Exercicis: Proporcionalitat simple (regla de tres)

En una fruiteria, $5$ kg de pomes costen $8,50$ €. Quant costaran $3$ kg de les mateixes pomes?

Un equip de $4$ pintors triga $6$ dies a pintar la façana d'un edifici. Si l'empresa només disposa de $3$ pintors per al pròxim treball idèntic, quants dies trigaran a acabar-lo?

Una recepta de pastís per a $6$ persones requereix $150$ grams de sucre. Si volem adaptar la recepta per convidar $10$ persones, quants grams de sucre necessitarem?

Un cotxe que viatja a una velocitat constant de $90$ km/h triga $4$ hores a fer un trajecte entre dues ciutats. A quina velocitat constant hauria de viatjar per fer el mateix trajecte en $3$ hores?

En un mapa de carreteres, una distància de $5$ cm representa $600$ km en la realitat. Si dues ciutats estan separades per $12$ cm al mapa, quina és la distància real entre elles en quilòmetres?

Per omplir un dipòsit d'aigua s'utilitzen $8$ aixetes iguals que aboquen aigua al mateix ritme, trigant $12$ hores a completar-lo. Si volem que el dipòsit s'ompli en $16$ hores, quantes aixetes iguals a les anteriors hem de deixar obertes?

Una màquina en una fàbrica produeix $450$ peces en $3$ hores de funcionament ininterromput. Quantes peces produirà si es manté encesa durant $8$ hores al mateix ritme?

El premi d'un sorteig es reparteix a parts iguals entre els encertants. Si hi ha $5$ guanyadors, cadascun rep $120$ €. Quants diners rebria cadascun si hi hagués hagut $8$ guanyadors?

Segons dades tècniques de l'IDAE (Institut per a la Diversificació i Estalvi de l'Energia), un turisme eficient de gasolina consumeix una mitjana de $5,4$ litres per cada $100$ km recorreguts en autovia a velocitat legal constant. Una família farà un trajecte d'anada des de Madrid fins a València per l'autovia A-3, cobrint una distància de $355$ km.

1. a) Explica breument per què el consum total de gasolina i els quilòmetres recorreguts són magnituds directament proporcionals en aquest trajecte.
2. b) Mitjançant una regla de tres directa o per reducció a la unitat, calcula quants litres de gasolina consumirà el vehicle en tot el trajecte d'anada.
3. c) Si el preu de la gasolina 95 a l'estació de servei és de $1,62$ € per litre, quants diners gastaran en combustible durant aquest viatge? Arrodoneix el resultat als cèntims d'euro.

Per preparar i embalar $300$ lots d'aliments en una campanya benèfica de l'institut, $3$ persones voluntàries triguen $40$ minuts treballant al mateix ritme constant. Per a la següent tanda de lots idèntics s'incorporen $2$ persones més, de manera que ara són $5$ voluntaris treballant al mateix ritme.

La Lucía intenta calcular quant trigaran i escriu al seu quadern:

«A més persones, més temps es trigarà:

Per tant, trigaran gairebé $67$ minuts».

1. a) Explica amb les teves pròpies paraules, sense fer càlculs, per què la conclusió de la Lucía no té sentit a la vida real.
2. b) Assenyala quin és l'error matemàtic que ha comès la Lucía en el seu plantejament i indica quin valor numèric roman constant en canviar el nombre de persones (és a dir, què representa la constant del producte $x \cdot y$ en aquest context).
3. c) Corregeix el plantejament i calcula el temps exacte que trigaran els $5$ voluntaris.

Amb una connexió a internet estable, la descàrrega d'un arxiu de $3,2$ GB triga exactament $15$ minuts. Si necessites descarregar una actualització de $8,4$ GB, quant de temps trigarà? Expressa el resultat final en minuts i segons.

Un sistema de transmissió per engranatges consta d'una roda dentada motriu de $45$ dents que gira a $120$ revolucions per minut (rpm). Aquesta roda està engranada a una segona roda conduïda de $36$ dents. A quina velocitat (en rpm) girarà la segona roda?

En una oficina de canvi de divises, una turista britànica ha comprovat que en canviar $125$ £ (lliures esterlines) li han lliurat $145$ €. L'endemà, amb la mateixa taxa de canvi, un turista espanyol vol obtenir $250$ £. Quants euros haurà de lliurar?

Una bomba d'extracció d'aigua funciona amb un cabal de $2,5$ litres per segon i triga $4$ hores i $30$ minuts a buidar una piscina. Si es substitueix per una bomba més potent amb un cabal de $3,0$ litres per segon, quant de temps trigarà a buidar la mateixa piscina?

