Exercicis: Problemes de mòbils

Un guèpard corre a una velocitat constant de $108$ km/h perseguint la seva presa. Quants segons trigarà a recórrer una distància de $300$ m?

Un tren AVE viatja a una velocitat mitjana de $280$ km/h. Si el viatge des de l'origen fins a la destinació dura exactament $2$ hores i $15$ minuts, quina distància total ha recorregut el tren?

Dos ciclistes surten al mateix temps des de dues ciutats separades per $90$ km, desplaçant-se per la mateixa carretera i acostant-se l'un a l'altre. El primer ciclista viatja a $20$ km/h i el segon a $25$ km/h. Quant de temps trigaran a creuar-se?

Dues estacions de tren, A i B, estan connectades per una via recta de $450$ km. Un tren surt de A cap a B a $120$ km/h i, simultàniament, un altre tren surt de B cap a A a $80$ km/h. A quina distància de l'estació A es trobaran?

Un cotxe surt d'una ciutat a una velocitat constant de $90$ km/h. Mitja hora més tard, surt en la seva persecució una motocicleta per la mateixa carretera a $120$ km/h. Quant de temps trigarà la motocicleta a atrapar el cotxe?

Un repartidor de paquets surt del magatzem conduint a $100$ km/h. Quan s'adona que ha oblidat un paquet urgent, un company surt en la seva persecució des del mateix magatzem $15$ minuts després, circulant a $120$ km/h. A quina distància del magatzem l'atraparà?

Dos avions surten del mateix aeroport al mateix temps, però volant en sentits diametralment oposats. Un vola a $800$ km/h i l'altre a $950$ km/h. Quina distància els separarà al cap de $2,5$ hores de vol?

Una furgoneta de repartiment recórrer $150$ km en $2$ hores, fa una pausa obligatòria de $30$ minuts, i després recórrer altres $120$ km en $1,5$ hores. Quina ha estat la seva velocitat mitjana en tot el trajecte (incloent-hi la pausa)?

La Lucía fa en cotxe un viatge d'anada i tornada entre Sevilla i Còrdova per l'autovia A-4, cobrint una distància de $140\text{ km}$ en cada trajecte. A l'anada, a causa d'una boira densa i trànsit lent, manté una velocitat mitjana de $70\text{ km/h}$. A la tornada, amb la calçada completament buida, circula a una velocitat mitjana constant de $140\text{ km/h}$. Per calcular la seva velocitat mitjana en la totalitat del viatge ($280\text{ km}$), la Lucía fa l'operació següent: $\frac{70 + 140}{2} = 105\text{ km/h}$.

1. a) Explica raonadament per què el càlcul de la Lucía és incorrecte sense limitar-te a dir que «aquesta no és la fórmula» (pensa en quant de temps passa a cadascuna de les dues velocitats durant el viatge).
2. b) Calcula el temps exacte que va trigar en el trajecte d'anada i en el de tornada, i obtén a partir d'aquests la veritable velocitat mitjana del viatge complet.
3. c) Per què la velocitat mitjana real està més propera a $70\text{ km/h}$ que a $140\text{ km/h}$?

Creuaràs Madrid utilitzant el servei públic de bicicletes elèctriques BiciMAD des de Plaza de Castilla fins a l'estació d'Atocha per l'eix Castellana-Recoletos-Prado, cosa que suposa una distància aproximada de $6\text{ km}$. Les bicicletes disposen d'assistència al pedaleig que permet mantenir una velocitat mitjana de $15\text{ km/h}$.

1. a) Abans de fer cap càlcul amb fórmules, fes una estimació intuïtiva: trigaràs més o menys de mitja hora a completar el recorregut? Justifica la teva deducció relacionant mentalment els $6\text{ km}$ amb la distància que recorreries en $60\text{ minuts}$.
2. b) Aplica la fórmula del moviment uniforme per calcular el temps exacte en hores i converteix-lo a minuts.
3. c) Comprova si el resultat exacte concorda amb la teva estimació inicial i valora si aquest temps obtingut és competitiu en comparació de fer el mateix trajecte en autobús urbà en hora punta.

Un camió de repartiment surt de Madrid cap a Barcelona a les 08:00 h a una velocitat constant de $90$ km/h. A les 09:30 h, surt una furgoneta des de Barcelona cap a Madrid a $150$ km/h. Si la distància per carretera entre totes dues ciutats és de $615$ km, a quina hora exacta es creuaran?

Un corredor de marató avança a un ritme constant de $15$ km/h. Un ciclista de suport que va en la mateixa direcció a $25$ km/h es troba $4$ km per darrera del corredor. En quants minuts aconseguirà el ciclista atrapar el corredor?

