Exercicis: Mitjana, mediana i moda

En un experiment de botànica, s'ha mesurat el nombre de fulles de $8$ plantes d'una mateixa espècie després de dues setmanes de creixement. Els resultats obtinguts són: $12, 15, 14, 12, 16, 12, 18, 13$.

Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda d'aquestes dades.

Les edats dels participants en un taller de robòtica es resumeixen en la taula de freqüències següent:

• $14$ anys: $5$ persones

• $15$ anys: $8$ persones

• $16$ anys: $4$ persones

• $17$ anys: $3$ persones

Determina l'edat mitjana, l'edat mediana i la moda.

En una prova de control de qualitat, es mesura el temps en segons que triga un ordinador a arrencar. S'obtenen els temps següents: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.

Calcula la mitjana i la mediana. Quina de les dues mesures representa millor la tendència central d'aquestes dades? Justifica la teva resposta.

Un estudiant de 4t d'ESO ha fet cinc exàmens de matemàtiques al llarg del trimestre. Les seves notes en els quatre primers són: $6, 7, 5$ i $8$.

Si vol que la seva nota mitjana exacta sigui un $7$, quina qualificació ha d'obtenir en el cinquè examen?

S'ha preguntat a $20$ persones pel seu color preferit per al disseny de la interfície d'una nova aplicació mòbil. Els resultats són:

• Blau: $8$ persones

• Verd: $5$ persones

• Vermell: $4$ persones

• Groc: $3$ persones

Indica quina és la moda. Té sentit calcular la mitjana o la mediana en aquest cas? Raona la teva resposta.

Dades les dues sèries de dades següents referents al nombre de llibres llegits en un any per dos grups de joves:

• Sèrie A: $2, 4, 5, 7, 9$

• Sèrie B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$

Troba la mediana per a cadascuna de les sèries i explica la diferència en el procediment de càlcul quan es té un nombre parell o senar de dades.

El diagrama de barres següent mostra el nombre de germans que tenen els alumnes d'una classe.

A partir del gràfic, construeix la taula de freqüències i calcula la moda i la mitjana aritmètica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La mitjana de les alçades d'un equip de bàsquet de $10$ jugadors és de $192 \text{ cm}$.

Si tots els jugadors decideixen usar un model de sabatilles especials que augmenten la seva alçada en $4 \text{ cm}$, quina serà la nova alçada mitjana de l'equip? Canviarà la moda si existia una alçada més freqüent?

En la matèria de Matemàtiques Aplicades de 4t d'ESO, els criteris de qualificació d'una avaluació fixen els pesos següents: el treball diari i les tasques compten un $20\,\%$, les proves escrites un $50\,\%$, i el projecte trimestral un $30\,\%$. En Lucas ha obtingut una qualificació de $8$ en tasques, un $4$ a les proves escrites i un $6$ al projecte. Per calcular la seva nota final, en Lucas fa l'operació següent:

$$\bar{x} = \frac{8 + 4 + 6}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

I afirma convençut: «He aprovat l'avaluació amb un 6 de nota mitjana!».

1. a) Explica de manera raonada quin error conceptual comet en Lucas en aplicar la mitjana aritmètica simple en lloc de la mitjana ponderada.
2. b) Fes el càlcul correcte de la qualificació final d'en Lucas i indica si realment aprova l'avaluació (recorda que la nota mínima d'aprovat és $5$).

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) va registrar les temperatures màximes diàries ($^\circ\text{C}$) següents durant una setmana de juliol a l'estació de l'aeroport de Córdoba:

$$39,\quad 41,\quad 42,\quad 40,\quad 44,\quad 41,\quad 41$$

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul per escrit, estima a simple vista entre quins dos valors enters es trobarà la temperatura mitjana setmanal i quin intueixes que serà el valor de la mediana. Escriu la teva estimació i justifica la intuïció visual o el descart ràpid que has fet servir.
2. b) Calcula amb precisió la mitjana aritmètica, la mediana i la moda d'aquest conjunt de registres.
3. c) Comprova: ha coincidit la teva estimació inicial amb els resultats calculats? Si durant el cap de setmana el registre més calorós ($44\,^\circ\text{C}$) hagués assolit un valor rècord de $47\,^\circ\text{C}$, hauria variat la mediana? I la mitjana? Justifica la resposta sense necessitat de recalcular tota la suma.

