Exercicis: Translacions

Observa la quadrícula, en la qual cada costat d'un quadradet mesura una unitat, i determina les components del vector de translació $\vec{u}$ que permet moure el punt $P$ fins a la posició del punt $P'$.

Atès el segment d'extrems $A(-3, 1)$ i $B(1, 2)$, calcula les coordenades del segment transformat $A'B'$ després d'aplicar-li una translació de vector $\vec{v} = (4, 3)$. Representa tots dos segments en uns eixos de coordenades.

En un videojoc, un personatge és al punt $C(5, -2)$. El jugador prem una combinació de tecles que equival a una translació. Si el personatge apareix de sobte al punt $C'(1, 3)$, quin és el vector de translació $\vec{w}$ que ha actuat?

Aplica una translació de vector $\vec{v} = (6, 2)$ al triangle de vèrtexs $V_1(0, 0)$, $V_2(2, 0)$ i $V_3(1, 3)$.

1. Escriu les coordenades dels nous vèrtexs.

2. Com és l'àrea del nou triangle respecte a l'original? Raona la teva resposta.

Identifica quina de les opcions següents descriu correctament una translació:

1. a) Girar una clau en un pany.
2. b) El moviment d'un calaix en obrir-lo.
3. c) El reflex d'una muntanya en un llac.
4. d) El moviment de les agulles d'un rellotge.

Un objecte pateix dues translacions consecutives. La primera està definida pel vector $\vec{u} = (2, 5)$ i la segona pel vector $\vec{v} = (3, -1)$. Quin és el vector de la translació única que equival a realitzar les dues anteriors segotides?

Si traslladem el punt $Q$ mitjançant el vector $\vec{v} = (-4, 7)$ obtenim el punt $Q'(0, 2)$. Quines eren les coordenades del punt original $Q$ abans de la translació?

En una aplicació de disseny gràfic, un adolescent està creant un logotip. Ha dibuixat un triangle amb vèrtexs a $P(2, -1)$, $Q(5, 0)$ i $R(3, 4)$. Per completar el disseny, necessita traslladar el triangle de manera que el vèrtex $P$ es situï a l'origen de coordenades $O(0, 0)$.

1. a) Indica les components del vector de translació $\vec{v}$ que ha d'aplicar.
2. b) Calcula les noves coordenades dels vèrtexs $Q'$ i $R'$ després d'aplicar aquesta translació.

Considera el quadrilàter $ABCD$ els vèrtexs del qual són $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 3)$ i $D(2, 3)$, representat a la figura.

1. a) Aplica al quadrilàter una translació de vector $\vec{t} = (3, -4)$ i escriu les coordenades dels vèrtexs de la figura imatge $A'B'C'D'$.
2. b) Calcula l'àrea del quadrilàter original i comprova si la translació n'ha modificat el valor. Justifica la teva resposta basant-te en les propietats de les isometries.

Un robot de magatzem es mou pel terra de la nau seguint una trajectòria rectilínia. El tècnic ha definit el seu moviment mitjançant la composició de tres translacions successives:

1. $\vec{v_1} = (5, -2)$

2. $\vec{v_2} = (-3, 7)$

3. $\vec{v_3} = (a, b)$

Si el robot comença en el punt $(0, 0)$ i després dels tres moviments acaba en el punt $(4, 4)$, quines han de ser les components del tercer vector $\vec{v_3}$?

Donada la circumferència de centre $C(3, -2)$ i radi $r = 4$ unitats:

1. a) Troba l'equació o les coordenades del centre $C'$ de la circumferència traslladada segons el vector $\vec{u} = (-5, 6)$.
2. b) Quin és el radi de la nova circumferència?
3. c) Si un punt $P(7, -2)$ pertany a la circumferència original, calcula les coordenades del seu punt homòleg $P'$ després de la translació.

En el pla cartesià, tenim una recta $s$ que passa pels punts $A(0, 2)$ i $B(2, 6)$. Apliquem a aquesta recta una translació de vector $\vec{v} = (1, 3)$.

1. a) Calcula les coordenades dels punts transformats $A'$ i $B'$.
2. b) Troba el pendent de la recta original $s$ i de la recta traslladada $s'$. Quina relació observes entre elles?
3. c) Hi ha vectors de translació que deixin la recta $s$ invariant (és a dir, que la recta transformada coincideixi amb l'original)? Posa un exemple d'un d'aquests vectors.

Es diu que dues translacions són inverses si, en aplicar-les una després de l'altra, el punt final coincideix amb el punt inicial (s'obté la identitat).

1. a) Si un objecte s'ha traslladat segons el vector $\vec{v} = (-7, 4)$, quin és el vector de la translació inversa?
2. b) Si apliquem al punt $M(x, y)$ la translació $\vec{u} = (3, -2)$ i després la seva inversa, quines són les coordenades del punt resultant?
3. c) Un vaixell es desplaça des del port $A(10, 20)$ fins a una boia $B$ mitjançant el vector $\vec{v} = (50, -30)$. A causa d'una tempesta, ha de tornar immediatament al port. Quin vector de translació ha de seguir per tornar exactament al punt $A$?

