Exercicis: Diagrames de caixa

Les notes d'un grup de $9$ estudiants en un examen de matemàtiques són: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.

Determina el valor mínim, el primer quartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer quartil ($Q_3$) i el valor màxim per construir un diagrama de caixa.

El diagrama de caixa següent representa les edats dels visitants a un museu durant un matí.

A partir del gràfic, indica quina és l'edat mínima, el primer quartil, la mediana, el tercer quartil i l'edat màxima dels visitants.

El resum de cinc nombres dels pesos (en kg) dels gossos atesos en una clínica veterinària és: Mínim = $5$, $Q_1 = 12$, Mediana = $18$, $Q_3 = 24$, Màxim = $35$.

Calcula el rang de la distribució i el rang interquartílic (RIC).

En un diagrama de caixa que representa el temps (en minuts) que triguen els alumnes a arribar a l'institut, el primer quartil és $15$ i el tercer quartil és $30$.

Quin percentatge exacte dels alumnes triga entre $15$ i $30$ minuts a arribar a l'institut?

Un diagrama de caixa mostra que la distància entre el primer quartil i la mediana és de $2$ unitats, mentre que la distància entre la mediana i el tercer quartil és de $10$ unitats.

Què indica aquesta diferència sobre la distribució i la concentració de les dades a la part central?

Els preus (en euros) de $11$ llibres en una estanteria són: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.

Calcula els cinc valors necessaris per traçar el seu diagrama de caixa.

Indica si la següent afirmació és vertadera o falsa i justifica brement la teva resposta:

"En qualsevol diagrama de caixa, la mitjana aritmètica sempre coincideix exactament amb la línia vertical interior que divideix la caixa."

En un diagrama de caixa, el bigoti esquerre (del mínim al $Q_1$) és molt curt, mentre que el bigoti dret (del $Q_3$ al màxim) és extremadament llarg.

Què significa això respecte a la dispersió de les dades als extrems de la distribució?

En Marcos està analitzant el temps d'espera (en minuts) en una parada d'autobús urbà i, després d'ordenar les dades recollides, ha obtingut el següent resum de cinc nombres: Mínim = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 11$ i Màxim = $22$.

En redactar les seves conclusions, en Marcos afirma: «Com que el rang interquartílic és $RIC = 11 - 5 = 6$, qualsevol temps més gran que $Q_3 + RIC = 11 + 6 = 17$ minuts és una dada atípica. Per tant, el temps de $22$ minuts és atípic perquè supera els $17$ minuts».

1. a) Identifica i explica amb les teves paraules l'error conceptual que comet en Marcos en la fórmula per determinar la frontera de les dades atípiques.
2. b) Aplica el criteri correcte del diagrama de caixa per calcular el límit a partir del qual una dada es considera atípica i raona si el valor de $22$ minuts continua sent atípic o si en Marcos ha encertat per casualitat en la seva conclusió.

En una estació de l'AEMET d'una capital de província espanyola, s'han registrat les temperatures màximes diàries (en $^{\circ}\text{C}$) durant una setmana de primavera. Els valors ordenats són: $14$, $16$, $17$, $19$, $21$, $24$ i $29$.

1. a) Abans de calcular res, estima observant les dades: quin percentatge dels dies de la setmana quedarà recollit dins de la caixa central del diagrama? Observant les separacions entre nombres consecutius, estima si la caixa serà simètrica respecte a la mediana ($19$) o si estarà més allargada cap a la dreta o cap a l'esquerra. Justifica la teva intuïció.
2. b) Seguint el mètode dels apunts per a $N = 7$ (on $Q_1$ i $Q_3$ són les medianes de les meitats inferior i superior, sense comptar la mediana global), calcula el valor exacte de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ i el rang interquartílic ($RIC$).
3. c) Compara els resultats calculats amb la teva estimació prèvia i comprova si la teva deducció sobre la forma i asimetria de la caixa era correcta.

El gràfic següent mostra els diagrames de caixa de la durada de la bateria (en hores) de dues marques de telèfons mòbils, Alpha i Beta.

