant el mes de juliol ($X$, en $^\circ\text{C}$) i el consum elèctric mensual per habitatge ($Y$, en $\text{kWh}$) a cinc capitals de província espanyoles: Santander $(19, 170)$, A Coruña $(20, 180)$, Zaragoza $(26, 290)$, Madrid $(26, 300)$ i Sevilla $(29, 360)$.\na) Modela la relació entre ambdues variables calculant la covariància $\sigma_{xy}$. Quin tipus de tendència conjunta reflecteix el signe obtingut en relació amb l'ús de sistemes de climatització?\nb) Si una distribuïdora elèctrica prefereix registrar el consum en megawatts hora mitjançant el canvi de variable $Y' = 0,001 \cdot Y$, calcula la nova covariància $\sigma_{xy'}$ aplicant les propietats algebraiques de la covariància, sense recalcular els productes punt per punt.\nc) Explica per què el canvi d'unitat de mesura altera el valor numèric de la covariància però no modifica en absolut la seva interpretació qualitativa.

En una fàbrica de conserves vegetals de Navarra es controla la relació entre el temps d'esterilització tèrmica ($X$, en minuts) i el recompte microbià residual ($Y$, en colònies per gram). En quatre lots analitzats es van obtenir els parells $(15, 80)$, $(20, 50)$, $(25, 30)$ i $(30, k)$, però el valor $k$ del quart lot s'ha esborrat accidentalment del registre de control.\nL'informe tècnic de qualitat conservat indica que la covariància de la mostra va ser exactament $\sigma_{xy} = -125$.\na) Expressa la mitjana marginal $\bar{y}$ i la mitjana dels productes $\dfrac{\sum x_i y_i}{4}$ en funció de la incògnita $k$.\nb) Planteja una equació a partir de la fórmula de la covariància i resol el valor exacte que ha de tenir $k$.\nc) Raona quin significat pràctic té per a la seguretat alimentària de la fàbrica que la covariància sigui negativa, i què hauria indicat sobre el procés tèrmic si s'hagués obtingut una covariància propera a $0$.

S'ha provat un nou fàrmac en un grup de pacients. La variable $X$ representa la dosi administrada (en mg) i la variable $Y$ la reducció de la pressió arterial (en mmHg). Els resultats es mostren en la taula de doble entrada següent:

Calcula la covariància d'aquesta distribució i explica què suggereix el resultat sobre l'eficàcia del fàrmac.

S'analitza la trajectòria d'un objecte mitjançant $5$ punts les coordenades $(X,Y)$ dels quals són: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ i $(2, 4)$.

Calcula la covariància d'aquesta distribució bidimensional. A la vista del resultat, es pot afirmar que les variables $X$ i $Y$ són estadísticament independents? Justifica la teva resposta relacionant-la amb el gràfic.

En una distribució bidimensional de $3$ parells de valors, se'n coneixen dos: $(1, 2)$ i $(4, 6)$. El tercer parell és $(2, a)$, on $a$ és un valor desconegut. Si es sap que la covariància de la distribució és $s_{xy} = 2$, planteja una equació i troba el valor de $a$.

Donada una variable bidimensional $(X,Y)$, es sap que existeix una relació funcional lineal exacta donada per l'equació $y_i = -3x_i + 5$ per a tots els parells de la distribució. Sabent que la variància de la variable $X$ és $s_x^2 = 4$, demostra analíticament i calcula el valor numèric de la covariància $s_{xy}$.

En una empresa, s'estudia la relació entre els anys d'antiguitat dels empleats ($X$) i el seu salari mensual en centenars d'euros ($Y$). Es coneixen les dades següents: $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 20$, la variància de l'antiguitat és $s_x^2 = 16$ i la covariància és $s_{xy} = 24$. Es decideix crear un índex de «valoració total» definit com a $Z = X + Y$. Calcula la covariància entre l'antiguitat ($X$) i aquest nou índex ($Z$).