Un vaixell a motor té una velocitat de $22$ km/h en aigües tranquil·les. Si navega per un riu la corrent del qual baixa a $4$ km/h, quant de temps total invertirà a fer un viatge continu d'anada i tornada entre dos ports separats per $117$ km?

Un excursionista puja al cim d'una muntanya a una velocitat de $4$ km/h i baixa pel mateix camí a $6$ km/h. Si en total ha invertit $5$ hores de marxa en l'excursió (sense comptar els descansos al cim), quina és la distància des de la base fins al cim?

Durant una tempesta forta d'estiu, observes el flaix d'un llamp i $8$ segons després sents el tro. Sabent que la velocitat de la llum és d'aproximadament $300\,000$ km/s i la del so en l'aire és de $340$ m/s, a quina distància aproximada en quilòmetres es va produir el raig?

Dos vaixells surten d'un mateix port al mateix temps. El vaixell A navega en línia recta cap al nord a una velocitat de $18$ nusos, i el vaixell B navega cap a l'est a $24$ nusos. Quina distància, en milles nàutiques, els separarà al cap de $3$ hores de travessia? (Nota: $1$ nus equival a $1$ milla nàutica per hora).

Un conductor fa un viatge interurbà de $300$ km. La primera meitat del trajecte la condueix a una velocitat constant de $120$ km/h per autopista, i la segona meitat a $80$ km/h per carretera nacional. Quina ha estat la seva velocitat mitjana en el viatge complet?

Un tren d'alta velocitat que mesura $200$ m de longitud viatja a $252$ km/h. Quants segons trigarà a travessar completament un túnel de $1,2$ km de llargada? (Es considera que ha travessat el túnel des del moment en què la locomotora hi entra fins al moment en què l'últim vagó en surt).

Dos cicloturistes, el Mario i la Rocío, recorren la Vía Verde de la Sierra (Cádiz-Sevilla), que té una longitud total de $36\text{ km}$. A les $10:00\text{ h}$, surten al mateix temps l'un cap a l'altre des dels extrems oposats de la ruta. El Mario pedala a una velocitat constant d' $11\text{ km/h}$ i la Rocío a $13\text{ km/h}$. Per calcular a quina hora i a quina distància del punt de sortida del Mario es creuaran, es proposen dos procediments:

• Mètode A (Aritmètic / velocitat d'aproximació): Sumar les seves velocitats per calcular a quin ritme conjunt disminueix la distància entre tots dos ($11 + 13 = 24\text{ km/h}$) i dividir la distància total entre aquesta suma.

• Mètode B (Algebraic): Plantejar una equació de primer grau sumant les distàncies recorregudes per cadascun i igualant-la a la distància total: $e_1 + e_2 = 36$, és a dir, $11 \cdot t + 13 \cdot t = 36$.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes i comprova que arribes a la mateixa hora exacta de trobada.
2. b) Explica per què tots dos mètodes són matemàticament equivalents.
3. c) Imagina que la Rocío té una punxada abans de sortir i parteix $30\text{ minuts}$ més tard que el Mario. Justifica quin dels dos mètodes resulta més segur i directe per adaptar el càlcul a aquesta nova situació sense confondre't amb les dades.

Durant el tradicional Descenso del Sella (Astúries), l'aigua del riu flueix de manera contínua amb una velocitat de corrent de $3\text{ km/h}$. Una piragüista fa un entrenament en un tram de $12\text{ km}$ entre Arriondas i una meta intermèdia.

1. a) Baixant a favor del corrent (riu avall), completa el tram de $12\text{ km}$ en exactament $1\text{ hora}$. Modela la velocitat efectiva de descens en funció de la velocitat pròpia de remada de l'esportista ($v_p$) i calcula a quina velocitat avançaria si remés en un embassament d'aigües tranquil·les.
2. b) Si a continuació decideix tornar riu amunt (en contra del corrent) recorrent els mateixos $12\text{ km}$ amb aquest mateix ritme propi de remada, calcula quant de temps trigarà a completar el retorn.
3. c) Si a causa d'unes pluges fortes la velocitat del corrent augmentés temporalment a $9\text{ km/h}$, què passaria físicament en intentar remuntar el riu amunt amb el seu ritme habitual? Raona la teva resposta a partir de les dades.

En una pista circular d'atletisme de $400$ m de longitud, dos corredors surten del mateix punt al mateix temps. El corredor A corre a $6$ m/s i el corredor B a $8$ m/s. Calcula quant de temps trigaran a trobar-se per primera vegada si corren en sentits oposats, i quant de temps trigaran a trobar-se si corren en el mateix sentit.

