Exercicis: Càlculs amb percentatges

En un laboratori de química es preparen $250$ ml de serofisiològic amb una concentració de sal del $0,9\%$. Quants mil·lilitres de sal pura conté aquesta dissolució?

Un bosc ha perdut el $15\%$ dels seus arbres a causa d'un incendi forestal. Si les autoritats forestals han comptabilitzat que s'han cremat $360$ arbres, quants arbres tenia el bosc abans de l'incendi?

La bateria d'un telèfon mòbil té una capacitat total de $4500$ mAh. Si després d'un dia d'ús intens l'aplicació de diagnòstic indica que li queden $1260$ mAh, quin percentatge de bateria li queda disponible al dispositiu?

Una família paga $85$ € mensuals pel seu paquet de connexió a internet i televisió. Si la companyia de telecomunicacions els comunica que el mes que ve aplicarà un augment del $4\%$ per actualització de tarifes, quant pagaran mensualment a partir d'ara?

Unes sabatilles esportives que marquen un preu de $120$ € a l'etiqueta estan rebaixades un $35\%$ per fi de temporada. Calcula el preu final que s'ha de pagar per elles a caixa.

Després d'aplicar un augment salarial del $6\%$ pactat en el conveni, el sou net d'una treballadora és de $1643$ € mensuals. Quin era el seu sou abans que s'apliqués aquest augment?

He pagat $34$ € per un videojoc en format digital que estava rebaixat un $15\%$ durant una promoció especial. Quin era el preu original del videojoc abans del descompte?

Un capital de $4500$ € es diposita en un compte bancari que ofereix un $2,5\%$ d'interès simple anual. Determina a quant ascendiran els interessos generats al cap de $4$ anys.

En Sergio ha rebut una factura de la reparació de la seva bicicleta elèctrica per un import final de $242$ €, amb el $21\%$ d'IVA ja inclòs. Per saber quant li ha cobrat el taller per la feina abans d'impostos, en Sergio fa al seu quadern el càlcul següent:

1. a) Explica amb les teves paraules per què el raonament d'en Sergio és erroni, assenyalant sobre quina quantitat s'ha de calcular el $21\%$ d'IVA i per què restar directament aquest percentatge no anul·la la pujada original.
2. b) Escriu l'índex de variació corresponent a l'increment del $21\%$ i utilitza'l per plantejar l'operació correcta que permet calcular el preu original sense IVA.
3. c) Comprova la validesa del teu resultat calculant el $21\%$ d'IVA sobre la quantitat obtinguda i sumant-l'hi.

A diverses comunitats autònomes d'Espanya, l'abonament mensual de transport públic per a joves tenia una tarifa establerta de $20$ € al mes. Amb el paquet estatal de mesures d'estalvi energètic, el Ministeri de Transports va aprovar una rebaixa del $30\%$ i, a continuació, el govern autonòmic va aplicar un descompte addicional del $20\%$ sobre el preu ja rebaixat.

1. a) Determina l'índex de variació de cadascun dels dos descomptes i calcula l'índex de variació global resultant d'encadenar ambdues rebaixes.
2. b) Calcula el preu final que paga un estudiant pel seu abonament mensual després de l'aplicació consecutiva d'ambdós descomptes.
3. c) En un debat a classe, la Marta afirma: «Com que han abaixat un $30\%$ i després un $20\%$, la rebaixa total és del $50\%$, així que l'abonament hauria de costar exactament $10$ €». Utilitza l'índex de variació global per rebatre matemàticament l'afirmació de la Marta i calcula el percentatge de descompte únic equivalent real.

Una botiga d'electrodomèstics aplica un descompte del $20\%$ a un televisor de gamma alta el preu inicial del qual és de $650$ €. En passar per caixa, prens la teva targeta de client VIP, la qual cosa et dona un descompte addicional del $10\%$ sobre el preu ja rebaixat. Calcula el preu final que pagaràs pel televisor i determina quin és el percentatge de descompte únic equivalent a aquestes dues rebaixes succesives.

El valor d'unes accions en borsa va experimentar un augment del $15\%$ durant el mes de gener i, posteriorment, va patir una caiguda del $12\%$ durant el mes de febrer a causa de la inestabilitat del mercat. Quin ha estat el percentatge de variació total en el bimestre? Les accions han guanyat o han perdut valor respecte a principis d'any?

Si s'augmenta la longitud del costat d'un quadrat en un $25\%$, en quin percentatge augmentarà la seva àrea total respecte a l'àrea original?

