Exercicis: Repartiments proporcionals

Tres amics, l'Alex, la Bea i en Cris, han participat en un torneig de videojocs per equips i han guanyat un cofre amb $240$ monedes d'or virtuals. Han decidit repartir el botí de manera directament proporcional al nombre de nivells que cadascú ha superat: l'Alex va superar $2$ nivells, la Bea $3$ nivells i en Cris $5$ nivells. Quantes monedes li corresponen a cadascú?

Una associació juvenil ha rebut una subvenció de $1200$ € per organitzar tallers. Els diners s'han de repartir entre tres grups locals de manera directament proporcional al nombre de voluntaris que té cada grup: el Grup A té $10$ voluntaris, el Grup B en té $15$ i el Grup C en té $25$. Calcula quants diners rebrà cada grup.

En un concurs de robòtica, es reparteixen $140$ punts extra de manera inversament proporcional al nombre d'errors comesos al circuit. Si l'equip "Alfa" va cometre $1$ error, l'equip "Beta" va cometre $2$ errors i l'equip "Gamma" va cometre $4$ errors, quants punts rebrà cada equip?

Tres germans ajuden els seus avis a collir la collita d'ametlles. Els avis els donen una propina total de $90$ € per repartir de manera directament proporcional a les hores que cadascú ha treballat. Si el gran va treballar $5$ hores, el mitjà $3$ hores i el petit $1$ hora, quants diners li toquen a cadascú?

Un ajuntament vol premiar el reciclatge i reparteix $3000$ € entre tres centres educatius de manera directament proporcional als quilograms de paper reciclat. El centre "El Olivo" va reciclar $600$ kg, el centre "La Encina" $900$ kg i el centre "El Pino" $1500$ kg. Determina la quantitat de diners que correspon a cada escola.

Tres amics lloguen un cotxe per fer un viatge i han de pagar una fiança de $180$ €. Decideixen que el repartiment de la devolució de la fiança (si no hi ha danys) serà inversament proporcional a les vegades que cadascú hagi hagut de ser advertit pel conductor per no posar-se el cinturó. Si en Dani va tenir $2$ avisos, l'Elena $3$ avisos i en Fede $6$ avisos, quina part dels $180$ € recuperarà cadascú?

Tres cambrers d'una cafeteria han decidit repartir-se el pot de propines de la setmana, que ascendeix a $210$ €, de manera directament proporcional als dies que ha treballat cadascú: en Juan va treballar $2$ dies, la Marta $5$ dies i en Pedro va treballar la setmana completa ($7$ dies). Quants diners de les propines li corresponen a cadascú?

En Daniel vol repartir $180$ € entre els seus tres nebots de $6$, $8$ i $12$ anys de manera inversament proporcional a les seves edats per premiar els més petits. Per resoldre-ho, en Daniel afirma: «Com que és un repartiment invers, assigno a cadascú l'edat de l'altre: al de $6$ anys li corresponen $12$ parts, al de $12$ anys li corresponen $6$ parts i al de $8$ anys li deixo $8$ parts. Sumo $12 + 8 + 6 = 26$, calculo la constant dividint $180$ entre $26$ i multiplico per les parts de cadascú». a) Explica detalladament per què el raonament d'en Daniel és matemàticament erroni en haver-hi tres participants i quina propietat de les fraccions no ha tingut en compte. b) Corregeix l'exercici fent el repartiment inversament proporcional de manera adequada i comprova que la suma de les quantitats repartides coincideix amb els $180$ € disponibles.

Tres estudiants comparteixen pis a Granada durant el mes de juliol i acorden repartir la factura de la llum i l'aire condicionat ($90$ €) de manera directament proporcional als dies que ha residit cadascun a l'habitatge: la Lucía hi va estar $15$ dies, en Marcos hi va estar $20$ dies i la Sara hi va estar $25$ dies. a) Abans de calcular el resultat exacte, estima de manera raonada la quantitat aproximada que pagarà la Sara: tenint en compte que la suma dels dies és $60$, la seva aportació ha de ser més gran o més petita que un terç del total ($30$ €)?, i més gran o més petita que la meitat ($45$ €)? Justifica la teva previsió. b) Fes el repartiment proporcional directe exacte calculant la constant de proporcionalitat $k$ (cost per dia) i la quantitat que ha d'abonar cada estudiant. c) Comprova que la suma de les tres aportacions és de $90$ € i analitza si el resultat obtingut per a la Sara confirma la teva estimació inicial.

