Exercicis: Altres tipus d'equacions

Resol la següent equació biquadrada trobant totes les seves solucions reals:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Resol la següent equació racional, parant atenció a les possibles solucions estranyes que anul·lin els denominadors:

$\frac{x+2}{x-1} = \frac{x}{x+3}$

Troba el valor o els valors de $x$ que satisfan la següent equació irracional. Recorda comprovar la validesa de les solucions obtingudes:

$\sqrt{2x+5} - 3 = x$

Resol la següent equació exponencial expressant tots dos membres com a potències de la mateixa base:

$3^{2x-1} = 81$

Troba el valor de $x$ aplicant les propietats dels logaritmes en la següent equació:

$\log(x+2) + \log(3) = \log(15)$

Determina totes les solucions reals de la següent equació polinòmica que ja està factoritzada:

$(x^2-9)(2x+5)(x^2+4) = 0$

Resol la següent equació bicuadrada incompleta treient factor comú:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Aïlla el radical, eleva al quadrat tots dos membres i resol l'equació irracional. Comprova si les solucions trobades són vàlides:

$\sqrt{x^2+5x+1} = x+2$

La Lucía ha intentat resoldre a la pissarra la següent equació racional:

Per eliminar els denominadors, ha multiplicat tots els termes pel mínim comú múltiple, que és $(x-2)$, desenvolupant els passos següents:

En acabar, afirma convençuda que la solució única de l'equació és $x = 2$.

1. a) Sense necessitat de tornar a fer les operacions algebraiques, substitueix $x = 2$ a l'equació original i explica què passa amb els denominadors.
2. b) Explica quin ha estat l'error conceptual de la Lucía en donar per vàlida aquesta solució i determina quin és, en realitat, el conjunt de solucions d'aquesta equació.

En una oficina central de Correus a Saragossa disposen de dues màquines classificadores de paquets: un model nou d'alta velocitat i un model antic. La màquina nova és capaç de classificar tot el correu del torn en $3\text{ hores}$ menys del que triga la màquina antiga treballant sola. Si els operaris activen totes dues màquines simultàniament, aconsegueixen acabar tota la feina en exactament $2\text{ hores}$.

1. a) Si anomenem $t$ el temps (en hores) que triga la màquina antiga a classificar tot el torn en solitari, escriu la fracció del treball total que realitza cada màquina en una sola hora.
2. b) Planteja una equació racional que representi el treball conjunt en una hora i resol-la per calcular quantes hores trigaria cadascuna de les dues màquines si treballés per separat (recorda descartar raonadament les solucions que no tinguin sentit físic).

L'àrea d'un rectangle és de $120\text{ cm}^2$ i la longitud de la seva diagonal és de $17\text{ cm}$. Si la base mesura $x$ i l'altura mesura $y$, planteja un sistema d'equacions no lineals. Redueix el sistema a una equació bicuadrada amb una sola incògnita i troba les dimensions del rectangle.

Un ciclista fa un trajecte de $60\text{ km}$ a una velocitat constant $v$. Si hagués anat $5\text{ km/h}$ més ràpid, hauria trigat $1$ hora menys a completar el mateix recorregut. Sabent que el temps emprat és $t = \frac{d}{v}$, planteja una equació racional i determina la velocitat inicial a la qual anava el ciclista.

El nombre de reproduccions d'un vídeo que s'està fent viral creix segons la funció $N(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$, on $N$ és el nombre de reproduccions acumulades i $t$ és el temps transcorregut en hores des de la seva publicació. Quantes hores han de transcórrer perquè el vídeo arribi exactament a les $6400$ reproduccions?

El nivell d'intensitat sonora $\beta$ en decibels (dB) es calcula mitjançant l'expressió $\beta = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, on $I$ és la intensitat sonora del soroll i $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ és el llindar d'audició. Si el soroll del trànsit en un carrer molt transitat arriba als $80\text{ dB}$, troba la intensitat sonora $I$ resolent l'equació logarítmica corresponent.

El període $T$ d'oscil·lació d'un pèndol simple, mesurat en segons, ve donat per la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud del fil en metres i $g = 9,8\text{ m/s}^2$ és l'acceleració de la gravetat. Si un rellotge de pèndol té un període exacte de $2\text{ s}$, planteja i resol l'equació irracional per calcular la longitud $L$ del pèndol. (Utilitza l'aproximació $\pi \approx 3,14$).