Es dipositen $8000$ € en un fons d'inversió que ofereix un interès compost del $3,2\%$ anual. Calcula el capital final acumulat al cap de $5$ anys i els interessos totals generats, assumint que no es retira cap quantitat durant aquest temps.

En pesar una mostra química la massa real de la qual és de $45,60$ g, una balança de laboratori descalibrada marca $45,85$ g. Calcula l'error absolut de la mesura i l'error relatiu, expressant aquest últim en forma de percentatge arrodonit a dues xifres decimals.

En un celler es barregen $40$ litres d'un vi que té un $12\%$ de graduació alcohòlica amb $60$ litres d'un altre vi que té un $15\%$ de graduació. Quin és el percentatge d'alcohol de la barreja resultant?

Un ordinador portàtil d'última generació costa $847$ € amb el $21\%$ d'IVA ja inclòs. Si la botiga anuncia que tots els seus productes tenen un $30\%$ de descompte sobre el preu original (abans d'aplicar impostos), quin era el preu original de l'ordinador sense descompte i sense IVA?

Una població d'algues en un estany d'investigació creix a un ritme del $8\%$ diari. Si actualment la població estimada és de $50000$ individus, quants individus hi haurà al cap d'una setmana exacta (set dies)? Arrodondeix el resultat al nombre enter més pròxim.

Segons els informes del Ministeri per a la Transició Ecològica sobre l'estat hídric a Espanya, un embassament amb una capacitat màxima de $500\text{ hm}^3$ es trobava a finals d'estiu a un $30\%$ de la seva capacitat total. Durant un temporal de tardor, el volum d'aigua emmagatzemada en aquest embassament va experimentar un augment del $40\%$.

1. a) Abans de fer operacions amb decimals, fes una estimació raonada: un portaveu afirma a la premsa que, en sumar un $40\%$ al $30\%$ que ja tenia, l'embassament ha assolit el $70\%$ de la seva capacitat total. Raona mentalment per què aquesta estimació és incorrecta i estima entre quines dues desenes percentuals (per exemple, entre el $40\%$ i el $50\%$) s'ha de situar l'ocupació real després de les pluges.
2. b) Utilitzant l'índex de variació corresponent a l'increment, calcula el volum exacte d'aigua emmagatzemada (en $\text{hm}^3$) que conté l'embassament després del temporal.
3. c) Calcula quin percentatge sobre la capacitat màxima representa aquest volum final i comprova si el resultat coincideix amb la teva estimació de l'apartat a).

L'àrea d'urbanisme d'un ajuntament projecta remodelar una plaça pública quadrada per duplicar exactament la seva superfície actual enjardinada (és a dir, aconseguir un increment d'àrea del $100\%$).

1. a) Sabent que l'àrea d'un quadrat depèn del quadrat del seu costat ($A = l^2$), formula la relació matemàtica que vincula l'índex de variació de l'àrea ($I_A$) amb l'índex de variació del costat ($I_l$).
2. b) Sabent que duplicar la superfície implica que $I_A = 2$, planteja l'equació corresponent i troba el valor exacte d'$I_l$. En quin percentatge s'ha d'incrementar la longitud de cada costat de la plaça? (Arrodoneix el percentatge a les dècimes).
3. c) Un membre de la comissió municipal va proposar inicialment: «Per aconseguir el doble de superfície enjardinada, n'hi ha prou amb augmentar cada costat un $50\%$». Comprova quin percentatge d'increment de superfície s'obtindria en realitat amb aquesta proposta i explica per què no es duplica l'àrea.

Troba quants anys complets han de transcórrer perquè un capital de $12000$ € dipositat en un compte que ofereix un $4,5\%$ d'interès compost anual assoleixi o superi un valor de $18000$ €.

En el disseny d'un nou envàs cilíndric per a un refresc, el departament d'envasament decideix augmentar el radi de la base en un $20\%$ i disminuir l'altura en un $15\%$ respecte a les dimensions de l'envàs original. Quin és el percentatge exacte de variació del volum del nou envàs respecte a l'antic? Especifica si es tracta d'un augment o d'una disminució.

El preu de l'habitatge en una determinada ciutat va baixar un $6\%$ fa tres anys, va pujar un $5\%$ fa dos anys i ha tornat a pujar un $3\%$ durant l'últim any. Si actualment un pis té un valor de mercat de $185000$ €, quin era el seu preu fa tres anys abans de patir totes aquestes variacions percentuals? Arrodondeix al cèntim més proper.

Un perfumista disposa de dues essències al seu laboratori: una amb una concentració aromàtica del $15\%$ i una altra amb una concentració del $40\%$. Quants mil·lilitres de cada essència ha de barrejar per obtenir exactament $200$ ml d'un perfum amb una concentració aromàtica final del $25\%$?