En un estudi sobre el consum d'aigua en una comunitat, s'ha registrat la despesa mensual en metres cúbics ($m^3$) de diversos habitatges, agrupada en els intervals següents:

• $[0, 10)$: $12$ habitatges

• $[10, 20)$: $25$ habitatges

• $[20, 30)$: $18$ habitatges

• $[30, 40)$: $5$ habitatges

Calcula el consum mitjà d'aigua i indica quina és la classe modal.

La qualificació final de l'assignatura de Física es calcula mitjançant una mitjana ponderada. Les pràctiques de laboratori valen un $20\%$, els treballs d'investigació un $30\%$ i l'examen final un $50\%$.

Si una alumna té un $8$ en les pràctiques, un $6$ en els treballs i un $7,5$ en l'examen final, calcula la seva nota mitjana final.

En una sabateria s'ha registrat el nombre de parells venuts segons la talla durant un cap de setmana. La talla mitjana venuda ha sigut $39,5$. Coneixent les dades següents, determina el nombre de parells venuts de la talla $40$ (representat per $f$).

• Talla $38$: $4$ parells

• Talla $39$: $8$ parells

• Talla $40$: $f$ parells

• Talla $41$: $5$ parells

S'ha mesurat la massa en quilograms d'un grup de $40$ paquets en una oficina de correus, i s'ha obtingut la distribució següent:

• $[0, 5)$: $6$ paquets

• $[5, 10)$: $14$ paquets

• $[10, 15)$: $12$ paquets

• $[15, 20)$: $8$ paquets

Troba l'interval on es situa la mediana i estima el seu valor exacte utilitzant la fórmula d'interpolació lineal.

Una empresa de logística té dues naus industrials. A la nau de Madrid hi treballen $45$ operaris amb un salari mitjà de $1800 \text{ \euro}$. A la nau de Barcelona hi treballen $30$ operaris amb un salari mitjà de $2100 \text{ \euro}$.

Calcula el salari mitjà de tots els operaris de l'empresa en el seu conjunt.

L'histograma següent representa el temps (en minuts) que dedica al dia un grup de persones a fer esport.

Calcula el temps mitjà dedicat a l'esport a partir de les marques de classe extretes del gràfic.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En calcular la mitjana de les qualificacions de $25$ alumnes, el professor va obtenir un $6,4$. Posteriorment, revisant els exàmens, es va adonar que havia anotat per error un $3$ a un alumne la nota real del qual era un $8$.

Calcula la nova mitjana correcta sense necessitat de conèixer totes les notes individuals.

En una petita empresa tecnològica, els salaris mensuals dels seus $7$ empleats són:

$1200 \text{ \euro}, 1250 \text{ \euro}, 1300 \text{ \euro}, 1200 \text{ \euro}, 1400 \text{ \euro}, 1350 \text{ \euro}, 8500 \text{ \euro}$.

Calcula la mitjana i la mediana. Redacta un breu text explicant als futurs empleats quina de les dues mesures representa de manera més realista el sou habitual que cobraran i per què.

En una petita empresa cooperativa de calçat a Elche hi treballen $5$ persones. Es disposa de la informació estadística següent sobre els seus salaris bruts mensuals:

• La mediana dels sous és exactament de $1\,300$ €.

• El salari mitjà dels cinc treballadors és de $1\,450$ €.

• La distribució és unimodal (hi ha una única moda) i el seu valor és de $1\,150$ €.

• L'artesà amb més experiència, que és qui més cobra de la plantilla, percep $2\,100$ €.

1. a) Dedueix raonadament, pas a pas, el sou mensual exacte de cadascun dels $5$ empleats de la cooperativa.
2. b) Si el mes següent s'incorpora una sisena persona amb un contracte formatiu de pràctiques i un sou de $950$ €, quina passarà a ser la nova mediana salarial de la cooperativa? Es veurà afectada la moda? Justifica la teva resposta sense fer càlculs innecessaris.

