Exercicis: L'interès

Calcula l'interès simple que generen $4500$ € al $3,5\%$ anual durant $4$ anys.

Un agricultor demana un préstec de $12000$ € al $5\%$ d'interès simple anual per comprar maquinària nova. Si torna els diners en un pagament únic als $18$ mesos, quant pagarà en concepte d'interessos?

Es dipositen $8000$ € en un producte bancari a un interès compost del $2,5\%$ anual. Quin serà el capital final al cap de $5$ anys si no es retiren els interessos generats?

Quin capital inicial s'ha d'invertir al $4\%$ d'interès simple anual per obtenir $600$ € de benefici al cap de $3$ anys?

Una acadèmia d'idiomes inverteix $6500$ € a interès simple durant $2$ anys i obté un benefici total de $455$ €. A quin tipus d'interès anual es va realitzar la inversió?

Una família finança la instal·lació de panells solars per $15000$ € a un interès compost del $4\%$ anual durant $3$ anys. Quina quantitat total hauran de retornar en finalitzar el període?

Calcula el capital final que s'obté en invertir $2500$ € a un interès compost del $1,8\%$ anual durant $6$ anys.

Si inverteixes $1000$ € al $5\%$ anual durant exactament $1$ any, hi ha alguna diferència en el capital final obtingut si l'interès aplicat és simple o si és compost? Justifica la teva resposta matemàticament.

En Mateo vol calcular els interessos que produirà una imposició a termini fix de $2400$ € al $3\%$ d'interès simple anual durant un període de $8$ mesos. Al seu examen escriu el següent:

I conclou que guanyarà $576$ € en aquests $8$ mesos.

1. a) Explica raonadament per què el resultat d'en Mateo no té sentit financer ni lògic, estimant quant guanyaria en un any complet.
2. b) Assenyala quin és l'error matemàtic concret que ha comès en l'aplicació de la fórmula.
3. c) Corregeix el procediment i calcula la quantitat exacta d'interessos que en Mateo obtindrà en finalitzar els $8$ mesos.

Segons les estimacions del sector d'automoció a Espanya (associacions GANVAM i DGT), un turisme perd de mitjana un $16\%$ del seu valor cada any per depreciació i desgast. Una empresa adquireix una furgoneta nova de repartiment per un preu de $20\,000$ €.

1. a) Abans de calcular amb la fórmula, estima de manera justificada si després de $3$ anys el vehicle valdrà més o menys de la meitat del seu preu original ($10\,000$ €).
2. b) Modela l'evolució del valor del vehicle mitjançant la fórmula de depreciació anual i calcula el seu valor exacte al cap dels $3$ anys.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació inicial i justifica per què la depreciació acumulada en $3$ anys no equival a restar tres vegades el $16\%$ (és a dir, el $48\%$ de $20\,000$ €).

Compara el creixement d'una inversió de $5000$ € al $6\%$ d'interès simple enfront del $6\%$ d'interès compost durant $10$ anys. Observa la gràfica adjunta que mostra l'evolució de totes dues inversions i determina, calculant els valors numèrics, quina serà la diferència exacta de capital entre totes dues al final del període.

Una empresa de transports va dipositar $48000$ € a un interès simple del $3,2\%$ anual i va obtenir uns interessos totals de $5376$ €. Quants mesos van estar invertits els diners al banc?

Un estudiant universitari vol tenir $15000$ € d'aquí a $4$ anys per fer un màster a l'estranger. Si el seu banc li ofereix un dipòsit a interès compost del $2,2\%$ anual, quants diners ha d'ingressar avui per aconseguir el seu objectiu?

S'inverteixen $10000$ € a un interès compost del $4,8\%$ anual, però amb períodes de capitalització mensual. Quin serà el capital final al cap de $3$ anys?

Una furgoneta de repartiment costa nova $24000$ €. Per l'ús i el pas del temps, s'estima que el seu valor es deprecia a un ritme del $12\%$ anual acumulatiu. Quin serà el seu valor estimat al cap de $5$ anys?

En invertir $6000$ € a interès compost durant $4$ anys, s'ha obtingut un capital final de $6753,05$ €. Quin ha estat el tipus d'interès anual aplicat a l'operació?

Un banc ofereix un dipòsit al $3\%$ d'interès nominal anual amb liquidació d'interessos de forma trimestral. Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) corresponent a aquest dipòsit.

Una estudiant decideix invertir els $2000$ € que ha estalviat amb la seva primera feina d'estiu i els divideix en dues parts iguals. La primera meitat la diposita en un compte jove al $4\%$ d'interès simple anual i la segona meitat en un dipòsit al $3,5\%$ d'interès compost anual. Quina meitat li haurà reportat més beneficis al cap de $8$ anys?

Una família disposa de $6000$ € d'estalvis que no necessitarà durant els propers $3$ anys i compara dues opcions oferides al mercat bancari espanyol sense despeses de manteniment:

• Opció A (Dipòsit a interès simple): Tipus fix del $3,2\%$ anual, liquidant la totalitat dels interessos en finalitzar els $3$ anys.

• Opció B (Compte amb capitalització trimestral): Tipus d'interès nominal (TIN) del $3\%$ anual, els interessos del qual s'acumulen i es reinverteixen cada trimestre.

