Exercicis: Conceptes

Classifica els experiments següents com a aleatoris o deterministes, justificant breument la teva resposta en cada cas:

1. a) Observar si el proper autobús que passi per la parada davant de l'institut és de la línia 5.
2. b) Mesurar el temps que triga un objecte a caure a terra des d'una alçada de 2 metres en condicions de buit.
3. c) Predeir el guanyador del proper sorteig de la Loteria de Nadal.
4. d) Calcular el cost de 3 kg de pomes si sabem que el preu és de $1,50 \text{ €/kg}$.

Estem jugant amb una ruleta dividida en vuit sectors iguals, numerats de l'1 al 8. Escriu l'espai mostral $E$ d'aquest experiment i descriu els elements dels successos següents:

1. a) $A =$ "Obtenir un nombre més gran que 5".
2. b) $B =$ "Obtenir un nombre parell".
3. c) $C =$ "Obtenir un múltiple de 3".

En una bossa d'esport hi ha 4 samarretes vermelles, 3 blaves i 1 blanca. Si extraiem una samarreta sense mirar, indica quina de les opcions següents descriu millor la probabilitat de cada succés (utilitza els termes: molt probable, poc probable, impossible, segur):

1. a) Treure una samarreta de color verd.
2. b) Treure una samarreta que no sigui blanca.
3. c) Treure una samarreta vermella, blava o blanca.
4. d) Treure una samarreta blava.

Es llancen dues monedes a l'aire i s'anota el resultat de cadascuna (C per Cara, X per Creu).

1. a) Utilitza un diagrama d'arbre per trobar tots els resultats possibles.
2. b) Escriu l'espai mostral de l'experiment.
3. c) Quin és el succés elemental "treure dues cares"?

Considerem l'experiment aleatori de triar a l'atzar una lletra de la paraula MATEMATICAS. Defineix els conceptes següents associats a aquest experiment:

1. a) L'espai mostral $E$.
2. b) El succés $V =$ "Triar una vocal".
3. c) El succés $C =$ "Triar una consonant".
4. d) Comprova si $V$ i $C$ són successos contraris.

Un dau té les cares pintades de colors: 3 cares són vermelles, 2 són verdes i 1 és groga. Si llancem el dau a l'aire:

1. a) Quina és la probabilitat d'«obtenir color vermell»? Expressa el resultat com a fracció.
2. b) Quina és la probabilitat de «no obtenir color vermell»?
3. c) Com es diu tècnicament el succés de l'apartat b) respecte del de l'apartat a)?

D'una baralla espanyola de 40 cartes s'extreu una carta a l'atzar. Donats els successos $A =$ "Treure un Rei" i $B =$ "Treure una carta d'Ors", indica:

1. a) Són $A$ i $B$ successos compatibles o incompatibles? Per què?
2. b) Quin és el succés intersecció $A \cap B$?
3. c) Descriu amb paraules el succés unió $A \cup B$.

La figura mostra com està organitzada la baralla: 4 pals i 10 cartes per pal (numerades de l'1 al 7, i les figures 10 = sota, 11 = cavall i 12 = rei).

En un bombo de loteria hi ha boles numerades de l'1 al 20. Si extraiem una bola a l'atzar, classifica els successos següents en elementals o compostos:

1. a) $S_1 =$ {obtenir el número 13}.
2. b) $S_2 =$ {obtenir un nombre primer menor que 10}.
3. c) $S_3 =$ {obtenir un múltiple de 7}.
4. d) $S_4 =$ {obtenir el nombre parell més gran de la bossa}.