Una entitat financera ofereix un dipòsit a termini fix amb un interès nominal anual (TIN) del $6\%$, però estipula que la liquidació d'interessos es realitzarà de forma mensual (els interessos generats s'acumulen al capital cada mes). Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) d'aquest dipòsit, expressada en percentatge i arrodonida a dues xifres decimals.

Demostra algebraicament que si al preu d'un producte $C$ se li aplica un augment del $p\%$ (sent $p > 0$) i, posteriorment, al nou preu obtingut se li aplica un descompte del mateix $p\%$, el preu final sempre serà estrictament menor que el preu inicial $C$.

Una furgoneta de repartiment perd cada any un $14\%$ del seu valor respecte a l'any anterior a causa de la depreciació comercial. Si al cap de $6$ anys d'ús el seu valor residual s'estima en $12500$ €, calcula quin va ser el seu preu de compra original i quin percentatge total del seu valor inicial ha perdut al llarg d'aquests $6$ anys.

Un inversor adquireix un paquet d'accions per un valor de $25000$ €. Després de mantenir la inversió durant $8$ anys, sense aportar ni retirar capital addicional, ven les accions per $38500$ €. Quina ha estat la taxa de rendibilitat anual mitjana (taxa d'interès compost anual) que ha obtingut per la seva inversió? Expressa el resultat en percentatge amb dues xifres decimals.

Un dissenyador gràfic que treballa com a autònom a Espanya adquirirà un equip informàtic pressupostat en $1500$ € (base imposable, sense impostos). El comerç li ofereix un descompte professional del $12\%$, i a la compra s'ha d'aplicar obligatòriament el $21\%$ d'IVA. En el moment d'emetre la factura, es consideren tres mètodes de càlcul:

• Mètode 1: Aplicar el descompte del $12\%$ als $1500$ € i, a la quantitat obtinguda, afegir-hi el $21\%$ d'IVA.

• Mètode 2: Aplicar el $21\%$ d'IVA als $1500$ € i, sobre l'import resultant amb impostos, aplicar el descompte del $12\%$.

• Mètode 3: Restar els percentatges directament ($21\% - 12\% = 9\%$) i aplicar un únic increment del $9\%$ sobre els $1500$ €.

1. a) Modela els Mètodes 1 i 2 emprant els índexs de variació corresponents. Justifica, aplicant les propietats del producte, si algun dels dos mètodes beneficia més el comprador o si tots dos resulten econòmicament equivalents.
2. b) Analitza algebraicament el Mètode 3 calculant el seu índex de variació i comparant-lo amb l'índex global obtingut en els mètodes anteriors. Explica l'error conceptual de restar els percentatges i calcula la diferència en euros respecte al preu correcte.
3. c) Si l'autònom ha de programar un full de càlcul per facturar als seus propis clients amb qualsevol descompte $d\,\%$ i el $21\%$ d'IVA, escriu l'expressió simplificada de l'índex de variació únic que ha de multiplicar la base imposable.

Segons dades publicades per l'Institut Nacional d'Estadística (INE), la inflació acumulada anual (IPC) a Espanya durant un trienni va registrar les variacions consecutives següents: $+6,5\%$ el primer any, $+5,7\%$ el segon any i $+3,1\%$ el tercer any. Durant aquest mateix període de tres anys, el conveni laboral d'una treballadora va estipular un increment salarial fix del $2,5\%$ cada any.

1. a) Calcula l'índex de variació compost del cost de la vida (IPC) després dels tres anys i determina el percentatge de pujada total acumulada dels preus (arrodoneix a les centèsimes de percentatge).
2. b) Calcula l'índex de variació acumulat del salari de la treballadora al final dels tres anys i troba el seu increment salarial percentual total.
3. c) El poder adquisitiu quantifica la capacitat de compra real en funció dels ingressos i els preus. El seu índex de variació es calcula mitjançant el quocient entre l'índex salarial i l'índex de l'IPC: $I_{\text{adquisitiu}} = \frac{I_{\text{salari}}}{I_{\text{IPC}}}$. Calcula aquest índex, determina la variació percentual del poder adquisitiu de la treballadora al final del trienni i interpreta quina repercussió real té sobre la seva economia familiar.
4. d) Si el salari net mensual de partida d'aquesta treballadora era de $1600$ €, quant guanya al final del tercer any i quin sou hauria de cobrar per mantenir exactament el mateix poder adquisitiu que tenia a l'inici?