Exercicis: Raons i proporcions

Calcula el valor de la raó de cada parell de quantitats i interpreta el resultat:

1. a) $3\ \text{kg}$ de cireres costen $10,50\ \text{€}$.

1. b) Un ciclista de gravel recorre $95\ \text{km}$ en $4\ \text{h}$.

1. c) Una ampolla conté $2\ \text{L}$ i un bidó, $25\ \text{L}$.

Comprova, calculant el producte d'extrems i el producte de mitjans, si els parells de raons següents formen una proporció:

1. a) $\frac{6}{4}$ i $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ i $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2,5}{4}$ i $\frac{5}{8}$

Troba el quart proporcional en cada cas:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$

1. b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$

1. c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$

Dues varetes metàl·liques mesuren $8\ \text{dm}$ i $12\ \text{dm}$.

1. a) Calcula la raó entre la longitud de la primera i la de la segona, i simplifica-la.

1. b) Calcula la raó entre la segona i la primera.

1. c) Com són entre si les dues raons obtingudes? Passa sempre?

Amb els nombres $3$, $6$, $4$ i $8$, forma:

1. a) Una proporció en què $3$ i $8$ siguin els extrems.

1. b) Una proporció en què $3$ i $8$ siguin els mitjans.

1. c) Comprova en totes dues que el producte d'extrems és igual al producte de mitjans.

Un mapa de carreteres està dibuixat a escala $1 : 300.000$.

1. a) Explica el significat d'aquesta raó.

1. b) Quina distància real representen $5\ \text{cm}$ del mapa?

1. c) Dos pobles disten $21\ \text{km}$ en la realitat. A quina distància estan al mapa?

La Lucía i el seu germà preparen un refresc barrejant suc de taronja i aigua amb gas en una raó de $3 : 2$ (és a dir, per cada $3$ gots de suc de taronja afegeixen $2$ gots d'aigua). Com que arriben amics a casa i necessiten més quantitat, la Lucía proposa: «Per fer més refresc mantenint exactament el mateix gust, afegim $2$ gots més de taronja i $2$ gots més d'aigua; com que sumem la mateixa quantitat als dos ingredients, la proporció no canvia».\na) Calcula el valor numèric de la raó original i el valor de la nova raó després d'aplicar la proposta de la Lucía. Tenen el mateix gust tots dos refrescos? Justifica la teva resposta comparant els valors decimals d'ambdues raons.\nb) Identifica i explica raonadament l'error conceptual que ha comès la Lucía sobre el significat de raó i proporció.\nc) Corregeix la recepta de la Lucía: si decideix afegir $3$ gots més d'aigua amb gas, quants gots de suc de taronja ha d'afegir per conservar exactament la proporció inicial?

En un alberg d'animals, la raó entre el nombre de gats i el nombre de gossos acollits és de $4 : 7$.

1. a) Sabent que en total hi ha més de $30$ animals i menys de $40$, dedueix quants gats i quants gossos hi ha a l'alberg sense recórrer al tanteig a cegues. Explica amb claredat la propietat numèrica en què et bases per assegurar-ho.
2. b) Escriu la proporció matemàtica completa que relaciona el nombre de gats i gossos amb la raó simplificada donada, indicant explícitament quins són els extrems i quins els mitjos.
3. c) Si demà s'adopten $2$ gats i $2$ gossos, comprova mitjançant la regla dels productes encreuats si la proporció entre les dues espècies es manté o s'altera.

Troba el valor de $x$ en aquestes proporcions:

1. a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$

Troba el mitjà proporcional en cada cas, és a dir, el valor positiu de $x$ que compleix la proporció contínua:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Un fuster fabrica marcs la part decorativa central dels quals és un quadrat. Perquè el marc mantingui la mateixa proporció en totes les mides, el costat $x$ del quadrat ha de ser el mitjà proporcional entre l'amplada interior i l'amplada exterior del marc.

1. a) Per a un marc amb una amplada interior de $9\ \text{cm}$ i una amplada exterior de $25\ \text{cm}$, planteja la proporció contínua $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ i troba el costat del quadrat.

1. b) Comprova que les dues raons valen el mateix.

1. c) Si l'amplada interior és de $8\ \text{cm}$ i el quadrat decoratiu mesura $12\ \text{cm}$ de costat, quina és l'amplada exterior del marc?