1. a) Quina marca té una mediana més gran en la durada de la seva bateria?
2. b) Quina de les dues marques presenta una variabilitat més gran en el $50\%$ central de les seves dades (rang interquartílic més gran)?

Un equip de bàsquet ha anotat els punts següents en els seus últims $15$ partits:

$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.

Troba el resum de cinc nombres i calcula el rang interquartílic.

Un diagrama de caixa resumeix les alçades de $120$ atletes. Si el tercer quartil ($Q_3$) és $185$ cm i el valor màxim és $205$ cm, quants atletes aproximadament tenen una alçada superior a $185$ cm? Assumeix que no hi ha valors repetits que coincideixin exactament amb els quartils.

En un estudi sobre el nombre de pulsacions per minut d'un grup d'atletes en repòs, es va obtenir el resum següent: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.

Un dels atletes va registrar $75$ pulsacions per minut. Utilitzant el criteri matemàtic del rang interquartílic (un valor és atípic si és més gran que $Q_3 + 1,5 \cdot RIC$), determina si aquest valor s'ha de representar com una dada atípica en el diagrama de caixa.

La taula de freqüències següent mostra el nombre de germans dels alumnes d'una classe:

• $0$ germans: $6$ alumnes

• $1$ germà: $10$ alumnes

• $2$ germans: $8$ alumnes

• $3$ germans: $4$ alumnes

• $4$ germans: $2$ alumnes

Determina el mínim, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ i el màxim per poder construir el diagrama de caixa corresponent.

Un diagrama de caixa té una caixa molt estreta desplaçada cap a l'extrem esquerre, amb un bigoti dret molt llarg. Si haguessis de representar aquestes mateixes dades en un histograma, quina forma tindria la distribució? (Simètrica, esbiaixada a la dreta o esbiaixada a l'esquerra). Explica breument per què.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una empresa d'enginyeria, el $25\%$ dels empleats que més cobren tenen un salari mensual superior a $3500$ €. A més, el salari més baix de l'empresa és de $1200$ € i el $50\%$ de la plantilla cobra menys de $2100$ €.

Identifica a quins paràmetres específics del diagrama de caixa (Mínim, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Màxim) corresponen els valors $3500$ €, $1200$ € i $2100$ €.

S'ha construït un diagrama de caixa amb les temperatures màximes d'una ciutat al juliol, i s'han obtingut $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ i $Q_3 = 35^\circ \text{C}$.

Si a causa d'una onada de calor, l'any següent totes les temperatures màximes registrades augmenten exactament $3^\circ \text{C}$, quins seran els nous valors de $Q_1$, $Me$ i $Q_3$? Canviarà el valor del rang interquartílic?

El servei d'atenció al client de Rodalies Renfe analitza els minuts de retard en $25$ trajectes de dues línies diferents ($L_1$ i $L_2$) per avaluar la seva regularitat. Els resums estadístics obtinguts són:

• Línia $L_1$: Mínim = $1$ min, $Q_1 = 2$ min, Mediana = $3$ min, $Q_3 = 4$ min, Màxim = $20$ min (un únic tren va patir una avaria a la catenària).

• Línia $L_2$: Mínim = $0$ min, $Q_1 = 3$ min, Mediana = $6$ min, $Q_3 = 8$ min, Màxim = $10$ min (sense avaries greus, però amb demores freqüents).

1. a) Quina mesura de dispersió, el rang total o el rang interquartílic ($RIC$), és més adequada per comparar la puntualitat habitual d'ambdues línies? Justifica la teva elecció explicant com afecta l'avaria aïllada de $20$ minuts de la línia $L_1$ a cada indicador.
2. b) Un informe proposa anunciar que «la línia $L_2$ és més fiable perquè el seu rang total és de només $10$ minuts enfront dels $19$ de la línia $L_1$». Basant-te en el diagrama de caixa (analitzant la mediana i la dispersió del $50\,\%$ central dels viatges), rebat aquesta afirmació i justifica quina línia recomanaries a una persona que necessita arribar puntual habitualment a la feina.

