Exercicis: Repartiment proporcional

Reparteix el nombre $4500$ de manera directament proporcional a $2$, $3$ i $4$.

Reparteix el nombre $3900$ de manera inversament proporcional a $2$, $3$ i $4$.

Tres germans de $8$, $12$ i $15$ anys reben un regal de $1400$ € a repartir de manera directament proporcional a les seves edats. Quants diners rep cadascun?

Efectua el repartiment de $620$ de manera directament proporcional a les fraccions $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{5}$.

En una competició, es reparteix un premi de $5700$ € de manera inversament proporcional al nombre de penalitzacions comeses pels tres finalistes: $1$, $2$ i $5$ penalitzacions. Calcula el premi que li correspon a cadascun.

En repartir una certa quantitat de manera directament proporcional als nombres $5$, $7$ i $9$, a la segona part li corresponen $840$. Calcula la quantitat total repartida i el valor de les altres dues parts.

Reparteix el nombre $2480$ de manera inversament proporcional a $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{5}$.

Quatre socis inverteixen $2000$ €, $3000$ €, $4000$ € i $6000$ € en una empresa. Si el benefici anual és de $45000$ €, quina quantitat li correspon a cadascun si el repartiment de beneficits és directament proporcional a la inversió inicial?

Per repartir un incentiu de $950$ € entre tres empleats d'una botiga de comerç local de manera inversament proporcional a les jornades que han faltat a la feina aquest trimestre ($2$, $4$ i $5$ dies), Mateo proposa la solució següent: «Com que el repartiment és invers, assignem els dies al revés: el que va faltar $5$ dies rep $2$ parts, el que va faltar $4$ dies rep $4$ parts i el que va faltar $2$ dies rep $5$ parts. Sumem $2 + 4 + 5 = 11$ parts i dividim $950$ entre $11$».

1. a) Localitza l'error conceptual de Mateo. Explica per què «capgirar la llista de nombres» no representa una proporcionalitat inversa, fixant-te en la relació que hi hauria d'haver entre l'empleat que va faltar $2$ dies i el que va faltar $4$ dies.
2. b) Fes el repartiment correcte calculant la constant de proporcionalitat mitjançant les fraccions inverses corresponents i comprova que la suma de les tres assignacions sigui exactament $950$ €.

Tres municipis contigus d'una comarca rural formen una mancomunitat per gestionar conjuntament el servei de recollida i tractament de residus urbans. Segons el padró municipal de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), les tres localitats compten amb $1200$, $1800$ i $3000$ habitants respectivament. El cost anual del servei ascendeix a $84\,000$ € i els estatuts comarcals estableixen que s'ha de finançar de manera directament proporcional a la població de cada municipi.

1. a) Modela la situació identificant la constant de proporcionalitat directa (cost anual per habitant) i interpreta'n el significat pràctic.
2. b) Calcula l'aportació econòmica anual que ha d'assumir l'ajuntament de cada localitat.
3. c) Comprova que la suma de les tres aportacions coincideix amb el pressupost total i determina quin percentatge del cost global assumeix el municipi amb més població.

Un avi decideix repartir $8600$ € entre els seus tres nets de manera directament proporcional a les seves qualificacions mitjanes ($7,5$, $8,0$ i $6,0$) i inversament proporcional a les seves edats ($15$, $16$ i $12$ anys). Quant correspon a cadascun?

Es reparteix una herència de manera inversament proporcional a les edats de tres hereus, que són $20$, $24$ i $32$ anys. Si el més jove rep $16000$ € més que el gran, quina era la quantitat total de l'herència i quant rep cadascun dels hereus?

En una empresa, es reparteix una prima de productivitat de $12400$ € entre tres empleats de manera directament proporcional als anys d'antiguitat ($4$, $5$ i $8$ anys) i inversament proporcional als dies d'absència ($2$, $3$ i $4$ dies). Calcula la part que s'assigna a cada empleat.

Reparteix el nombre $3420$ en parts directament proporcionals a $1,2$, $0,8$ i $2,5$, i inversament proporcionals a $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$ i $\frac{5}{2}$.

Tres agricultors lloguen un tractor per $1300$ €. El primer el fa servir durant $3$ dies a raó de $4$ hores diàries; el segon, $5$ dies a $6$ hores diàries; i el tercer, $4$ dies a $5$ hores diàries. Quant ha de pagar cada agricultor pel lloguer?