A classe de Matemàtiques, en Marcos analitza l'experiment aleatori de llançar un dau cúbic equilibrat amb cares numerades de l'1 al 6. Després de pensar un moment, afirma: «Considerem els successos $A = \text{“obtenir un nombre menor o igual que 4”}$ i $B = \text{“obtenir un nombre major o igual que 3”}$. Són successos contraris perquè, en unir-los, abasten tots els resultats possibles: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = E$».\n\na) Explica detalladament quin és l'error en el raonament d'en Marcos. Quines dues condicions s'han de complir alhora perquè dos successos siguin formalment contraris?\nb) Escriu per extensió (llistant els seus elements) el veritable succés contrari d'$A$, denotat per $\bar{A}$.\nc) Troba la intersecció $A \cap B$ i dedueix, a partir d'aquesta, si $A$ i $B$ són successos compatibles o incompatibles.

En un joc de taula s'extreu a l'atzar una fitxa numerada d'una bossa. L'espai mostral de l'experiment és $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Se't demana que construeixis i determinis els elements de dos successos, $A$ i $B$, que compleixin simultàniament les quatre condicions següents:\n1. El succés $A$ ha d'estar format per exactament 5 successos elementals.\n2. La intersecció d'ambdós successos ha de ser $A \cap B = \{2, 6\}$.\n3. La unió d'ambdós successos ha de contenir tots els elements de l'espai mostral tret del 8, és a dir, $A \cup B = E \setminus \{8\}$.\n4. El succés $B$ té exactament 4 elements.\n\na) Escriu els elements que formen el succés $A$ i el succés $B$, justificant pas a pas com decideixes la ubicació de cada nombre.\nb) Escriu el succés contrari de $B$, $\bar{B}$, i determina si $A$ i $\bar{B}$ són successos compatibles o incompatibles.

Al teu telèfon mòbil tens instal·lades 3 apps de xarxes socials, 2 de jocs i 1 de música. Quan rebs una notificació, aquesta pot provenir de qualsevol d'aquestes 6 apps amb la mateixa probabilitat.

1. a) Defineix l'espai mostral $E$ d'aquest experiment aleatori.
2. b) Descriu el succés $A$ = "La notificació no és d'una xarxa social".
3. c) Escriu un succés impossible relacionat amb aquest context.

Es fa una enquesta als 30 alumnes d'una classe sobre les seves preferències de streaming. Se sap que 18 alumnes veuen Netflix ($N$), 12 veuen Disney+ ($D$) i 5 alumnes veuen totes dues plataformes. Si triem un alumne a l'atzar:

1. a) Utilitza un diagrama de Venn per representar la situació.

1. b) Calcula la probabilitat que l'alumne vegi només Netflix.

1. c) Calcula la probabilitat que l'alumne no vegi cap de les dues plataformes (succés contrari a la unió).

En un joc de cartes col·leccionables de fantasia, una baralla conté les cartes següents: 8 de tipus «Guerrer», 6 de tipus «Mag», 4 de tipus «Elf» i 2 de tipus «Drac». Si robes una carta a l'atzar, calcula la probabilitat que:

1. a) Sigui un «Mag».
2. b) Sigui un «Guerrer» o un «Elf».
3. c) No sigui un «Drac».

Un creador de contingut ha llançat 500 vegades un dau de 8 cares (octàedre) per comprovar si està trucat. Els resultats obtinguts per a la cara amb el número "8" es mostren a la taula següent:

1. a) Calcula les freqüències relatives per a cada etapa de l'experiment.

1. b) Cap a quin valor sembla estabilitzar-se la probabilitat d'obtenir un "8"?

1. c) Si el dau fos perfecte (regular), quina hauria de ser la seva probabilitat teòrica segons la llei de Laplace?

En una convenció de videojocs, es va classificar 200 assistents segons la seva edat i la seva consola preferida, i es va obtenir la taula de contingència següent:

Si seleccionem un assistent a l'atzar, troba la probabilitat que:

1. a) Prefereixi Nintendo.
2. b) Sigui major de 14 anys.
3. c) Sigui menor de 14 anys i prefereixi PlayStation.
4. d) Sabent que prefereix Nintendo, sigui menor de 14 anys.