Resol la següent equació exponencial aplicant el canvi de variable $u = 2^x$. Obtén primer els valors de $u$ i desfés el canvi per trobar els valors de $x$:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Es vol construir una caixa sense tapa a partir d'una peça de cartró quadrada de $20\text{ cm}$ de costat. Per a fer-ho, es retallen quadrats de costat $x$ a cadascuna de les quatre cantonades i es dobleguen les solapes cap amunt. El volum de la caixa resultant ve donat per l'expressió $V(x) = x(20-2x)^2$. Planteja l'equació polinòmica necessària i troba el valor enter de $x$ perquè el volum de la caixa sigui de $576\text{ cm}^3$.

Resol la següent equació irracional que involucra dos radicals. Aïlla un d'ells, eleva al quadrat i repeteix el procés si cal. No oblidis comprovar la validesa dels teus resultats en l'equació original:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Volem construir una equació biquadrada de la forma $a\cdot x^4 + b\cdot x^2 + c = 0$ per a un examen de Matemàtiques, de manera que compleixi totes les condicions següents:

1. Les seves úniques solucions reals han de ser exactament $x = 3$ i $x = -3$.

2. No ha de tenir més solucions reals (per tant, en fer el canvi de variable $z = x^2$, una de les solucions de $z$ ha de generar les solucions reals i l'altra ha de ser estrictament negativa per no aportar arrels reals).

3. El coeficient principal ha de ser $a = 1$ i el terme independent ha de ser $c = -36$.

1. a) Dedueix raonadament quin valor ha de tenir la segona arrel de la variable auxiliar $z$ i determina el valor numèric que ha de prendre el coeficient $b$.
2. b) Escriu l'equació biquadrada completa resultant i resol-la pas a pas per comprovar que efectivament només admet com a solucions reals $x = 3$ i $x = -3$.

L'Agrupació de Trànsit de la Guàrdia Civil i la DGT empren models matemàtics per estimar la velocitat a la qual circulava un automòbil abans d'una frenada d'emergència a partir de la petjada de pneumàtic deixada a l'asfalt sec. En un tram concret d'una carretera nacional, la relació entre la velocitat $v$ (en $\text{km/h}$) i la longitud $d$ de la marca de frenada (en metres) ve donada per l'equació amb radical:

En un atestat després d'un excés de velocitat, el radar fix va registrar que el turisme circulava exactament a $v = 60\text{ km/h}$.

1. a) Estima: Abans de fer mesuraments precisos, un testimoni afirma que la marca de frenada feia almenys $50\text{ metres}$. Substitueix mentalment o amb un càlcul ràpid $d = 50$ a la fórmula per estimar quina velocitat correspondria a aquesta longitud i raona si l'afirmació del testimoni és creïble o desmesurada.
2. b) Calcula i comprova: Planteja l'equació substituint $v = 60\text{ km/h}$, aïlla la incògnita $d$ aïllant l'arrel i elevant al quadrat, i comprova que la solució obtinguda no és una solució estranya en l'equació original. Quants metres va fer en realitat la petjada de frenada?

Resol la següent equació amb valor absolut, analitzant els casos necessaris segons el signe de l'argument i comprovant la validesa de les solucions obtingudes:

$|2x - 5| = x + 1$

En la resolució de l'equació exponencial $3^{x+1} - 3^{x-1} = 24$, un alumne intenta treure factor comú $3^x$ però comet un error en la factorització, escrivint l'expressió com a $3^x \cdot (3^1 - 3^0) = 24$, argumentant que «en treure la $x$ de l'exponent $x-1$, queda $0$». Identifica l'error en l'aplicació de les propietats de les potències amb exponents negatius, corregeix el factor comú extret i resol l'equació fins a trobar el valor exacte de $x$.

Donada l'equació bicuadrada $x^4 - 8x^2 + k = 0$, on $k$ és un paràmetre real:

Planteja el canvi de variable $z = x^2$ i analitza el discriminant de l'equació de segon grau resultant. Determina quina condició o valors ha de complir el paràmetre $k$ perquè l'equació original tingui exactament quatre solucions reals diferents.

Troba els punts d'intersecció entre una circumferència amb centre a l'origen i radi $5$, la qual té per equació $x^2+y^2 = 25$, i la corba de proporcionalitat inversa $x \cdot y = 12$. Planteja el sistema d'equacions no lineals, redueix-lo a una equació bicuadrada i troba les coordenades $(x,y)$ de tots els punts de tall.

Dos aixetes, A i B, omplen un dipòsit d'aigua treballant juntes en exactament $6$ hores. Es sap que, si treballessin per separat, l'aixeta A trigaria $5$ hores menys que l'aixeta B a omplir completament el mateix dipòsit. Planteja una equació racional que relacioni els cabals (fracció de dipòsit per hora) i troba quant de temps trigaria cada aixeta individualment.