Un dron de vigilància surt d'una base situada al punt $B(12, 15)$, que veus marcat a la quadrícula de la figura. Fa un primer desplaçament seguint el vector $\vec{u} = (-8, 4)$ per situar-se sobre un objectiu. Després de completar la missió, rep una ordre de desplaçament d'emergència mitjançant el vector $\vec{v} = (5, -10)$.

1. a) Calcula les coordenades finals del dron després dels dos moviments.

1. b) Determina el vector de translació únic $\vec{w}$ que permetria al dron tornar directament des de la seva posició final fins a la base $B$ en un sol moviment.

1. c) Si cada unitat de la quadrícula representa $10$ metres, calcula la distància total (mòdul) que recorreria en aquest viatge de tornada.

Considera la recta $r$ la qual té com a equació $y = 2x - 3$. Sabem que una translació deixa una recta invariant (és a dir, la recta es transforma en si mateixa) si el vector de translació és paral·lel a aquesta recta.

1. Troba un vector de translació $\vec{u} = (a, b)$ de mòdul $\sqrt{20}$ que deixi la recta $r$ invariant.

2. Si apliquem aquest mateix vector $\vec{u}$ al punt $P(1, -1)$, que pertany a la recta, quines són les coordenades del punt transformat $P'$? Comprova analíticament si $P'$ continua pertanyent a la recta $r$.

En el disseny d'un videojoc, un personatge circular amb centre a $C(x, y)$ i radi $R = 3$ ha d'esquivar un obstacle. L'equació inicial del seu contorn és $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 9$.

El personatge es trasllada mitjançant la composició de dos vectors: $\vec{u} = (7, 3)$ i $\vec{v} = (-2, 5)$. A la figura apareixen la posició inicial del personatge i el mur.

1. a) Determina les coordenades del centre $C$ abans i després de la translació composta, i calcula el vector $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.

1. b) Escriu l'equació de la circumferència en la seva posició final.

1. c) Si l'obstacle és un mur vertical situat a la recta $x = 5$, explica raonadament si el personatge xoca amb el mur després de fer el moviment.

Un arquitecte dissenya un fris repetint un motiu poligonal. Els vèrtexs del motiu bàsic són $A(0, 0)$, $B(2, 0)$, $C(3, 2)$ i $D(1, 2)$. Per generar el fris, aplica successivament la translació de vector $\vec{t} = (4, 0)$.

1. Calcula les coordenades dels vèrtexs del tercer motiu del fris (el que s'obté després d'aplicar la translació dues vegades consecutives al motiu original).

2. Si volem que el fris sigui una composició de dues translacions diferents, $\vec{t_1}$ i $\vec{t_2}$, de manera que $\vec{t_1} + \vec{t_2} = (4, 0)$ i que la primera translació $\vec{t_1}$ desplaci el motiu cap amunt $2$ unitats, quin ha de ser el vector $\vec{t_1}$ i el vector $\vec{t_2}$?

Donats els punts $A(-2, 3)$ i $B(4, 7)$, se'ls aplica una translació $T_1$ de vector $\vec{u} = (k, 2k)$. Després d'aquest moviment, el punt $A$ es transforma en $A'$. Si sabem que el mòdul del vector $\vec{AA'}$ és $10$ unitats i que $k > 0$:

1. Troba el valor de $k$.

2. Calcula les coordenades de $A'$ i $B'$.

3. Demostra que el segment $A'B'$ té la mateixa longitud que el segment $AB$. Quina propietat de les translacions queda demostrada amb això?

Un triangle equilàter té els seus vèrtexs en els punts $A(0, \sqrt{3})$, $B(-1, 0)$ i $C(1, 0)$. Es sotmet a una translació que porta el baricentre del triangle a l'origen de coordenades $O(0, 0)$.

Nota: El baricentre d'un triangle amb vèrtexs $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ es calcula com $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$.

1. Calcula les coordenades del baricentre original $G$.

2. Determina el vector de translació $\vec{v}$ necessari.

3. Calcula les noves coordenades dels vèrtexs $A', B'$ i $C'$.

Es defineix un moviment en el pla com la composició de tres translacions successives definides pels vectors $\vec{a} = (3, -1)$, $\vec{b} = (-5, 4)$ i $\vec{c} = (2, -3)$.

1. Demostra analíticament que aquesta composició de moviments equival a la translació identitat.

2. Què significa geomètriadament que el resultat sigui la identitat?

3. Si un quadrat d'àrea $16$ unitats quadrades es sotmet a aquestes tres translacions, quina serà la seva àrea final? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats de les isometries.