Exercicis: El principi d'Arquimedes: l'empenta

Enuncia amb les teves paraules el principi d'Arquimedes: què és l'empenta, en quina direcció i sentit actua i a què és igual el seu valor.

Quan et fiques a la piscina tens la sensació de pesar menys, com si l'aigua et sostingués. Quina força apareix en submergir-te? Qui l'exerceix i cap a on empeny?

Un cub submergit del tot en aigua desallotja un volum de $0,002\ \text{m}^3$ (uns $2\ \text{L}$), com es mostra a la figura.

Calcula l'empenta que rep utilitzant $E = d\cdot V\cdot g$. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

Sobre la taula tens un tap de suro ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) i una femella de ferro ($d = 7\,870\ \text{kg/m}^3$). Sense fer càlculs, prediu quin flotarà i quin s'enfonsarà en aigua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) i explica el criteri que has utilitzat.

Un vaixell d'acer de milers de tones flota, però una petita bola d'acer s'enfonsa fins al fons. Si tots dos són del mateix material, explica què fa flotar el vaixell (pensa en la seva forma buida i en la seva densitat mitjana).

Dues ampolles idèntiques plenes de sorra es submergeixen completament en aigua, l'una a $1\ \text{m}$ de profunditat i l'altra a $5\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

Rep l'una més empenta que l'altra? Justifica-ho fixant-te en les magnituds de les quals depèn l'empenta.

Els glaçons de gel floten al got d'aigua. Sabent que la densitat del gel és d'uns $900\ \text{kg/m}^3$, explica per què floten i escriu la condició que ha de complir la densitat d'un cos perquè floti en un líquid.

Un globus aerostàtic ascendeix quan el cremador escalfa l'aire del seu interior. Explica què li passa a la densitat de l'aire en escalfar-se i per què l'empenta de l'aire fred exterior acaba aixecant el globus.

Un bloc de $3\ \text{kg}$ té un volum de $0,004\ \text{m}^3$ i es submergeix completament en aigua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), com es mostra a la figura. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes.
2. b) Calcula l'empenta que rep.
3. c) Flota o s'enfonsa? Indica quina força neta actua sobre ell i cap a on.

Una pedra de $5\ \text{kg}$ i $0,001\ \text{m}^3$ de volum penja d'un dinamòmetre i es submergeix completament en aigua, com es mostra a la figura. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes real.
2. b) Calcula l'empenta de l'aigua.
3. c) Quin valor marca el dinamòmetre amb la pedra submergida? Explica per què aquest «pes aparent» és menor.

Una peça metàl·lica de $2\ \text{kg}$ té un volum de $0,0005\ \text{m}^3$ ($0,5\ \text{L}$). Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes.
2. b) Calcula l'empenta que rep si es submergeix completament en aigua.
3. c) Flota o s'enfonsa? Calcula a més la seva densitat i compara-la amb la de l'aigua per confirmar la teva resposta.

Un tronc de $0,01\ \text{m}^3$ es submergeix completament, primer en un llac i després al mar. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula l'empenta que rep al llac ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$).
2. b) Calcula l'empenta que rep al mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$).
3. c) Amb aquests resultats, explica per què els banyistes floten «més alt» al mar que en una piscina.

Un bloc de fusta de $6\ \text{kg}$ flota en equilibri sobre l'aigua d'una piscina ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), com es mostra a la figura. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Si flota en equilibri, quant val l'empenta que rep? Justifica-ho.
2. b) Calcula el volum d'aigua que desallotja, és a dir, el seu volum submergit. Expressa-lo en $\text{m}^3$ i en litres.

Un glaçó de gel ($d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$) flota en un got d'aigua ($d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), com es mostra a la figura.

1. a) En equilibri, el pes del gel iguala l'empenta: $d_{hielo}\cdot V\cdot g = d_{agua}\cdot V_{sum}\cdot g$. Simplifica l'expressió i aïlla la fracció submergida $\frac{V_{sum}}{V}$.
2. b) Calcula quin percentatge del glaçó queda sota l'aigua i quin percentatge sobresurt.
3. c) Relaciona el resultat amb l'expressió «això és només la punta de l'iceberg».

Un objecte pesa $12\ \text{N}$ a l'aire i, en submergir-lo completament en aigua, el dinamòmetre marca $8\ \text{N}$. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Quant val l'empenta que rep?
2. b) Calcula el volum de l'objecte.
3. c) Amb el seu pes real i el seu volum, calcula la seva densitat en $\text{kg/m}^3$.