Un inversor diposita un capital de $5000$ euros en un producte financer a un interès compost anual del $r\%$. La fórmula del capital final al cap de $t$ anys és $C_f = C_i \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$. Després de $2$ anys, el capital s'ha convertit en $5408$ euros. Planteja l'equació exponencial o polinòmica corresponent i determina el tipus d'interès anual $r$.

En un con circular recte, la longitud de la generatriu $g$, el radi de la base $r$ i l'altura $h$ formen un triangle rectangle, complint $g = \sqrt{r^2+h^2}$. Es sap que el radi de la base mesura $3\text{ cm}$ menys que l'altura del con, i que la generatriu mesura exactament $15\text{ cm}$. Planteja l'equació irracional corresponent i resol-la per trobar la mesura exacta del radi i l'altura.

Resol el següent sistema d'equacions logarítmiques aplicant les propietats dels logaritmes per transformar-lo en un sistema algebraic lineal o no lineal:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 3 \\ 2\log(x) - \log(y) = 3 \end{cases}$

Resol el següent sistema d'equacions exponencials. Utilitza un canvi de variable adequat, per exemple $u = 2^x$ i $v = 5^y$, per transformar-lo en un sistema lineal, resol-lo i després desfés el canvi per trobar $x$ i $y$:

$\begin{cases} 2^x + 5^y = 9 \\ 2^{x+2} - 5^{y+1} = -9 \end{cases}$

Troba totes les arrels del següent polinomi de quart grau resolent l'equació corresponent. Utilitza el teorema del residu i la regla de Ruffini per trobar les arrels enteres i després resol l'equació de segon grau resultant per trobar la resta de solucions reals o comprovar si n'hi ha:

$x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12 = 0$

Es planteja resoldre a classe l'equació irracional amb dos radicals:

Dos companys de classe proposen estratègies diferents en el seu primer pas:

• Estratègia de la Marta: Aïllar un radical passant l'altre sumant al segon membre, $\sqrt{x+7} = 1 + \sqrt{x}$, i després elevar tots dos membres al quadrat.

• Estratègia d'en Guille: Elevar al quadrat directament l'equació tal com està escrita, $(\sqrt{x+7} - \sqrt{x})^2 = 1^2$, aplicant la identitat notable del quadrat d'una resta.

1. a) Realitza el desenvolupament algebraic d'aquest primer pas amb totes dues estratègies fins a simplificar els termes semblants.
2. b) Compara els dos resultats obtinguts: explica detalladament quina de les dues estratègies és més avantatjosa i quina genera una expressió més complexa o amb més probabilitat de cometre errors de signes en aïllar el radical que queda.
3. c) Acaba de resoldre l'equació aplicant el mètode més eficaç i comprova si el valor obtingut és efectivament solució de l'equació de partida, justificant per què aquest pas de comprovació és obligatori en resoldre equacions irracionals.

Una furgoneta de repartiment de mercaderies $100\,\%$ elèctrica realitza la ruta interurbana entre Logronyo i Vitòria, amb una distància de $60\text{ km}$ per trajecte ($120\text{ km}$ en total sumant anada i tornada).

• En el viatge d'anada, a causa de la fluïdesa del trànsit matinal, circula a una velocitat mitjana $v$ (en $\text{km/h}$).

• En el viatge de tornada, amb més congestió i retencions a l'entrada, la seva velocitat mitjana es redueix en $20\text{ km/h}$.

El conductor registra que el temps total emprat a completar els dos trajectes (anada i tornada) ha estat d'exactament $2\text{ hores i } 30\text{ minuts}$ ($2,5\text{ hores}$).

1. a) Expressa el temps d'anada i el temps de tornada en funció de $v$, i planteja l'equació racional que iguala la suma de tots dos temps al temps total del viatge.
2. b) Resol l'equació racional obtinguda, analitza les dues possibles solucions matemàtiques i interpreta quina d'elles no té sentit en el context del problema, indicant les velocitats d'anada i de tornada.
3. c) L'empresa de logística exigeix que, per optimitzar el consum de bateria, la velocitat mitjana global del recorregut complet (definida com la distància total recorreguda dividida entre el temps total emprat) sigui d'almenys $45\text{ km/h}$. Demostra raonadament si es compleix o no aquest requisit, advertint per què seria un error de càlcul habitual calcular la velocitat mitjana global fent la mitjana aritmètica simple entre la velocitat d'anada i la de tornada.