Tres amics decideixen participar en un torneig d'E-Sports per equips. Després de guanyar el primer premi, l'organització els lliura un cofre amb $2700$ monedes virtuals. Per ser justos, decideixen repartir les monedes de forma directament proporcional als punts d'experiència (XP) que cadascú va aportar en la partida final: l'Álex va aportar $12$ punts, la Bea $15$ punts i en Cristian $18$ punts. Quantes monedes li corresponen a cadascun?

Per fomentar la lectura, una biblioteca juvenil reparteix un lot de $155$ còmics entre els tres usuaris que més llibres han llegit en l'últim trimestre. El repartiment serà directament proporcional al nombre de llibres llegits. Si els usuaris van llegir $12$, $18$ i $32$ llibres respectivament, quants còmics rebrà cadascun? (Nota: si el resultat no és enter, arrodoneix a la unitat més propera i justifica si el repartiment és exacte).

Tres germans s'han de repartir les tasques de la llar. La seva mare ha decidit que el nombre d'hores que cadascú dedicarà a netejar el jardí serà inversament proporcional a les notes mitjanes que han obtingut en el curs: en Arnau té un $9$, la Amina un $8$ i en Jorge un $6$. Si en total han de cobrir $74$ hores de feina entre tots tres, quantes hores li corresponen a cadascun?

Tres socis d'una startup de missatgeria ecològica van invertir inicialment diferents quantitats: $4000 \text{ €}$, $7000 \text{ €}$ i $9000 \text{ €}$. En acabar l'any, han obtingut un benefici net de $12000 \text{ €}$. Com s'han de repartir els guanys de forma directament proporcional a la seva inversió inicial?

Un grup de tres agricultors decideix llogar una maquinària per $570 \text{ €}$. El cost es repartirà de forma directament proporcional a la superfície de les seves parcel·les, que mesuren $3$, $5$ i $7$ hectàrees respectivament. No obstant això, el propietari de la maquinària els fa un descompte del $10 \%$ sobre el total per ser temporada baixa. Quant haurà de pagar cada agricultor després d'aplicar el descompte?

Una competició de relleus reparteix $900 \text{ €}$ entre els tres equips que van arribar primer a la meta. El premi és inversament proporcional al temps total emprat. L'equip "Rayo" va trigar $10$ minuts, l'equip "Gacela" va trigar $12$ minuts i l'equip "Flecha" va trigar $15$ minuts. Quina quantitat de diners correspon a cada equip? Explica per què l'equip que va trigar menys temps rep la quantitat més gran.

En una jornada escolar d'atletisme organitzada per un ajuntament es reparteixen $420$ punts de classificació entre tres centres educatius de manera directament proporcional al nombre de medalles obtingudes. El Colegio San Viator va aconseguir $5$ medalles i el Colegio Parque de las Avenidas va aconseguir $7$ medalles. En publicar-se els resultats oficials, al tercer centre, el Colegio Mayorazgo, li van correspondre exactament $180$ punts. a) A partir de la definició de constant de proporcionalitat o plantejant una equació, dedueix quantes medalles va aconseguir el Colegio Mayorazgo. b) Calcula quants punts va rebre cadascun dels altres dos col·legis i comprova que la suma de les puntuacions dels tres centres ascendeix als $420$ punts totals.

Una comunitat de regants de l'horta murciana rep una subvenció autonòmica de $38\,000$ € destinada a modernitzar les seves séquies enfront de la sequera. L'assemblea acorda distribuir els diners combinant dos criteris: de manera directament proporcional a la superfície conreada (en hectàrees) i inversament proporcional al consum d'aigua registrat en la campanya prèvia (en milers de $\text{m}^3$), premiant els qui tenen més terra però han demostrat més estalvi. Les dades de tres finques són: Parcel·la A ($12$ ha i consum de $4$ milers de $\text{m}^3$), Parcel·la B ($10$ ha i consum de $2$ milers de $\text{m}^3$) i Parcel·la C ($9$ ha i consum de $6$ milers de $\text{m}^3$). a) Modelitza la situació calculant l'índex de repartiment relatiu de cada parcel·la en combinar tots dos criteris. b) Troba la quantia de la subvenció corresponent a cadascuna de les finques i comprova que la suma total cobreix exactament els $38\,000$ € assignats.

