Exercicis: Inequacions de primer grau

Resol l'inequació $3x - 5 < 7$ i expressa el seu conjunt de solucions en forma d'interval.

Resol l'inequació $-2x + 4 \geq 10$ i indica en quin pas de la resolució canvia el sentit de la desigualtat i per què passa.

La figura mostra a la recta real el conjunt de solucions d'una inequació.

1. a) Expressa'l com a interval. b) Expressa'l mitjançant una desigualtat. c) Escriu una inequació de primer grau la solució de la qual sigui exactament aquest conjunt.

Un aparcament cobra $2\ \text{€}$ per l'entrada més $1{,}20\ \text{€}$ per cada hora. a) Escriu l'inequació que permet calcular les hores $t$ que es pot estar aparcat sense passar de $15\ \text{€}$. b) Resol-la i interpreta el resultat.

Resol l'inequació $5(x - 2) \leq 3x + 4$.

Resol l'inequació $\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} > 1$.

Un company afirma: «per resoldre $-3x > 6$ divideixo tots dos membres entre $-3$ i obtinc $x > -2$». Valora si la seva afirmació és vertadera o falsa, explica l'error si n'hi ha i dona la solució correcta.

Comprova si els valors $x = 2$ i $x = 8$ són solucions de l'inequació $5(x - 1) - 2x < 10$, sense resoldre-la prèviament. Després, resol-la i confirma la teva resposta.

Lucía ha resolt a la pissarra la inequació $5 - 2x \leq 11$ seguint aquests passos:

1) Transposa el $5$: $-2x \leq 11 - 5 \implies -2x \leq 6$.

2) Aïlla la $x$: $x \leq \frac{6}{-2} \implies x \leq -3$, concloent que la solució és $(-\infty, -3]$.

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès Lucía en el pas 2 i explica per què passa això utilitzant un contraexemple numèric senzill (per exemple, comprova què li passa a la desigualtat certa $2 < 6$ si divideixes tots dos membres entre $-2$).
2. b) Corregeix el procediment, escriu la solució correcta en forma d'interval i justifica si l'extrem $-3$ s'ha d'incloure o no.

En una empresa de transport urbà d'una ciutat espanyola, el bitllet senzill d'autobús costa $1,40$ €. També hi ha una targeta mensual amb tarifa plana de viatges il·limitats per $21$ €, tot i que per activar-la per primera vegada cal abonar una fiança inicial no reemborsable del suport físic de $3,50$ €.

1. a) Planteja una inequació de primer grau que representi a partir de quants viatges $x$ durant aquest primer mes resulta més econòmic adquirir l'abonament mensual que comprar bitllets senzills.
2. b) Resol la inequació, expressa la solució com a interval i determina quin és el nombre mínim enter de viatges necessaris per amortitzar l'abonament en el primer mes.

Resol l'inequació $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \leq \frac{1}{2}$ i indica quin és el nombre enter més gran que la verifica.

Resol la doble desigualtat $-3 \leq 2x + 1 < 7$ i expressa la solució com un interval.

Resol el sistema d'inequacions $\begin{cases} 2x - 3 < 5 \\ x + 4 \geq 1 \end{cases}$ i representa la solució a la recta real.

La figura mostra dos intervals $A$ i $B$ representats a la recta real.

Escriu, com a interval, el conjunt de valors de $x$ que pertanyen alhora a $A$ i a $B$, és a dir, la solució del sistema format per les dues desigualtats corresponents.

Ainhoa vol obtenir una mitjana d'almenys $6{,}5$ en els tres exàmens de matemàtiques del trimestre. En els dos primers ha tret $5{,}6$ i $7{,}2$. Quina nota mínima necessita en el tercer examen?

Dues companyies telefòniques ofereixen aquestes tarifes: la companyia A cobra una quota mensual de $15\ \text{€}$ més $0{,}03\ \text{€}$ per minut, i la companyia B no cobra quota però sí $0{,}08\ \text{€}$ per minut. a) Escriu el cost mensual amb cada companyia en funció dels minuts $m$ consumits. b) Per a quin consum mensual costen el mateix les dues? c) Per a quins valors de $m$ resulta més barata la companyia A?