Dues comarques vinícoles comparen la seva producció. La comarca A collita $4.500\ \text{t}$ de raïm en $1.800\ \text{ha}$ de vinya; la comarca B, $6.240\ \text{t}$ en $2.400\ \text{ha}$.

1. a) Calcula la raó entre la producció i la superfície en cada comarca, amb la seva unitat.

1. b) Quina de les dues obté un rendiment més gran per hectàrea?

1. c) Si la comarca A augmentés la seva superfície a $2.000\ \text{ha}$ mantenint el rendiment, quina producció esperaria?

Una llançadora de javelina entrena amb un senyal situat a $60\ \text{m}$ i triga $4,8\ \text{s}$ a recórrer aquesta distància en la seva carrera d'impuls.

1. a) Calcula la raó entre la distància i el temps, en $\text{m/s}$.

1. b) Expressa-la en $\text{km/h}$.

1. c) És correcte calcular la raó entre $60\ \text{m}$ i $4,8\ \text{s}$ sense fixar-se en les unitats? Per què cal indicar-les sempre quan s'interpreta una raó?

El Partenó d'Atenes es va dissenyar buscant la proporció àuria: la raó entre el costat més gran i el més petit dels seus rectangles és aproximadament $\frac{8}{5} = 1,6$.

1. a) Una finestra mesura $1,92\ \text{m}$ d'alçària i $1,20\ \text{m}$ d'amplada. Calcula la raó entre els seus costats. Està en proporció àuria?

1. b) Una altra finestra mesura $2\ \text{m}$ d'alçària. Quant ha de mesurar d'amplada perquè la raó entre l'alçària i l'amplada sigui $1,6$?

1. c) Mesura a casa teva tres rectangles quotidians (una porta, un llibre, una pantalla) i comprova si algun s'acosta a la proporció àuria.

Per organitzar una excursió senderista per la Sierra de Guadarrama, utilitzes un mapa oficial de l'Instituto Geográfico Nacional (IGN) a escala $1 : 25.000$. Al mapa, la longitud del recorregut que vols realitzar fa exactament $18,4\text{ cm}$.\na) Abans de calcular el valor exacte, fes una estimació: raona quants metres reals representa $1\text{ cm}$ al mapa i estima mentalment entre quins dos valors enters de quilòmetres es trobarà la distància real del recorregut.\nb) Planteja la proporció que defineix l'escala del mapa, calcula la distància real en quilòmetres utilitzant la igualtat de productes encreuats i comprova si la teva estimació inicial era encertada.\nc) Si el grup camina a una raó constant de $4\text{ km/h}$, calcula quant de temps trigarà a completar el trajecte (expressa el resultat en hores i minuts) i valora si és raonable realitzar l'excursió en un sol matí.

Segons l'informe oficial de la Dirección General del Agua d'Espanya, la conca hidrogràfica del Guadalquivir disposa d'una capacitat total de $8.030\text{ hm}^3$ i conté $2.409\text{ hm}^3$ embassats, mentre que la conca del Cantàbric Oriental té una capacitat total de $70\text{ hm}^3$ i conté $56\text{ hm}^3$ embassats.\na) Modela la situació calculant la raó entre el volum embassat i la capacitat total per a cadascuna de les dues conques. Interpreta quina informació aporta cada resultat més enllà de la xifra bruta d'aigua.\nb) Un titular de premsa afirma: «La conca del Guadalquivir gaudeix d'una situació hídrica molt millor perquè acumula més de $40$ vegades la quantitat d'aigua del Cantàbric Oriental». Argumenta críticament per què aquesta afirmació és enganyosa recolzant-te en les raons calculades.\nc) Planteja una proporció per determinar quants hectòmetres cúbics d'aigua hauria de tenir embassats la conca del Guadalquivir per trobar-se en la mateixa proporció d'ompliment relatiu que la del Cantàbric Oriental, i calcula aquest quart proporcional.

Una alumna afirma el següent:

«Com que $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, aleshores també es compleix $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, perquè només he canviat l'ordre dels nombres.»

1. a) Comprova si la primera igualtat és una proporció meva/verdadera -> proporció certa.

1. b) Comprova si la segona igualtat també és certa. Ha encertat?

1. c) La regla correcta diu que en una proporció es poden permutar els mitjans o permutar els extrems. Aplica-la a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ i escriu dues proporcions equivalents meves -> certes.