En repartir una quantitat $C$ de manera inversament proporcional a $2$, $5$ i $8$, s'observa que la suma de la més gran i la més petita de les parts obtingudes és $2500$. Calcula la quantitat total $C$ i el valor de cadascuna de les tres parts.

Es vol repartir $9300$ € en parts inversament proporcionals als nombres decimals $0,4$, $0,5$ i $0,8$. Calcula la quantitat que correspon a cada part.

Un aliatge de $420$ grams està compost per or, plata i coure. Les masses d'aquests metalls en l'aliatge són directament proporcionals als nombres $3$, $4$ i $5$, i inversament proporcionals a les seves densitats relatives, que són aproximadament $19$, $10$ i $9$ respectivament. Planteja el repartiment i determina quants grams de cada metall hi ha en l'aliatge (expressa el resultat arrodonint a dues xifres decimals).

Durant un període prolongat de sequera registrat per l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), la Confederació Hidrogràfica imposa una sanció conjunta de $12\,600$ € a tres explotacions agrícoles per sobreexplotació d'un aqüífer. S'acorda distribuir l'import de la sanció de manera inversament proporcional al volum d'aigua de pluja que cada finca va aconseguir emmagatzemar i reutilitzar a les seves basses: la finca El Olivar va emmagatzemar $2000$ $\text{m}^3$, la finca La Vega va emmagatzemar $3000$ $\text{m}^3$ i la finca Los Llanos va emmagatzemar $6000$ $\text{m}^3$.

1. a) Abans de fer càlculs exactes, estima raonadament quina explotació hauria de pagar la meitat exacta de la multa total i quina n'hauria de pagar la quantitat més petita. És raonable esperar que la finca El Olivar pagui el triple que la finca Los Llanos? Argumenta la teva conjectura a partir de les dades.
2. b) Calcula el repartiment exacte de la sanció utilitzant les fraccions corresponents.
3. c) Valora si les quantitats obtingudes coincideixen amb la teva estimació inicial i comprova que la suma total sigui exactament $12\,600$ €.

Tres persones emprenedores (Alba, Bruno i Clara) obren un negoci cooperatiu de repartiment sostenible en bicicleta i acorden distribuir els beneficis del primer trimestre de manera directament proporcional al capital inicial invertit per cadascuna. Alba va aportar $4000$ € i Bruno va aportar $6000$ €. Per una errada en el registre comptable es desconeix l'aportació inicial exacta de Clara, però consta documentalment que el benefici total obtingut va ser de $13\,500$ € i que a Clara li van correspondre exactament $4500$ €.

1. a) Planteja una equació de primer grau on la incògnita $x$ sigui el capital aportat per Clara, recolzant-te en la definició de la constant de repartiment proporcional directe.
2. b) Resol l'equació per esbrinar quants diners va invertir Clara en l'obertura del negoci.
3. c) Sense necessitat de tornar a calcular el capital de Clara, planteja i resol una proporció que permeti calcular de manera directa el guany que correspon a Alba i el que correspon a Bruno, i comprova que la suma dels tres beneficis és $13\,500$ €.

Demostra matemàticament que repartir una quantitat $S$ de manera directament proporcional als nombres $a$, $b$ i $c$ és equivalent a repartir-la de manera inversament proporcional als nombres $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$ i $\frac{1}{c}$.

Un capital de $30000$ € es reparteix en tres parts directament proporcionals a $x$, $x+2$ i $x+4$. Si la més gran de les parts obtingudes és $12000$ €, planteja una equació per determinar el valor de $x$ i calcula les altres dues parts.

Tres socis, A, B i C, aporten capital per a un negoci. El soci A aporta el doble de capital que B, i B aporta el triple que C. El negoci dura $2$ anys, però A retira el seu capital als $8$ mesos i B el retira als $18$ mesos (C el manté els $24$ mesos). Si el benefici total és de $68000$ €, com s'ha de repartir de manera directament proporcional al capital aportat i al temps de permanència?

En repartir un nombre $N$ en parts inversament proporcionals a $2$, $3$ i $6$, la primera part supera la segona en $400$ unitats. Si aquest mateix nombre $N$ es repartís de manera directament proporcional a $2$, $3$ i $6$, quina seria la diferència exacta entre la major i la menor de les parts?

Es reparteix una quantitat de diners de manera directament proporcional a $3$, $5$ i $k$. Sabent que a la segona part li corresponen $1500$ € i que el total repartit és $4200$ €, troba el valor del paràmetre $k$ i calcula les quantitats de la primera i la tercera part.