Una empresa d'Escape Room ofereix un bo mensual de $450 €$ a repartir entre els tres equips que aconsegueixin sortir de la seva sala més difícil en menys d'una hora. El repartiment es fa de forma inversament proporcional al temps emprat. L'equip "Alpha" va sortir en $40$ minuts, l'equip "Beta" en $45$ minuts i l'equip "Gamma" en $50$ minuts. Calcula la part del premi que li correspon a cada equip.

Tres ajuntaments decideixen subvencionar un projecte de reforestació amb un total de $120000 €$. L'aportació de cada ajuntament serà inversament proporcional al nombre d'hectàrees de bosc cremades al seu terme municipal l'any anterior. L'ajuntament A va tenir $200$ ha cremades, el B va tenir $500$ ha i el C va tenir $800$ ha. Si l'ajuntament amb més incendis recorre la decisió i es decideix que el repartiment sigui directament proporcional a aquestes hectàrees per ajudar els més afectats, quina diferència de diners hi hauria per a l'ajuntament B entre el primer mètode i el segon?

Un avi vol repartir $44400 €$ entre els seus tres nets de $15, 20$ i $30$ anys de manera que el repartiment sigui inversament proporcional a les seves edats. Abans de fer el repartiment, el net mitjà decideix donar el $25\%$ de la seva part a una ONG. Quina quantitat neta acabarà rebent el net de $20$ anys?

Un club ciclista disposa d'un premi de $1860$ € per repartir entre tres corredors de manera inversament proporcional a les penalitzacions de temps acumulades durant la temporada: en Brais va cometre $2$ minuts de penalització, la Carmen va acumular $3$ minuts i en Diego en va tenir $5$ minuts. Per resoldre-ho, dos membres de la directiva proposen camins diferents: Mètode A (utilitzar directament els inversos fraccionaris $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$ i $\dfrac{1}{5}$, sumar-los i calcular $k = \dfrac{1860}{\sum \text{inversos}}$) i Mètode B (reduir els inversos a comú denominador mitjançant $\text{m.c.m.}(2, 3, 5) = 30$, prendre els numeradors enters resultants $15$, $10$ i $6$, i repartir directament a aquests nombres). a) Desenvolupa completament tots dos mètodes pas a pas i comprova que els imports assignats a cada ciclista coincideixen en els dos casos. b) Justifica formalment per què multiplicar totes les fraccions pel m.c.m. en el Mètode B no altera la proporció del repartiment. c) Argumenta quin dels dos mètodes resulta més eficient i amb menys risc d'error en un examen si el repartiment fos entre quatre o més persones amb denominadors grans.

Una empresa de paqueteria urgent a Saragossa reparteix una gratificació trimestral de $6600$ € entre tres dels seus repartidors (Alba, Bruno i Clara) de manera inversament proporcional al nombre de paquets lliurats amb retard. En el registre consta que l'Alba va tenir $2$ retards i en Bruno en va acumular $6$, però la dada de la Clara ($c$ retards) s'ha esborrat a causa d'una fallada informàtica. Tanmateix, l'informe comptable confirma que l'Alba va rebre a la seva nòmina exactament $2200$ € més que en Bruno. a) Modela la constant de proporcionalitat $k$ i l'assignació econòmica de cada treballador mitjançant expressions algebraiques en funció del valor desconegut $c$. b) A partir de la diferència de diners entre l'Alba i en Bruno, planteja i resol una equació de primer grau per determinar amb exactitud quants retards $c$ va cometre la Clara. c) Fes el repartiment definitiu amb el nombre de retards trobat i comprova que es compleixen simultàniament les dues condicions: que la suma dels tres pagaments sigui de $6600$ € i que la diferència entre l'Alba i en Bruno sigui de $2200$ €.