Un alumne resol així l'inequació $\frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{6} \geq 1$:

«Multiplico tot per $6$: $3(x - 3) - (2x + 1) \geq 6$; trec parèntesis: $3x - 9 - 2x + 1 \geq 6$; simplifico: $x - 8 \geq 6$; solució: $x \geq 14$.»

Localitza l'error comès, explica'l i troba la solució correcta.

Un jardí rectangular té $7$ m d'amplada. a) Si disposem de menys de $40$ m de tanca per tancar el seu perímetre, quins valors pot prendre la llargada $l$? b) Si a més volem que l'àrea del jardí superi els $70\ \text{m}^2$, entre quins valors estarà la llargada?

Dissenyaràs un exercici d'examen per als teus companys sobre inequacions:

1. a) Construeix una inequació de primer grau de la forma $ax + b > c$, on $a$, $b$ i $c$ siguin nombres enters, amb la condició indispensable que el coeficient $a$ sigui negatiu ($a < 0$), de manera que el seu conjunt de solucions sigui exactament l'interval $(-\infty, 4)$. Explica raonadament com has triat els valors d'$a$, $b$ i $c$ perquè en aïllar s'inverteixi el sentit de la desigualtat.
2. b) Afegeix a la teva inequació una segona inequació de primer grau molt senzilla, de manera que juntes formin un sistema la solució del qual sigui l'interval acotat $(-1, 4)$. Justifica la resposta representant la intersecció de tots dos intervals.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) estableix per a una zona de muntanya que l'avís groc per baixes temperatures s'activa quan la temperatura descendeix per sota de $-6$ ºC, i es passa a avís taronja si baixa de $-12$ ºC. A les 19:00 hores, un refugi registra $3$ ºC, però l'entrada d'un front fred fa preveure que la temperatura descendirà a un ritme constant d'$1,5$ ºC per cada hora transcorreguda ($t$).

1. a) Planteja una doble inequació que determini durant quines hores la zona estarà en nivell d'avís groc (és a dir, amb una temperatura estrictament menor que $-6$ ºC, però que no arribi a ser menor que $-12$ ºC, o sigui, major o igual que $-12$ ºC).
2. b) Resol la doble inequació operant de manera simultània en els tres membres, escriu el resultat en forma d'interval i interpreta entre quines hores exactes de la matinada estarà vigent l'avís groc.

Un estudiant s'enfronta a l'inequació amb valor absolut $|3x - 2| < -4$. Per a resoldre-la, aplica una regla mecànica separant el problema en dos casos: $3x - 2 < -4$ i $3x - 2 > 4$. Després de resoldre totes dues inequacions de primer grau, arriba a la conclusió que la solució és el conjunt $x \in (-\infty, -2/3) \cup (2, +\infty)$. Explica el profund error teòric que ha comès des del primer pas en ignorar la definició bàsica de valor absolut i proporciona la solució correcta raonada.

Troba tots els valors del paràmetre $k$ per als quals $x = 3$ és solució de l'inequació $kx - 2(x - k) > 4$.

1. a) Resol l'inequació $2(x - 1) > 2x + 5$. b) Resol l'inequació $3x - 3 \leq 3(x + 5)$. c) A la vista dels apartats anteriors, explica quins dos casos especials poden aparèixer quan una inequació es redueix a una expressió del tipus $0 \cdot x > a$ o $0 \cdot x \leq a$, i de què depèn cadascun.

La figura mostra a la recta real el conjunt solució d'una inequació del tipus $|x - a| \leq b$.

1. a) Determina els valors de $a$ i $b$. b) Resol l'inequació $|2x - 3| \leq 5$ transformant-la en una doble desigualtat.

Per a la mudança de l'institut es comparen dues empreses de lloguer de furgonetes: KmCero cobra $45\ \text{€}$ per dia més $0{,}25\ \text{€}$ per quilòmetre, i RutaPlana cobra $70\ \text{€}$ per dia més $0{,}10\ \text{€}$ per quilòmetre. a) Escriu el cost d'un dia de lloguer a cada empresa en funció dels quilòmetres recorreguts $x$. b) Si es preveu recórrer $120$ km en un dia, quina empresa convé? c) A partir de quants quilòmetres diaris interessa contractar RutaPlana? d) Un professor afirma: «amb KmCero sempre hi sortim guanyant, perquè el seu preu fix és menor». Explica, fent servir els teus resultats, per què no té raó.