Per anar a un festival, la Lucía té a l'armari 3 dessuadores (negra, blanca i vermella) i 2 pantalons (texans i xandall). Tria a l'atzar una dessuadora i un pantaló, totes les opcions amb la mateixa probabilitat.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representi totes les combinacions possibles de vestimenta (dessuadores i pantalons).
2. b) Quina és la probabilitat que la Lucía triï la dessuadora vermella?
3. c) Quina és la probabilitat que no triï el pantaló de xandall?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considerem l'experiment aleatori de llançar dos daus cúbics i sumar-ne les puntuacions. Siguin els successos:

• $A$ = "La suma és un nombre parell".

• $B$ = "La suma és un múltiple de 5".

1. a) Calcula $P(A)$ i $P(B)$.
2. b) Són els successos $A$ i $B$ compatibles o incompatibles? Justifica la teva resposta trobant els elements de $A \cap B$.
3. c) Calcula la probabilitat de la unió $P(A \cup B)$.

En una fira tecnològica hi ha una ruleta dividida en 12 sectors iguals numerats de l'1 al 12. El joc consisteix a fer girar la ruleta i observar el número premiat.

1. a) Troba la probabilitat d'obtenir un nombre primer.
2. b) Troba la probabilitat d'obtenir un nombre més gran que 4 i més petit que 9.
3. c) Si guanyem un premi si surt un múltiple de 3 o un nombre senar, quina és la probabilitat de guanyar?

Per preparar les activitats de la setmana matemàtica de l'institut, es proposa analitzar l'espai mostral de dos experiments diferents:\n- Experiment 1: Llençar simultàniament dos daus cúbics de 6 cares i calcular la diferència positiva entre la puntuació més gran i la més petita (si són iguals, la diferència és 0).\n- Experiment 2: Respondre a l'atzar un qüestionari ràpid de 4 preguntes on cadascuna només admet dues respostes possibles: Vertader ($V$) o Fals ($F$).\n\na) Compara les dues eines habituals per descriure experiments compostos: la taula de doble entrada i el diagrama d'arbre. Justifica quina de les dues és més adequada per a l'Experiment 1 i quina per a l'Experiment 2, explicant per què una taula de doble entrada no resulta pràctica per a l'Experiment 2.\nb) Aplica la regla del producte ($m \cdot n \dots$) per calcular quants resultats possibles componen l'espai mostral de cadascun dels dos experiments.\nc) Utilitzant el mètode que has considerat idoni per a l'Experiment 1, representa tots els resultats possibles i descriu per extensió l'esdeveniment $D = \text{“la diferència entre les cares és major o igual que 4”}$.

Una empresa d'autobusos metropolitans a Espanya classifica cada vehicle que arriba a l'estació segons dues variables independents d'observació: la tecnologia del motor, que pot ser Elèctric ($E$) o Híbrid ($H$), i la puntualitat del servei, que pot ser Puntual ($P$), amb Retard lleu ($R$) o Cancel·lat ($C$). S'observa l'arribada del pròxim servei.\n\na) Justifica per què l'observació del pròxim servei constitueix un experiment aleatori i no determinista.\nb) Escriu de manera explícita l'espai mostral $\Omega$ com un conjunt de parells ordenats. Quants esdeveniments elementals té?\nc) Defineix per extensió (escrivint entre claus tots els seus elements) els esdeveniments:\n - $A = \text{“l'autobús és híbrid”}$.\n - $B = \text{“l'autobús pateix alguna incidència (retard lleu o cancel·lació)”}$.\nd) Determina els conjunts de resultats que formen els esdeveniments $A \cap B$, $A \cup B$ i l'esdeveniment contrari $\bar{B}$. Explica què significa a la pràctica l'esdeveniment $\bar{B}$ per a una persona que espera a la parada.

Un grup d'amics crea una clau de seguretat per al seu servidor de videojocs. La clau ha de tenir 3 caràcters diferents triats entre les lletres $\{A, B, C\}$ i els nombres $\{1, 2, 3\}$.