Una tutora de Formació Professional Dual resumeix en un diagrama de caixa les hores setmanals de pràctiques en empresa que realitzen els $7$ alumnes del seu grup. Ha extraviat la llista original, però conserva les dades exactes següents del diagrama:

• Valor mínim = $10$ hores

• Primer quartil ($Q_1$) = $14$ hores

• Mediana ($Me$) = $18$ hores

• Tercer quartil ($Q_3$) = $22$ hores

• Rang total = $15$ hores

1. a) Dedueix el valor de la dada màxima i calcula el rang interquartílic ($RIC$) de la distribució.
2. b) Reconstrueix una llista ordenada de $7$ nombres enters que compleixi exactament aquest resum de cinc nombres, explicant com situes cada valor segons la definició de mediana i quartils per a $N = 7$.
3. c) És la teva llista l'única combinació possible de dades que produeix aquest mateix diagrama de caixa? Demostra la teva resposta indicant quina dada concreta podries modificar, entre quins valors enters podria variar i per què no afectaria cap dels cinc nombres del diagrama.

Una distribució de dades és perfectament simètrica. Es sap que el seu rang és de $40$ unitats, el seu rang interquartílic (RIQ) és de $16$ unitats i el valor mínim és $10$.

Calcula els valors exactes de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ i el valor màxim.

Atès el conjunt de dades ordenades següent sobre el temps de reacció (en mil·lisegons) d'un experiment: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.

Troba el valor mínim que ha de tenir la incògnita $x$ perquè sigui considerada un valor atípic superior en el diagrama de caixa. (Recorda que per a aquest càlcul $N=8$).

Inventa un conjunt de dades format per exactament $6$ nombres enters positius el diagrama de caixa dels quals tingui els paràmetres següents:

Mínim = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 12$, Màxim = $15$.

(Nota: Utilitza les regles d'interpolació estàndard de la mediana de les meitats inferior i superior per calcular els quartils).

El gràfic següent mostra els temps d'execució (en mil·lisegons) de tres algorismes informàtics diferents quan processen la mateixa quantitat de dades.

Si necessites triar un algorisme per a un sistema crític en temps real on és indispensable que el temps d'execució mai no superi els $60$ ms, però al mateix temps vols que el rendiment general (mediana) sigui el més ràpid possible, quin algorisme triaries i per què? Justifica la teva resposta descartant els altres dos.

Els salaris (en milers d'euros) de $200$ treballadors s'agrupen en els intervals següents:

• $[10, 20)$: $40$ treballadors

• $[20, 30)$: $80$ treballadors

• $[30, 40)$: $60$ treballadors

• $[40, 50)$: $20$ treballadors

Estima els valors de $Q_1$, $Me$ i $Q_3$ utilitzant interpolació lineal dins dels intervals per poder esbossar el seu diagrama de caixa.

En un diagrama de caixa dels ingressos d'una població, s'observa que la distància de $Q_1$ a la mediana és de $500$ €, mentre que de la mediana a $Q_3$ és de $2500$ €. A més, el bigoti superior és molt més llarg que l'inferior.

Quina relació esperes que hi hagi entre la mitjana aritmètica i la mediana (quina serà més gran)? Raona la teva resposta basant-te en l'asimetria que mostra la caixa.

Un conjunt de dades té el resum de cinc nombres següent: Mínim = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Màxim = $50$.

S'aplica la transformació lineal $y = -2x + 100$ a totes les dades.

Calcula el nou resum de cinc nombres per a la variable $y$ i determina el seu nou rang interquartílic. Tingues un cura especial amb l'ordre dels quartils en multiplicar per un nombre negatiu.

Un diagrama de caixa resumeix el centre i la dispersió mitjançant quartils, però pot ocultar la forma real de la distribució.

Proposa dos conjunts de dades diferents de $8$ elements cadascun: el primer ha de ser una distribució uniforme (valors equiespaiats) i el segon una distribució fortament bimodal (valors concentrats als extrems), de manera que TOTS DOS conjunts tinguin exactament el mateix Mínim, $Q_1$, Mediana, $Q_3$ i Màxim.