Un ou de $60\ \text{g}$ té un volum de $55\ \text{cm}^3$. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes en newtons (compte amb les unitats).
2. b) Calcula l'empenta que rep en submergir-lo del tot en aigua de l'aixeta ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) i dedueix si flota o s'enfonsa.
3. c) En dissoldre molta sal, l'aigua aconsegueix una densitat de $1\,200\ \text{kg/m}^3$: calcula la nova empenta i explica per què ara l'ou flota.

Un iot de $4\,000\ \text{kg}$ flota al mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$). Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes i raona quant val l'empenta que rep en flotar en equilibri.
2. b) Calcula el volum submergit del casc.
3. c) El iot entra en un riu d'aigua dolça ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$): calcula el nou volum submergit i explica si el vaixell navega més alt o més baix a l'aigua.

Un iceberg de $10\,000\ \text{m}^3$ flota al mar. Dades: $d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$, $d_{mar} = 1\,025\ \text{kg/m}^3$.

1. a) Calcula quina fracció del seu volum queda submergida (recorda: en equilibri, $\frac{V_{sum}}{V} = \frac{d_{hielo}}{d_{mar}}$).
2. b) Quin volum de l'iceberg sobresurt de l'aigua?
3. c) Amb aquests resultats, explica per què els icebergs són tan perillosos per a la navegació encara que la part visible sembli petita.

Un submarí de $800\ \text{t}$ ($800\,000\ \text{kg}$) navega totalment submergit, en equilibri, al mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$), com es mostra a la figura. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Quant val l'empenta que rep? Justifica-ho a partir de la condició d'equilibri.
2. b) Calcula el volum d'aigua que desplaça, és a dir, el volum del submarí.
3. c) Per emergir, el submarí expulsa l'aigua de mar dels seus tancs de llast i la substitueix per aire: explica quina magnitud canvia, si el pes o l'empenta, i per què això el fa pujar.

Un globus aerostàtic té un volum de $2\,000\ \text{m}^3$, com es mostra a la figura. L'aire exterior té una densitat de $1,2\ \text{kg/m}^3$ i l'aire calent de l'interior, de $1,0\ \text{kg/m}^3$. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula l'empenta que exerceix l'aire exterior sobre el globus.
2. b) Calcula el pes de l'aire calent que omple el globus.
3. c) La diferència entre tots dos és la força disponible per aixecar l'embolcall, la cistella i els passatgers: quina massa màxima poden tenir en conjunt perquè el globus ascendeixi?

Una corona de $1\ \text{kg}$ hauria de ser d'or pur ($d_{oro} = 19\,300\ \text{kg/m}^3$). La peses submergida en aigua i el dinamòmetre marca $9,2\ \text{N}$. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Quin volum ocuparia la corona si fos d'or pur? Expressa'l en $\text{cm}^3$.
2. b) A partir de la lectura del dinamòmetre, calcula l'empenta real i el volum real de la corona.
3. c) Calcula la densitat real de la corona i decideix si és d'or pur o està aliada amb un metall menys dens, com sospitava Arquimedes.

Un rai de suro ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) té un volum de $0,5\ \text{m}^3$ i flota en aigua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$). Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Quina fracció del rai queda submergida quan flota sol?
2. b) Calcula l'empenta màxima que pot proporcionar el rai, és a dir, estant totalment submergit.
3. c) Calcula el pes del mateix rai i dedueix quina massa màxima pot carregar a sobre sense enfonsar-se del tot.

Un globus de festa conté $5\ \text{L}$ d'heli ($0,005\ \text{m}^3$). Dades: $d_{aire} = 1,2\ \text{kg/m}^3$, $d_{helio} = 0,18\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula l'empenta que exerceix l'aire sobre el globus.
2. b) Calcula el pes de l'heli que l'omple.
3. c) L'embolcall del globus té una massa de $3\ \text{g}$: quina massa extra (cinta, guarniments) pot portar com a màxim per continuar ascendint?
4. d) Explica per què el globus deixa de pujar en assolir una certa alçària (pensa com canvia la densitat de l'aire amb l'altitud).

Una persona de $70\ \text{kg}$ flota en equilibri, primer en una piscina ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) i després al mar Mort ($d = 1\,240\ \text{kg/m}^3$).

1. a) Escriu la condició d'equilibri $P = E$ amb la massa de la persona i el volum submergit, i comprova que, en simplificar, s'obté $V_{sum} = \frac{m}{d}$: ni tan sols cal conèixer $g$.
2. b) Calcula el volum submergit a la piscina i expressa'l en litres.
3. c) Calcula el volum submergit al mar Mort i explica, comparant els dos resultats, per què allà es flota «com un suro» i és gairebé impossible enfonsar-se.