Indica si cada afirmació és verdadera o falsa, suposant que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ és una proporció meva/verdadera -> meva/verdadera -> verdadera. Justifica-ho utilitzant el producte d'extrems i mitjans:

1. a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»

1. b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»

1. c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»

1. d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»

Es vol construir un quadrat que tingui exactament la mateixa àrea que un rectangle de $9\ \text{cm}$ per $16\ \text{cm}$, com es mostra a la figura.

1. a) Si el costat del quadrat és $x$, planteja l'equació $x^2 = 9 \cdot 16$.

1. b) Reescriu l'equació com una proporció contínua $\frac{9}{x} = \frac{x}{16}$. Què és $x$ respecte a $9$ i $16$?

1. c) Calcula $x$ i comprova que les àrees coincideixen.

1. d) Quin seria el costat del quadrat equivalent a un rectangle de $5\ \text{cm}$ per $45\ \text{cm}$?

Tasca de decisió. Una botiga d'electrònica anuncia tres monitors com a «panoràmics 16:9», és a dir, amb una raó entre l'amplada i l'alçària de $\frac{16}{9} \approx 1,78$. Les mides reals del panell de cada model són:

• Model 1: $53\ \text{cm}$ d'amplada i $30\ \text{cm}$ d'alçària.

• Model 2: $62\ \text{cm}$ d'amplada i $34\ \text{cm}$ d'alçària.

• Model 3: $71\ \text{cm}$ d'amplada i $40\ \text{cm}$ d'alçària.

1. a) Calcula la raó amplada/alçària de cada model amb dos decimals.

1. b) Quins models compleixen de debò la proporció 16:9 (admet un error de $0,02$)?

1. c) Un client vol col·locar el monitor en un espai de $65\ \text{cm}$ d'amplada i $38\ \text{cm}$ d'alçària. Quin model, dels que compleixen la proporció, hi cap? Justifica la teva decisió amb càlculs.

Un estudi d'arquitectura dissenya dues finestres rectangulars. La finestra A fa $60\text{ cm}$ d'amplada per $90\text{ cm}$ d'alçària, i la finestra B fa $80\text{ cm}$ d'amplada per $120\text{ cm}$ d'alçària. Per verificar si ambdues finestres són proporcionals, es plantegen tres mètodes:\n- Mètode 1: Calcular la raó interna $\dfrac{\text{alçària}}{\text{amplada}}$ de cada finestra i comparar si els resultats coincideixen.\n- Mètode 2: Calcular les raons externes entre mesures homòlogues ($\dfrac{\text{amplada B}}{\text{amplada A}}$ i $\dfrac{\text{alçària B}}{\text{alçària A}}$) i verificar si són iguals.\n- Mètode 3: Plantejar la proporció $\dfrac{60}{90} = \dfrac{80}{120}$ i comprovar si es compleix la igualtat de productes encreuats: $60 \cdot 120 = 90 \cdot 80$.\na) Desenvolupa numèricament els tres mètodes i demostra formalment per què la igualtat $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ garanteix matemàticament que $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$ i que $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$.\nb) Ara et demanen analitzar una finestra C de $75\text{ cm} \times 110\text{ cm}$. Tria raonadament quin dels tres mètodes resulta més directe per comprovar si és proporcional a la finestra A i aplica'l justificant la teva conclusió.\nc) Si es construeix una finestra D les dimensions de la qual multipliquen per $3$ el perímetre de la finestra A mantenint la proporció entre els seus costats, en quina raó varien la seva amplada, la seva alçària i el valor de la seva raó d'aspecte?

En una proporció contínua, els mitjos són iguals: $\dfrac{a}{x} = \dfrac{x}{b}$, de manera que el terme $x = \sqrt{a \cdot b}$ rep el nom de mig proporcional entre els extrems $a$ i $b$.\na) Troba tots els parells de nombres enters positius $(a, b)$ amb $a < b$ tals que el seu mig proporcional sigui exactament $x = 12$. Mostra el procediment deductiu a partir de la descomposició factorial de $12^2$, sense recórrer a tantejos desordenats.\nb) De totes les parelles obtingudes a l'apartat anterior, identifica quina presenta la diferència més petita possible entre els seus extrems ($b - a$) i escriu la proporció contínua corresponent comprovant que els productes encreuats coincideixen.\nc) Demostra de forma algebraica i general que si $x$ és el mig proporcional entre dos nombres positius qualssevol $a$ i $b$, aleshores el mig proporcional entre $k \cdot a$ i $k \cdot b$ (essent $k > 0$) és exactament igual a $k \cdot x$.