A partir d'una mostra de dades versemblants de l'Enquesta d'Estructura Salarial de l'INE sobre joves menors de $25$ anys a Espanya, s'ha obtingut el següent resum de cinc nombres sobre el seu salari net mensual (en euros):

1. a) Calcula el rang interquartílic ($RIC$) i determina els límits numèrics exactes (fronteres d'atipicitat) per considerar un sou com a dada atípica. Raona matemàticament si el sou màxim de $2100\text{ €}$ és una dada atípica.
2. b) Si el segon salari més alt de tota la mostra és de $1520\text{ €}$, descriu detalladament com s'ha de dibuixar l'extrem superior del diagrama de caixa: fins a quin punt numèric arriba el bigoti dret i de quina manera es representa el sou de $2100\text{ €}$?
3. c) En una taula rodona, un portaveu afirma: «Com que el bigoti dret és molt més llarg que l'esquerre i la caixa és més ampla cap amunt ($Q_3 - Me = 170\text{ €}$) que cap avall ($Me - Q_1 = 70\text{ €}$), la distribució té asimetria a la dreta, per la qual cosa podem assegurar amb total certesa matemàtica que la mitjana salarial és superior a la mediana ($1150\text{ €}$)». Basant-te en el que has estudiat sobre els diagrames de caixa, valora críticament aquesta afirmació: per què l'asimetria del gràfic és un indici, però no una garantia suficient per assegurar la posició de la mitjana?

Un equip d'investigació educativa estudia el temps diari (en minuts) que dediquen a xarxes socials $8$ estudiants de $4t$ d'ESO. Et demanen modelitzar una llista de dades que satisfaci de manera exacta aquestes quatre condicions estadístiques:

1. La mediana ha de ser exactament $75$ minuts.

2. El rang interquartílic ha de ser $RIC = 20$ minuts, amb una caixa perfectament simètrica respecte a la mediana ($Me - Q_1 = Q_3 - Me$).

3. No hi ha d'haver cap dada atípica inferior, però sí que hi ha d'haver exactament una dada atípica superior.

4. El valor mínim de la mostra ha de ser $40$ minuts.

1. a) Dedueix els valors numèrics obligatoris de $Q_1$ i $Q_3$, i calcula el llindar numèric exacte a partir del qual un temps passa a considerar-se atípic superior.
2. b) Construeix una llista ordenada de $8$ nombres enters que compleixi totes les condicions, explicant com calcules la mediana i els quartils per a $N = 8$ (utilitzant la mitjana de les posicions centrals de cada meitat).
3. c) Demostra que amb aquest valor mínim de $40$ minuts és impossible que apareguin atípics inferiors i justifica quina condició de fita ha de complir el setè valor ($x_7$) per assegurar que únicament la vuitena dada ($x_8$) sigui atípica.

Repte del tema. Influeixen les pantalles en el nostre estil de vida? Com a analista de dades novell, investigaràs la relació entre l'ús del mòbil i l'esport al teu entorn mitjançant un breu informe estadístic.

1. Població i mostra: Defineix la població d'estudi i enquesta una mostra d'almenys 15 companys o familiars. Recull dues dades per persona: hores diàries de pantalla i si practica esport habitualment (Sí/No).

2. Taula de contingència: Agrupa les hores en dos trams (per exemple, $\le 3,5$ h i $> 3,5$ h) i elabora una taula de contingència de doble entrada que relacioni ambdues variables.

3. Paràmetres i diagrama de caixa: Introdueix les dades contínues d'hores en un full de càlcul o GeoGebra. Calcula la mitjana, mediana, moda, variància i desviació típica. Genera el diagrama de caixa identificant el rang interquartílic i possibles valors atípics.

4. Proposta raonada: Redacta un informe breu interpretant la dispersió, la representativitat de la mostra i si s'observa associació entre ambdues variables.

Es valorarà:

• Identificació correcta de població, mostra i elaboració precisa de la taula de contingència.

• Exactitud en el càlcul digital de les mesures de centralització (mitjana, mediana, moda) i dispersió (variància, desviació típica).

• Construcció i interpretació adequada del diagrama de caixa.

• Rigor i sentit crític en les conclusions de l'informe final.