A partir de les dades de l'Enquesta de Pressupostos Familiars de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), s'ha analitzat la despesa mensual en transport públic (abonaments, metros i autobusos) d'una mostra de $100$ joves d'entre $18$ i $24$ anys en una àrea metropolitana espanyola:

• Interval $[0, 10)\text{ €}$: $15$ joves.

• Interval $[10, 20)\text{ €}$: $25$ joves.

• Interval $[20, 30)\text{ €}$: $40$ joves.

• Interval $[30, 50)\text{ €}$: $20$ joves.

1. a) Identifica la marca de classe de cada interval i calcula la despesa mitjana mensual estimada per jove.
2. b) Determina raonadament quina és la classe modal tenint en compte que no tots els intervals tenen la mateixa amplitud. Per què en distribucions amb intervals de diferent amplada no n'hi ha prou de fixar-se únicament en quin interval té la freqüència absoluta més alta?
3. c) Si l'administració de transports implanta una bonificació general del $50\,\%$ a totes les tarifes a partir del mes següent, quina serà la nova despesa mitjana mensual estimada d'aquest grup de joves? Justifica la teva resposta aplicant les propietats de la mitjana, sense reconstruir la taula de freqüències.

En un centre mèdic s'ha registrat el nivell de colesterol de $50$ pacients. La mitjana aritmètica de la distribució és $194 \text{ mg/dL}$. A la taula s'han esborrat accidentalment dues freqüències, $f_1$ i $f_2$.

• $[160, 180)$: $10$ pacients

• $[180, 200)$: $f_1$ pacients

• $[200, 220)$: $f_2$ pacients

• $[220, 240)$: $8$ pacients

Planteja i resol un sistema d'equacions per trobar les freqüències absolutes $f_1$ i $f_2$.

Sigui una variable estadística $X$ amb mitjana $\bar{x} = 15$. Es defineix una nova variable $Y$ mitjançant la transformació lineal $y_i = 3x_i - 4$.

Demostra algebraicament, aplicant les propietats del sumatori i de la mitjana aritmètica, que la mitjana de la nova variable és $\bar{y} = 3\bar{x} - 4$, i calcula el seu valor numèric.

Un inversor compra accions d'una companyia durant tres mesos consecutius. El primer mes compra $n$ accions a un preu mitjà de $12 \text{ \euro}$. El segon mes compra el doble d'accions que el primer mes a un preu mitjà de $15 \text{ \euro}$. El tercer mes compra $50$ accions a $10 \text{ \euro}$.

Si el preu mitjà global de totes les accions comprades en els tres mesos és de $13 \text{ \euro}$, quantes accions va comprar el primer mes?

En l'avaluació d'una assignatura, la nota final es calcula amb tres components:

• Examen parcial (pes $30\%$)

• Treball d'investigació (pes $20\%$)

• Examen final (pes $50\%$)

Un estudiant té un $4,5$ en el parcial i un $6$ en el treball. La nota de l'examen final ha de ser un nombre enter o amb un sol decimal exacte. Quina és la nota mínima que ha de treure en l'examen final perquè la seva mitjana ponderada sigui com a mínim de $5,0$? Si la nota màxima és $10$, és possible que assoleixi una mitjana de $8,0$?

Es té un conjunt de cinc nombres enters positius ordenats de menor a major: $a, b, c, d, e$.

Es sap que compleixen simultàniament les condicions següents:

• La moda és $4$.

• La mediana és $5$.

• La mitjana aritmètica és $6$.

• El rang (diferència entre el major i el menor) és $7$.

Determina el valor exacte dels cinc nombres, raonant pas a pas la teva resposta.

El polígon de freqüències acumulades (ogiva) següent mostra la distribució de les marques obtingutes per un grup de $100$ atletes en la prova de salt de llargada.

A partir del gràfic, estima el valor de la mediana. Si les dades s'agrupessin en una taula de freqüències amb els intervals de l'eix horitzontal, quina seria la classe modal? Justifica les teves respostes basant-te en els pendents del gràfic.