En un torneig, un premi de $P$ euros es reparteix entre els tres primers classificats de manera inversament proporcional als temps que han trigat a completar la prova: $t_1$, $t_2$ i $t_3$. Sabent que $t_1 = \frac{t_2}{2}$ i $t_3 = \frac{4t_2}{3}$, i que la diferència entre el primer i el tercer premi és de $4500$ €, troba el valor total del premi $P$.

Un pare reparteix una quantitat $N$ entre els seus tres fills de manera directament proporcional a les seves edats $a$, $b$ i $c$. Es sap que la suma de les edats és de $36$ anys. El fill de $a$ anys rep $1200$ €, el de $b$ anys rep $1600$ € i el de $c$ anys rep $2000$ €. Planteja un sistema d'equacions per determinar la quantitat total repartida $N$ i l'edat de cadascun dels fills.

Dues poblacions A i B decideixen construir un hospital conjunt. El cost de $15$ milions d'euros es repartirà de manera directament proporcional a les seves poblacions i inversament proporcional a la distància a l'hospital. La població A té $12000$ habitants i està a $4$ km de l'hospital, mentre que la població B té $18000$ habitants i està a $9$ km. Calcula quant pagarà cada població per la construcció de l'hospital.

El Ministeri d'Agricultura, Pesca i Alimentació (MAPA) convoca un ajut extraordinari de $77\,000$ € per modernitzar el parc de maquinària de tres cooperatives agràries ($A$, $B$ i $C$) situades en comarques en risc demogràfic. Les bases reguladores estableixen un repartiment amb doble criteri: directament proporcional a la superfície agrícola conreada (en hectàrees, ha) i inversament proporcional als ingressos mitjans declarats per hectàrea (en milers d'euros per ha) durant l'últim trienni:

• Cooperativa $A$: gestiona $120$ ha amb uns ingressos de $4$ milers d'€/ha.

• Cooperativa $B$: gestiona $200$ ha amb uns ingressos de $5$ milers d'€/ha.

• Cooperativa $C$: gestiona $80$ ha amb uns ingressos de $2$ milers d'€/ha.

1. a) Modela l'assignació calculant el coeficient ponderat combinat de cada cooperativa (multiplicant el factor directe pel factor invers) i simplifica els resultats a nombres enters.
2. b) Calcula la quantia de l'ajut que correspon a cada cooperativa a partir del pressupost disponible de $77\,000$ €.
3. c) Justifica matemàticament per què les cooperatives $B$ i $C$ reben exactament el mateix import, malgrat que la cooperativa $B$ conrea $120$ hectàrees més que la cooperativa $C$ (un $150\,\%$ més de superfície). Explica la justificació socioeconòmica que busca l'administració amb aquest tipus de repartiment.

Una empresa tecnològica distribueix una bonificació de $6300$ € entre tres tècniques de suport informàtic de manera inversament proporcional al nombre de queixes d'usuaris rebudes en els seus projectes: Rocío va tenir $3$ queixes, Sergio va tenir $4$ queixes i Alba va tenir $6$ queixes. Tres companys de classe plantegen mètodes diferents per calcular el repartiment:

• Mètode d'Eva: Redueix les fraccions inverses $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{6}$ a comú denominador ($12$) per transformar la situació en un repartiment directament proporcional als numeradors enters ($4$, $3$ i $2$).

• Mètode de Marcos: Defineix la constant de proporcionalitat inversa $k$ plantejant l'equació $\frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{6} = 6300$, aïlla el valor global de $k$ i després calcula l'assignació de cada persona dividint $k$ entre les seves queixes.

• Mètode de Laura: Transforma cada invers en nombre decimal arrodonint a dues xifres ($\frac{1}{3} \approx 0,33$; $\frac{1}{4} = 0,25$; $\frac{1}{6} \approx 0,17$) i fa el repartiment directament proporcional amb aquests decimals.

1. a) Aplica el mètode d'Eva i calcula els diners que percep cada tècnica, comprovant que sumin $6300$ €.
2. b) Aplica el mètode de Marcos i comprova que s'obtenen exactament els mateixos imports que amb el mètode d'Eva.
3. c) Analitza críticament el mètode de Laura: efectua el càlcul amb els seus decimals arrodonits i explica quin inconvenient numèric i quina injustícia econòmica es produeix en els imports que rep cada tècnica.
4. d) Compara els mètodes d'Eva i Marcos: raona quin et sembla més convenient quan no es permet l'ús de calculadora i quin facilita més la feina si haguéssim d'afegir una quarta persona al repartiment un cop coneguda la constant.