1. a) Modela el capital final acumulat que s'obtindria amb cada opció en acabar els $3$ anys.
2. b) Compara els dos resultats i tria raonadament el mètode més convenient econòmicament.
3. c) Sovint s'assumeix que l'interès compost sempre supera l'interès simple. Explica per què en aquesta situació concreta passa el contrari, analitzant la diferència de rèdits respecte a la capitalització trimestral.

Un inversor va col·locar un capital inicial $C$ en un fons a interès compost anual durant $4$ anys. Al final d'aquest temps, l'extracte bancari reflecteix que el capital final representa un increment total acumulat del $21,55\%$ respecte a la quantitat invertida a l'inici.

1. a) Escriu l'equació que relaciona el rèdit anual $r$ amb aquest augment acumulat després dels $4$ anys i justifica per què no cal conèixer el valor numèric del capital inicial $C$ per plantejar-la.
2. b) Comprova de manera justificada quin dels següents rèdits enters anuals és la solució exacta de la teva equació: $r = 3\%$, $r = 4\%$ o $r = 5\%$.
3. c) Si la inversió s'hagués contractat a interès simple durant els mateixos $4$ anys obtenint exactament aquest mateix $21,55\%$ de guany total, el rèdit anual hauria d'haver estat més gran o més petit que el trobat a l'apartat anterior? Justifica-ho conceptualment sense fer càlculs llargs.

Dos germans guanyen un premi de $50000$ € en un concurs d'innovació i se'l reparteixen. El gran inverteix la seva part al $3\%$ d'interès compost anual, i el petit inverteix la seva al $4\%$ d'interès compost anual. Al cap de $5$ anys, tots dos tenen exactament el mateix capital final. Planteja el sistema d'equacions corresponent i calcula quant va rebre cadascun inicialment.

Una jove disposa de $12000$ € que ha anat estalviant amb les seves primeres feines. Col·loca una part en un dipòsit al $5\%$ d'interès simple anual i la resta en un compte d'estalvi al $4\%$ d'interès simple anual. Al cap de $3$ anys, els interessos totals generats per tots dos productes sumen $1680$ €. Quina quantitat va dipositar en cadascun?

El valor d'un equip informàtic es deprecia de forma contínua i percentual. Si als $2$ anys de la seva compra el seu valor és de $1280$ € i als $4$ anys és de $819,20$ €, assumint una taxa de depreciació anual constant, calcula el preu original de l'equip i el percentatge de depreciació que pateix cada any.

Un banc A ofereix un dipòsit al $4,5\%$ d'interès nominal anual amb capitalització mensual. Un banc B ofereix un dipòsit amb capitalització anual. Quin tipus d'interès nominal anual ha d'oferir el banc B perquè la Taxa Anual Equivalent (TAE) de les dues ofertes sigui exactament la mateixa?

Una persona inverteix $5000$ € a un interès compost del $3\%$ anual. Tanmateix, la inflació mitjana anual durant aquest període és del $2\%$, la qual cosa significa que el poder adquisitiu dels diners disminueix acumulativament. Calcula el capital final nominal al cap de $10$ anys i, a continuació, determina quin és el seu valor real (poder adquisitiu equivalent al de l'any inicial).

Un estalviador disposa de $18\,000$ € i analitza dues alternatives d'inversió a Espanya a un termini tancat de $5$ anys:

• Alternativa 1 (Plaça de garatge): Compra una plaça de garatge per $18\,000$ € i la lloga per $95$ € al mes durant els $5$ anys complets (les rendes mensuals es van guardant sense generar nous interessos). A més, s'estima que el valor de l'immoble pujarà a una taxa de revalorització composta del $2\%$ anual.

• Alternativa 2 (Bons de l'Estat): Inverteix els $18\,000$ € en deute públic a un tipus d'interès compost anual del $3,4\%$ a $5$ anys, reinvertint els rendiments cada any.

1. a) Modela i calcula el capital total acumulat després dels $5$ anys amb l'Alternativa 1 (sumant el valor final estimat de venda de la plaça i la totalitat dels lloguers cobrats).
2. b) Modela i calcula el capital final obtingut al cap dels $5$ anys amb l'Alternativa 2.
3. c) Determina quina opció resulta financerament més rentable i interpreta quins factors de la realitat (com ara mesos sense llogar, despeses de comunitat o impostos) podrien alterar la decisió final.

Una persona reparteix un capital de $30\,000$ € en dos productes bancaris diferents, $C_1$ i $C_2$, durant un període de $4$ anys:

• La quantitat $C_1$ es diposita al $4\%$ d'interès simple anual.

• La quantitat restant, $C_2$, es col·loca al $3,5\%$ d'interès compost anual amb períodes de capitalització anuals.

Al cap dels $4$ anys, ambdues imposicions han produït exactament el mateix import d'interessos guanyats ($I_1 = I_2$).

1. a) Abans de fer càlculs algebraics, estima de manera raonada quin dels dos capitals inicials ($C_1$ o $C_2$) ha de ser més gran perquè els beneficis finals s'aconsegueixin igualar, comparant el rendiment relatiu de cada model.
2. b) Planteja una equació amb una sola incògnita (en funció de $C_1$) que modeli la igualtat dels interessos percebuts per ambdues inversions i resol-la per trobar la quantia exacta destinada a cada producte.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era correcta i calcula el guany total conjunt que han generat els $30\,000$ € en finalitzar els $4$ anys.