Una plataforma de música en streaming té uns costos fixos de $18.000\ \text{€}$ al mes més $1{,}20\ \text{€}$ de despeses tècniques per subscriptor. Cada subscriptor paga una quota de $4{,}80\ \text{€}$ mensuals i la publicitat aporta $6.000\ \text{€}$ al mes. a) Planteja l'inequació que determina el nombre de subscriptors $x$ a partir del qual la plataforma obté beneficis. b) Resol-la i interpreta el resultat.

La solució de l'inequació $ax + b > 0$ és exactament l'interval $(-\infty, 2)$, i es sap que $a + b = 4$. a) Raona per què el coeficient $a$ ha de ser negatiu. b) Troba els valors de $a$ i $b$.

Per superar un curs en línia cal aconseguir una mitjana d'entre $7$ i $8{,}5$ en les tres proves finals. En Marc ha obtingut $6{,}4$ i $8{,}1$ en les dues primeres. a) Planteja les inequacions que ha de complir la seva nota $x$ en la tercera prova. b) Entre quins valors hauria d'estar $x$? c) Tenint en compte que la nota màxima de cada prova és $10$, interpreta el resultat: pot en Marc superar el curs? Amb quines notes ho aconseguiria?

Siguin $a$ i $b$ dos nombres negatius tals que $a < b < 0$. a) Tria dos valors concrets per a $a$ i $b$ i calcula $a^2$, $b^2$ i $a \cdot b$. b) Formula una conjectura sobre l'ordenació de menor a major dels tres nombres $a^2$, $b^2$ i $a \cdot b$. c) Demostra la teva conjectura fent servir les propietats de les desigualtats.

Un grup de 4t d'ESO organitza un viatge de final de curs. Una empresa d'autocars els ofereix un pressupost amb un cost fix de $650$ € més $0,80$ € per cada quilòmetre recorregut. El pressupost màxim de què disposa el grup per al transport és d'$1100$ €. La distància total fixa entre anada i tornada a la destinació és de $420$ km, i la resta del pressupost es destinarà a excursions pels voltants durant l'estada.

1. a) Estima: Abans de resoldre res de manera algebraica, arrodoneix les dades mentalment per estimar de forma aproximada quants quilòmetres addicionals podran dedicar a excursions sense passar-se dels diners disponibles. Escriu el teu raonament i el valor que estimes.
2. b) Modela i comprova: Anomena $x$ els quilòmetres addicionals d'excursions. Planteja una inequació que asseguri no superar el pressupost d'$1100$ €, resol-la pas a pas i expressa el resultat en forma d'interval. Compara la solució exacta amb la teva estimació prèvia i valora críticament si la teva previsió inicial ha estat encertada.

Per resoldre la inequació $\frac{2 - 3x}{6} - \frac{x + 1}{3} \geq \frac{1}{2}$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Estratègia de Marcos: Multiplica tots els termes pel m.c.m. ($6$) per suprimir denominadors des de l'inici, escrivint $(2 - 3x) - 2(x + 1) \geq 3$.

• Estratègia de Sara: Passa tots els termes amb $x$ al membre de la dreta per assegurar-se que el coeficient de la incògnita quedi positiu i evitar dividir per negatius: $\frac{2}{6} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \geq \frac{3x}{6} + \frac{x}{3}$.

1. a) Resol la inequació desenvolupant completament tots dos mètodes i comprova que s'obté exactament el mateix interval solució.
2. b) Analitza els avantatges i inconvenients de cada mètode davant dels dos errors més comuns en aquest tipus d'exercicis: oblidar canviar de signe en suprimir una fracció precedida d'un signe menys i oblidar invertir la desigualtat en dividir entre un nombre negatiu. Justifica quina de les dues estratègies recomanaries tu per cometre menys errades en un examen.