En un experiment de química, es sap que la massa d'un compost és directament proporcional a la quantitat de substància mesurada en mols. Si $3,5$ mols d'aquest compost tenen una massa de $154$ grams, quina serà la massa exacta d'una mostra que conté $6,2$ mols del mateix compost?

Un terreny agrícola té forma rectangular amb una longitud de $120$ m i una amplada de $85$ m. L'ajuntament expropia el terreny però ofereix a canvi una altra parcel·la rectangular amb la mateixa superfície exacta. Si la nova parcel·la té una longitud de $150$ m, quina ha de ser la seva amplada?

El gràfic següent mostra la relació entre el pes d'un tipus d'aliatge metàl·lic i el seu cost al mercat. Observant el punt $A$ marcat al gràfic, determina la constant de proporcionalitat i calcula quant costarà una peça de $45$ kg d'aquest aliatge.

Segons la llei de Boyle-Mariotte, a temperatura constant, el volum que ocupa un gas és inversament proporcional a la pressió a la qual està sotmès. Un gas ocupa un volum de $15,6$ litres quan la pressió és de $1,2$ atmosferes. Quina pressió en atmosferes caldrà aplicar perquè el gas es comprimeixi fins a ocupar exactament $10,4$ litres?

Un autobús de línia regular interurbana recorre un tram de $108$ km per l'autopista AP-7. A una velocitat mitjana de $120$ km/h, triga exactament $54$ minuts a completar el recorregut. En una jornada amb pluja intensa i trànsit dens regulat per la DGT, la velocitat mitjana de l'autobús en aquest mateix tram descendeix a $80$ km/h.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul numèric exacte, fes una estimació raonada: el nou temps de viatge serà més gran o més petit que una hora? Estarà més a prop de $60$ minuts o de $90$ minuts? Justifica la teva estimació mental.
2. b) Identifica el tipus de proporcionalitat que hi ha entre la velocitat mitjana i el temps invertit a recórrer una distància fixa. Quin és el valor i les unitats de la constant de proporcionalitat en aquest cas?
3. c) Planteja la proporció corresponent, calcula el temps exacte (en minuts) que trigarà l'autobús a $80$ km/h i comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) era encertada.

A la carnisseria d'un mercat municipal, un cartell informa que una safata de $350$ g de filets de pit d'indiot costa $4,20$ €. Dos clients, la Sara i en Mario, volen esbrinar el preu d'una safata familiar d'$1,4$ kg del mateix producte.

• La Sara diu: «Jo prefereixo reduir a la unitat: calculo quant costa $1$ kg dividint $4,20$ entre $0,35$ kg, i després multiplico aquest preu per $1,4$».

• En Mario diu: «És més fàcil observar la relació entre les dades: $1,4$ kg són $1\,400$ g, i com que $1\,400$ és exactament el quàdruple de $350$ g, només he de multiplicar $4,20$ per $4$».

1. a) Fes els càlculs seguint el mètode de la Sara i el d'en Mario. Comprova si tots dos obtenen el mateix resultat final.
2. b) Justifica quin dels dos mètodes et sembla més àgil i còmode per resoldre aquest cas concret sense necessitat de calculadora.
3. c) Si després volen saber el preu d'una safata petita que pesa $210$ g, continua sent tan avantatjós el raonament directe d'en Mario enfront del de la Sara? Justifica quin dels dos camins convindria aplicar en aquest segon cas i calcula el preu per a aquests $210$ g.

Se sap que una magnitud $Y$ és directament proporcional a una altra magnitud $X$. Quan $X = a$, el valor de la magnitud $Y$ és $b + 3$. Si el valor de $X$ es quadruplica (és a dir, $X = 4a$), determina l'expressió algebraica que defineix el nou valor de $Y$ en funció de $b$.

Dues magnituds físiques $P$ i $Q$ són inversament proporcionals. Si en un determinat procés la magnitud $P$ experimenta un increment del $25\%$, quin percentatge exacte disminuirà la magnitud $Q$? Demostra la teva resposta plantejant la constant de proporcionalitat.

El gràfic següent mostra la relació entre dues magnituds $X$ i $Y$ inversament proporcionals. Sobre la corba (hipèrbola) s'han marcat dos punts $P(x_1, y_1)$ i $Q(x_2, y_2)$, i s'han dibuixat els rectangles que formen amb els eixos de coordenades. Demostra algebraicament, utilitzant la definició de proporcionalitat inversa, per què l'àrea del rectangle blau és exactament igual a l'àrea del rectangle vermell, independentment dels punts triats sobre la corba.

Segons la llei de Hooke, l'allargament d'una molla és directament proporcional a la massa que se li penja. En penjar una massa $M$, la molla s'allarga $L$ centímetres. Si afegim una massa addicional de $m$ quilograms, l'allargament total passa a ser $L + \Delta L$. Expressa la massa inicial $M$ en funció únicament de $m$, $L$ i $\Delta L$.