Un remador professional triga $2$ hores a recórrer $12$ km riu amunt remant contra corrent i $1$ hora a recórrer la mateixa distància riu avall a favor del corrent. Planteja un sistema d'equacions per determinar la velocitat de la barca en aigües tranquil·les i la velocitat del corrent del riu.

Un vehicle A surt d'una ciutat a una velocitat de $v$ km/h. Un temps de $h$ hores després, un vehicle B surt en la seva persecució des del mateix punt a una velocitat de $v + k$ km/h. Expressa algebraicament el temps que triga el vehicle B a atrapar el vehicle A en funció dels paràmetres $v$, $h$ i $k$.

Dues ciutats A i B estan separades per $300$ km. Un cotxe surt de A cap a B a $100$ km/h i un altre cotxe surt de B cap a A a $80$ km/h exactament al mateix temps. En quins dos instants de temps la distància que els separa serà exactament de $30$ km?

En un aeroport, una cinta transportadora horitzontal de $120$ m de longitud es mou a $1$ m/s. Una persona camina sobre la cinta a una velocitat constant $v$ respecte a la mateixa cinta. Si triga $40$ segons a recórrer la cinta caminant a favor del moviment, quant trigaria a recórrer-la caminant en sentit contrari al moviment de la cinta?

Una cavalcada de $3$ km de longitud avança per una avinguda a una velocitat constant de $5$ km/h. Un fotògraf en bicicleta surt del final del festeig, avança fins al capdavant per fer unes fotos i torna immediatament al final. Si la velocitat de la bicicleta és de $15$ km/h, quina distància total ha recorregut el fotògraf respecte a terra?

En una cursa de relleus de $100$ km per etapes de muntanya, el primer rellevista corre a $12$ km/h i li lliura el testimoni al segon rellevista, que corre a $16$ km/h fins a arribar a la meta. Si el temps total de la cursa ha estat de $7$ hores ininterrompudes, quina distància en quilòmetres va recórrer cadascun dels dos rellevistes?

Dos mòbils es desplacen a velocitat constant sobre un circuit. Si es mouen en la mateixa direcció i sentit, el més ràpid atrapa el més lent cada $20$ segons. Si es mouen en sentits oposats, es creuen cada $4$ segons. Sabent que la pista és circular i mesura $100$ m, calcula la velocitat en m/s de cadascun dels mòbils.

A la sala tècnica de supervisió d'Adif es monitora l'encreuament de dos trens que circulen per una línia ferroviària de $450\text{ km}$ entre Zaragoza i Madrid. El sistema informàtic de control planteja l'equació següent per determinar el moment de l'encreuament:

$v \cdot 2 + (v + 25) \cdot 2 = 450$

1. a) Interpreta matemàticament cadascun dels elements de l'equació i redacta un enunciat de problema coherent i complet que doni lloc exactament a aquesta expressió (has de definir amb claredat quina magnitud representa la incògnita $v$, què significa el terme $(v + 25)$, què representa el nombre $2$ i què significa la suma igualada a $450$).
2. b) Resol l'equació, calcula la velocitat mitjana de cadascun dels dos trens i troba a quina distància de Zaragoza es produeix la trobada si el tren que viatja a velocitat $v$ va sortir d'aquesta ciutat.
3. c) Modifica l'equació original per representar una situació diferent: tots dos trens mantenen les velocitats calculades, però el segon tren s'endarrereix i surt $20\text{ minuts}$ després que el primer.

La Dirección General de Tráfico (DGT) té instal·lat un radar de tram a l'autovia AP-6 a la sierra de Guadarrama. El tram vigilat fa exactament $8\text{ km}$ i la velocitat màxima legal permesa és de $100\text{ km/h}$. Un vehicle accedeix a aquest tram a les $15:00:00\text{ h}$ i recorre els primers $5\text{ km}$ a una velocitat constant de $125\text{ km/h}$. En aquest punt, el conductor s'adona de la presència del control i immediatament redueix la velocitat, mantenint-la constant durant els $3\text{ km}$ restants.

1. a) Determina el temps mínim que exigeix la llei per recórrer els $8\text{ km}$ complets del tram sense ser sancionat (expressa'l en minuts i segons) i calcula quant de temps ha consumit ja el conductor en els primers $5\text{ km}$.
2. b) Modela i calcula quina és la velocitat màxima constant a la qual pot recórrer els $3\text{ km}$ restants perquè la velocitat mitjana en tot el tram no superi els $100\text{ km/h}$. En tindria prou reduint la velocitat exactament a $100\text{ km/h}$? Raona la teva resposta.
3. c) Si durant aquests últims $3\text{ km}$ circula a $75\text{ km/h}$, a quina hora exacta (hores, minuts i segons) enregistrarà la càmera de sortida el seu pas? Conclou, comparant els temps, si rebrà o no sanció.