La mitjana d'un conjunt de $n$ dades és $\bar{x}$. Si afegim una nova dada de valor $D$, la nova mitjana augmenta en $2$ unitats. Si en lloc de $D$, afegim una dada de valor $D - 15$, la nova mitjana disminueix en $1$ unitat respecte a la mitjana original $\bar{x}$.

Planteja les equacions corresponents i calcula el nombre de dades original $n$.

Un aliatge metàl·lic està compost per dos metalls $A$ i $B$. La densitat del metall $A$ és de $3 \text{ g/cm}^3$ i la del metall $B$ és de $8 \text{ g/cm}^3$.

Si la densitat mitjana de l'aliatge resultant és de $6 \text{ g/cm}^3$, quin percentatge del volum total de l'aliatge correspon al metall $B$? (Tingues en compte que la densitat mitjana d'un aliatge es comporta com la mitjana ponderada de les densitats dels seus components respecte a les seves fraccions de volum).

En una empresa logística de paqueteria hi treballen $25$ empleats. Per a la negociació del conveni d'empresa, la direcció i la representació sindical analitzen la relació de salaris bruts mensuals:

• $18$ mossos de magatzem cobren $1\,200$ € cadascun.

• $4$ administratius cobren $1\,600$ € cadascun.

• $2$ caps de torn cobren $2\,800$ € cadascun.

• $1$ directora d'operacions cobra $9\,500$ €.

1. a) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda de la distribució salarial de l'empresa.
2. b) En el butlletí de l'empresa, la direcció afirma: «El sou mitjà de la nostra plantilla supera els $1\,700$ €, per la qual cosa els salaris estan molt per sobre de la mitjana del sector». Per contra, el sindicat declara: «Aquesta xifra distorsiona la realitat; el salari que millor representa el treballador comú de l'empresa és de $1\,200$ €». Analitza quina mesura de tendència central recolza cadascuna de les dues postures. Justifica de manera crítica quina de les dues mesures (mitjana o mediana) és més adequada per descriure el salari del treballador representatiu, explicant l'impacte del sou de la directora com a valor atípic.
3. c) Si la directora s'apuja el sou a $12\,000$ € i els altres sous romanen congelats, indica raonadament com variaran la mitjana i la mediana. Quina propietat fonamental de la mediana queda demostrada amb aquest fet?

Una plataforma cívica d'estudi sobre l'accés a l'habitatge de lloguer recull dades de $40$ joves d'una ciutat que viuen de lloguer. Les dades s'agrupen inicialment en els trams següents de despesa mensual:

• Tram A $[400, 600)\text{ €}$: $12$ persones.

• Tram B $[600, 800)\text{ €}$: $16$ persones.

• Tram C $[800, 1\,000)\text{ €}$: $8$ persones.

• Tram D $[1\,000, 1\,400)\text{ €}$: $4$ persones.

1. a) Calcula el lloguer mitjà mensual estimat per a aquesta mostra mitjançant l'ús de marques de classe i determina quina és la classe modal analitzant la densitat de freqüència dels trams.
2. b) En revisar els contractes originals de les $4$ persones del tram D, es comprova que els seus lloguers reals exactes són: $1\,050$ €, $1\,100$ €, $1\,150$ € i $1\,300$ €. Calcula la mitjana real exacta d'aquests quatre lloguers i compara-la amb la marca de classe que vas assignar a aquest interval. Es va sobreestimar o es va subestimar la despesa mitjana en fer servir la marca de classe? Explica quina limitació conceptual tenen les marques de classe a l'hora d'estimar paràmetres en distribucions agrupades.
3. c) L'ajuntament concedeix un ajut directe de $100$ € mensuals a totes les persones de l'estudi que paguin $700$ € o més de lloguer. Se sap que accedeixen a l'ajut exactament la meitat de les persones del tram B ($8$ joves) i la totalitat dels trams C i D ($12$ joves). Quin serà el nou lloguer mitjà mensual net que desemborsarà la mostra de $40$ joves? Dedueix i calcula el resultat raonant sobre la quantitat total subvencionada i el concepte de mitjana com a repartiment equitatiu, sense refer els càlculs interval per interval.