Un equip de biòlegs ha mesurat el pes $X$ (en kg) i la longitud $Y$ (en cm) d'una espècie de rèptil, i ha obtingut una covariància $s_{xy} = 45$. Per a una publicació internacional, decideixen transformar les dades: el pes s'expressarà en lliures ($1\text{ kg} = 2,2\text{ lb}$) i la longitud en metres ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$). A més, per un ajust de l'equip de mesura, resten $0,5\text{ m}$ a totes les longituds. Quin serà el valor de la covariància amb les noves unitats?

Un departament de màrqueting analitza la despesa en publicitat $X$ (en milers d'€) i les vendes generades $Y$ (en milers d'€) en $10$ campanyes diferents. Es disposa de les sumes següents:

$\sum x_i = 150$, $\sum y_i = 800$, $\sum x_i^2 = 2500$, $\sum y_i^2 = 70000$, $\sum x_i y_i = 12500$.

Calcula la covariància original. Si per a l'any que ve es decideix que totes les despeses en publicitat augmentaran un $10\%$ i les vendes esperades augmentaran un $20\%$, quina serà la covariància estimada de les dades transformades?

Un conjunt de dades bidimensionals consta dels $5$ punts següents fortament agrupats: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; i un punt atípic: $(13, 15)$.

Calcula la covariància del conjunt complet dels $6$ punts. A continuació, calcula la covariància excloent el punt atípic i compara els resultats per explicar la sensibilitat de la covariància davant de valors extrems.

Una empresa de missatgeria audita quatre furgonetes de la seva flota registrant el seu any de matriculació ($X$) i els quilòmetres totals acumulats ($Y$): Furgoneta 1 $(2018; 120\,000)$, Furgoneta 2 $(2019; 95\,000)$, Furgoneta 3 $(2021; 50\,000)$ i Furgoneta 4 $(2022; 15\,000)$.\nDos analistes discuteixen quin camí seguir per calcular la covariància:\n- Mètode A (Sergio): Aplicar directament la fórmula sobre les dades originals, calculant $\bar{x}$, $\bar{y}$ i els productes milionaris com ara $2018 \cdot 120\,000$.\n- Mètode B (Marta): Definir un canvi d'origen i d'escala mitjançant $X' = X - 2020$ (anys transcorreguts respecte al 2020) i $Y' = \dfrac{Y}{1000}$ (quilòmetres en milers), calcular $\sigma_{x'y'}$ i traslladar el resultat a la covariància original.\na) Compara ambdós mètodes i justifica per què la proposta de la Marta minimitza dràsticament el risc de cometre errors de càlcul.\nb) Aplica el Mètode B: comprova que $\bar{x}' = 0$, calcula de manera senzilla $\sigma_{x'y'}$ i, aplicant les propietats de les transformacions lineals, dedueix el valor exacte de la covariància original $\sigma_{xy}$.\nc) A partir d'aquest cas, justifica de manera raonada per què sumar una constant a una variable no altera la covariància, mentre que multiplicar-la per una constant sí que la modifica.

Un informe mediambiental analitza la relació entre el nombre d'allotjaments rurals registrats ($X$, en desenes) i els residus sòlids recollits a l'agost ($Y$, en tones) en cinc comarques d'una comunitat autònoma. En quatre comarques de perfil plenament rural les dades són: Comarca A $(2, 10)$, Comarca B $(3, 15)$, Comarca C $(4, 20)$ i Comarca D $(5, 25)$. Tanmateix, la Comarca E presenta un perfil atípic a causa de la presència d'un gran polígon industrial i molt poc turisme rural, registrant $(1, 80)$.\na) Modela la relació calculant la covariància $\sigma_{xy}$ considerant únicament les quatre comarques rurals típiques (A, B, C i D). Interpreta el signe obtingut en termes d'activitat turística i generació de residus.\nb) Incorpora la Comarca E a l'estudi ($N = 5$) i calcula la nova covariància per al total de les cinc comarques.\nc) Compara ambdós resultats i explica quin fenomen ha provocat el canvi radical de signe en la covariància. En vista d'això, raona críticament per què un gestor públic cometria un greu error si utilitzés la covariància global de les cinc comarques per afirmar que «fomentar el turisme rural ajuda a reduir la quantitat de residus generats».