1. a) Descriu l'espai mostral $\Omega$ si el primer caràcter ha de ser obligatòriament una lletra i l'últim un nombre.

1. b) Si es tria una clau a l'atzar d'entre totes les possibles (sense les restriccions de l'apartat anterior, però mantenint que els 3 caràcters siguin diferents), quina és la probabilitat que la clau estigui formada només per nombres?

En un institut de Madrid, el $60\%$ dels alumnes de 3r d'ESO utilitza la plataforma Twitch, el $50\%$ utilitza TikTok i el $20\%$ no en utilitza cap de les dues. Si triem un alumne a l'atzar, calcula la probabilitat dels successos següents:

1. a) Que utilitzi totes dues plataformes.

1. b) Que utilitzi TikTok però no Twitch.

1. c) Són els successos «Usar Twitch» i «Usar TikTok» incompatibles? Justifica la teva resposta utilitzant els valors de les probabilitats.

Dos populars streamers, Alba i Brais, realitzaran una col·laboració. Tenen una urna amb 4 targetes de reptes físics i 6 targetes de reptes mentals. Decideixen treure dues targetes successivament i sense devolució.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representi totes les possibilitats i assigna la probabilitat a cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que el segon repte extret sigui mental, sabent que el primer ha estat físic.

1. c) Quina és la probabilitat que facin un repte de cada tipus?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dron de lliurament ha d'aterrar en una parcel·la quadrada de $10$ metres de costat. Dins de la parcel·la hi ha una zona circular de seguretat (on no ha d'aterrar) amb un radi de $2$ metres, i una zona d'aterratge òptim que és un petit quadrat central de $1$ metre de costat.

Suposant que el dron aterra en qualsevol punt de la parcel·la amb la mateixa probabilitat:

1. a) Quina és la probabilitat que el dron aterri en la zona d'aterratge òptim?

1. b) Quina és la probabilitat que aterri fora de la zona circular de seguretat? (Usa $\pi \approx 3,14$).

En un campionat d'E-sports, s'analitzen els perifèrics que utilitzen 120 participants. Es sap que 75 utilitzen teclat mecànic i la resta de membrana. Dels que utilitzen teclat mecànic, 45 utilitzen també ratolí sense fil. En total, hi ha 65 participants que utilitzen ratolí sense fil.

1. a) Organitza aquestes dades en una taula de contingència.

1. b) Si triem un participant a l'atzar, quina és la probabilitat que utilitzi teclat de membrana i ratolí amb cable?

1. c) Si sabem que un participant utilitza ratolí sense fil, quina és la probabilitat que el seu teclat sigui de membrana?

Llençem un dau de sis cares que sospitem que està trucat. Després de llençar-lo 500 vegades, hem obtingut les freqüències següents: el nombre 6 ha sortit 125 vegades, el nombre 1 ha sortit 35 vegades, i els nombres 2, 3, 4 i 5 han sortit amb la mateixa freqüència entre ells.

1. a) Calcula la freqüència relativa del succés "Obtenir un 6".

1. b) Segons la Llei dels Grans Nombres, quina probabilitat assignaries al succés "Obtenir un nombre menor que 6"?

1. c) Si el dau no estigués trucat, quina seria la probabilitat teòrica d'obtenir un 6? Compara tots dos resultats.

Un joc de taula consisteix a llançar una moneda equilibrada (cara i creu són igual de probables) i, segons el resultat, fer el següent:

• Si surt cara, es llança un dau equilibrat de 4 cares (numerades de l'1 al 4).

• Si surt creu, s'extreu una bola d'una urna que conté 2 boles vermelles i 3 boles verdes.

1. a) Representa l'experiment mitjançant un diagrama d'arbre, indicant la probabilitat de cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat d'obtenir un nombre parell al dau si la moneda ha sortit cara.