Un equip de $N$ obrers es compromet a acabar una obra d'enginyeria en $D$ dies treballant a un ritme constant. Després d'haver transcorregut exactament la quarta part dels dies previstos ($D/4$), un terç dels obrers abandona el projecte per un imprevist. La resta de l'equip continua treballant al mateix ritme. Expressa, en funció de $D$, el nombre total de dies que durarà l'obra completa des de l'inici fins a la finalització.

Una impressora 3D triga $45$ segons a imprimir una capa de plàstic de $0,2$ mm de gruix. Es vol imprimir una peça massissa d'altura $H$ mm. Si l'operari canvia la configuració perquè cada capa tingui un gruix de $0,15$ mm (la qual cosa manté exactament el mateix temps d'impressió per capa de $45$ segons, però requereix més capes), la impressió de la peça completa trigarà $2$ hores i $5$ minuts més que amb la configuració original. Planteja les relacions de proporcionalitat necessàries i determina l'altura $H$ de la peça.

En una cursa de fons, la velocitat mitjana d'un corredor i el temps que triga a arribar a la meta són magnituds inversament proporcionals. La corredora A finalitza el recorregut en $t$ minuts. La corredora B corre a una velocitat mitjana que és un $20\%$ superior a la de la corredora A. Expressa el temps que triga la corredora B en funció de $t$.

Se sap que la massa d'una esfera d'acer massissa és directament proporcional al seu volum. Un estudiant afirma que si dupliquem el radi de l'esfera, la seva massa també es duplicarà aplicant una regla de tres simple directa respecte al radi. És correcta aquesta afirmació? Sabent que una esfera de $2$ cm de radi té una massa de $260$ g, calcula la massa real d'una esfera del mateix material i $3$ cm de radi, demostrant per què la regla de tres simple directa respecte al radi és un error conceptual en aquest cas.

Estàs dissenyant una prova escrita de Matemàtiques sobre proporcionalitat per als teus companys de classe i vols crear un problema sobre el cost elèctric del funcionament d'una bomba d'esgotament d'aigua.

Les condicions que ha de complir el teu exercici són:

1. El cost en euros (€) és directament proporcional al temps de funcionament en hores (h).

2. La solució final que han d'obtenir els teus companys ha de ser exactament un cost de $17,50$ € per a un temps d'ús de $3,5$ hores.

3. En l'enunciat que redactis, com a dada coneguda de partida, el temps ha de ser un nombre enter d'hores i el cost ha de ser un nombre enter d'euros estrictament menor que $15$ €.

1. a) Troba el valor de la constant de proporcionalitat directa $k$ (en €/h) que exigeix la condició 2.
2. b) Dedueix quines parelles de dades conegudes $(t\text{ hores}, C\text{ euros})$ compleixen simultàniament la condició 3 i la constant calculada. Tria una d'aquestes parelles per al teu problema.
3. c) Redacta l'enunciat complet i autocontingut del problema que has inventat, utilitzant la parella de dades triada. A continuació, resol-lo pas a pas mitjançant reducció a la unitat per demostrar que la solució és exactament $17,50$ €.

En els estudis de seguretat viària de la Dirección General de Tráfico (DGT) s'analitza l'aturada d'un vehicle dividint l'espai total en dues fases diferenciades:

• Distància de reacció: espai recorregut a velocitat constant durant el temps que triga el conductor a percebre el perill i trepitjar el pedal (estimat en $1$ segon de mitjana).

• Distància de frenada: espai que recorre el cotxe des que s'acciona el fre fins que s'atura completament per fricció.

Segons els assajos de la DGT, a $50$ km/h un turisme recorre una distància de reacció d'aproximadament $13,9$ metres.

1. a) Justifica per què la distància de reacció i la velocitat de circulació són magnituds directament proporcionals. Quina magnitud física representa en aquest cas la constant de proporcionalitat $\dfrac{\text{distància}}{\text{velocitat}}$?
2. b) Mitjançant una regla de tres directa, calcula la distància de reacció d'aquest mateix conductor si circula per autovia a la velocitat màxima legal de $120$ km/h. Arrodoneix el resultat a les dècimes de metre.
3. c) Un conductor inexpert afirma: «Si a $50$ km/h la distància de frenada sobre asfalt sec és de $12$ metres, a $120$ km/h serà de $28,8$ metres, ja que aplico una regla de tres directa multiplicant per $\frac{120}{50} = 2,4$». Tanmateix, els mesuraments reals de la DGT demostren que a $120$ km/h la distància de frenada és d'uns $69$ metres. Raona matemàticament per què la distància de frenada NO és proporcional a la velocitat i explica el greu perill viari que suposa aplicar la proporcionalitat simple a magnituds que no la compleixen.