1. c) Quina és la probabilitat total que el resultat final de l'experiment sigui una bola vermella?

En una final d'un torneig de tennis entre Carlos i Rafa, guanya el primer que aconsegueixi vèncer en 3 sets. El torneig s'interromp per pluja quan Carlos va guanyant 2 sets a 1. Sabent que tots dos tenen la mateixa probabilitat de guanyar cada set restant:

1. a) Utilitza un diagrama d'arbre per calcular la probabilitat que té cadascun de guanyar el torneig si s'hagués continuat jugant.

1. b) Si el premi total és de $12.000$ €, com hauria de repartir-se de manera justa segons les probabilitats de victòria de cadascun en el moment de la interrupció?

Tres estudiants de 3r d'ESO (Álex, Bea i Carlos) organitzen un campionat d'escacs als patis de dimecres, dijous i divendres. Per decidir qui arbitra cada dia, introdueixen tres paperetes amb els seus noms en una urna i n'extreuen una a l'atzar cada matí, tornant-la a posar a l'urna perquè l'endemà tots tornin a tenir la mateixa opció.\n\na) Estima: Abans de calcular o enumerar casos, compara intuïtivament aquests dos esdeveniments:\n - Esdeveniment $M = \text{“els tres dies arbitra la mateixa persona”}$.\n - Esdeveniment $D = \text{“els tres dies arbitren persones diferents”}$.\n Raona, sense fer càlculs numèrics encara, quin dels dos esdeveniments creus que tindrà més resultats favorables en l'espai mostral i per què.\nb) Modela l'experiment mitjançant un diagrama d'arbre o la regla del producte per determinar el nombre total d'esdeveniments elementals de l'espai mostral $E$.\nc) Enumera exhaustivament tots els esdeveniments elementals que formen l'esdeveniment $M$ i tots els que formen l'esdeveniment $D$.\nd) Comprova: Compta els casos favorables d'$M$ i de $D$. Valora si el resultat coincideix amb la teva estimació inicial i explica matemàticament per què el nombre de maneres d'ordenar tres persones diferents ($3 \cdot 2 \cdot 1$) és molt superior al de repetir una mateixa persona ($3 \cdot 1 \cdot 1$).

Una estació meteorològica automàtica d'AEMET en un port de muntanya registra a mitjanit dues variables per resumir el dia:\n- Tipus de precipitació: Neu ($N$), Pluja ($L$) o Sec/Sense precipitació ($S$).\n- Temperatura mitjana: Sota zero ($B$) o Zero o positiva ($C$).\nEn un model purament combinatori s'obtindrien $3 \cdot 2 = 6$ resultats possibles. Tanmateix, les condicions físiques de l'indret introdueixen una restricció real: és físicamentGroup impossible que nevi si la temperatura és zero o positiva, per la qual cosa el resultat $(N, C)$ no es pot donar mai.\n\na) Escriu l'espai mostral real $E$ de l'experiment aleatori tenint en compte aquesta restricció física. Quants esdeveniments elementals el componen?\nb) Escriu per extensió els següents esdeveniments:\n - $A = \text{“es registra precipitació (neu o pluja)”}$.\n - $B = \text{“la temperatura mitjana és sota zero”}$.\nc) Determina els elements d'$A \cap B$, $A \cup B$ i l'esdeveniment $\overline{A \cup B}$ (contrari de la unió).\nd) Justifica si els esdeveniments “fa una temperatura sota zero sense precipitació” i “el dia és de neu” són compatibles o incompatibles mitjançant la definició matemàtica d'intersecció.\ne) Un operari afirma: «Com que perquè nevi és obligatori que faci temperatura sota zero, l'esdeveniment “nevar” i l'esdeveniment “temperatura sota zero” són esdeveniments iguals». Explica amb rigor algebraic de conjunts per què aquesta afirmació és falsa, utilitzant el concepte d'inclusió d'esdeveniments.