Exercicis: Operacions amb potències

Escriu les multiplicacions repetides següents en forma de potència i, posteriorment, calcula el seu valor numèric. Recorda que la base és el nombre que es repeteix i l'exponent indica quantes vegades apareix.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Utilitza les propietats del producte de potències amb la mateixa base per simplificar aquestes expressions i deixar-les com una única potència. No cal que calculis el resultat final, només expressa la potència resultant.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Aplica la propietat del quocient (divisió) de potències amb la mateixa base per reduir les expressions següents a una sola potència. Recorda que has de restar els exponents.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Tenim un cub de Rubik clàssic. Sabem que a cada aresta (costat) hi ha 3 peces petites.

Expressa mitjançant una potència quantes peces petites formen el cub total i calcula'n el valor.

Observa el dibuix per ajudar-te:

Calcula el valor de les potències següents tenint en compte les propietats de la potència d'exponent 0 i de la potència de base 1. Ves amb compte amb els signes.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Simplifica les expressions següents utilitzant la propietat de la potència d'una potència. Has de deixar el resultat expressat com una única potència.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

En aquests casos, les bases són diferents però els exponents són iguals. Aplica les propietats corresponents per agrupar les bases i expressar el resultat com una única potència.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Simplifica al màxim les expressions següents combinant les propietats de les potències que has après (producte i quocient de bases iguals). Expressa el resultat com una sola potència.

1. a) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$
2. b) $\frac{x^7}{x^2 \cdot x^3}$
3. c) $(3^2 \cdot 3^4) : 3^5$
4. d) $\frac{10^6 \cdot 10^2}{10^8}$

En un examen de 3r d'ESO, la Clara ha de simplificar l'operació $2^3 \cdot 2^4$. Escriu al seu quadern el desenvolupament següent:

$$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2)^{3+4} = 4^7$$

1. a) Identifica i descriu els dos errors conceptuals diferents que ha comès la Clara en el seu procediment.
2. b) Explica, recorrent al significat bàsic de potència com a multiplicació repetida (sense limitar-te a citar la fórmula de memòria), per què en multiplicar potències de la mateixa base se sumen els exponents però la base es manté invariable.
3. c) Corregeix l'exercici escrivint la solució adequada en forma d'una única potència de base 2 i calcula el seu valor numèric final.

Dissenya tres operacions aritmètiques diferents el resultat final de les quals sigui exactament la potència $3^8$, complint obligatòriament en cada cas la condició que s'indica:

1. a) Un producte de dues potències de base 3 on cap exponent sigui un nombre parell.
2. b) Una divisió entre dues potències que tinguin diferent base i el mateix exponent.
3. c) Una potència d'una altra potència on un dels exponents involucrats sigui un nombre enter negatiu.

Justifica a cada apartat la propietat de les potències que garanteix que la teva proposta dona exactament $3^8$.

Calcula el resultat de l'expressió següent, aplicant les propietats de les potències abans de calcular el valor final. Fixa't bé que totes les bases són el mateix nombre negatiu:

$$ \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)}{(-3)^4} $$

Recorda que quan un nombre no porta exponent visible, aquest és 1.

Simplifica l'operació següent i expressa el resultat com una única potència de base 2. Per fer-ho, primer hauràs de descompondre en factors prims les bases que no siguin nombres prims:

$$ 16 \cdot 2^5 \cdot 4^3 $$

Tenim un quadrat el costat del qual mesura $2^4$ centímetres.

1. Expressa el perímetre del quadrat com una única potència de base 2 (no cal que calculis el nombre final, només la potència).

2. Expressa l'àrea del quadrat com una única potència de base 2.

Opera i simplifica l'expressió següent utilitzant les propietats de les potències amb base racional. Expressa el resultat com una fracció irreductible amb exponent positiu:

$$ \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^5 \right] : \left( \frac{5}{2} \right)^2 $$

Un disc dur extern té una capacitat d'emmagatzematge de 1 TB (Terabyte). Sabent que les equivalències aproximades en el sistema binari són:

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

Si una fotografia d'alta qualitat ocupa $2^4$ MB, quantes fotografies caben en total al disc dur? Expressa el resultat com una potència de base 2.

Simplifica l'expressió algebraica següent utilitzant les propietats de les potències. El resultat final no ha de tenir exponents negatius:

$$ \frac{a^3 \cdot b^{-4} \cdot a^{-2}}{a^5 \cdot b^{-6}} $$

Calcula el valor de la incògnita $x$ en cadascuna de les igualtats següents, utilitzant les propietats de les potències per igualar els exponents:

1. a) $5^x \cdot 5^3 = 5^9$
2. b) $(3^4)^x = 3^{12}$
3. c) $\frac{7^8}{7^x} = 7^2$

Simplifica la fracció numèrica següent descomponent primer les bases en factors prims i aplicant després les propietats de les potències:

$$ \frac{15^2 \cdot 4^2}{6^3 \cdot 10^2} $$

Per simplificar i calcular el valor numèric de l'expressió $\frac{12^4 \cdot 5^4}{30^3}$, en Sergio i l'Alba debaten sobre quina estratègia és més convenient:

• En Sergio proposa descompondre prèviament totes les bases en els seus factors primers ($12 = 2^2 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$) i utilitzar les propietats del producte i quocient de potències amb la mateixa base.

• L'Alba proposa aplicar primer la propietat de potències amb el mateix exponent al numerador per agrupar-lo com a $(12 \cdot 5)^4 = 60^4$, i després expressar 60 com a $2 \cdot 30$ per operar amb la base 30 del denominador.

1. a) Resol l'expressió seguint pas a pas la proposta d'en Sergio.
2. b) Resol l'expressió aplicant l'estratègia proposada per l'Alba.
3. c) Compara els dos camins: quin dels dos mètodes consideres més eficient per a aquest cas concret? Raona la teva elecció analitzant el volum de càlculs i el risc d'equivocar-se en cadascun.

El Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico (MITECO) coordina les tasques de reforestació en una comarca de la Sierra de Gata (Extremadura). Per organitzar la repoblació d'arbres autòctons, el terreny s'ha dividit en $3^3$ parcel·les principals. Dins de cada parcel·la s'han habilitat $9^2$ sectors, i en cadascun d'aquests sectors s'han plantat exactament 27 plançons d'alzina.

1. a) Planteja una única operació combinada amb potències que representi el nombre total d'alzines plantades a la comarca.
2. b) Descompon les bases en factors primers i aplica les propietats de les potències per expressar el nombre total d'alzines com una única potència de base 3. Quants arbres s'han plantat en total?
3. c) Durant les primeres setmanes, cada plançó necessita rebre $3^{-2}$ litres d'aigua per hora mitjançant un sistema de reg localitzat. Expressa com una única potència de base 3 quants litres d'aigua consumeix en una hora la plantació completa.

Simplifica l'expressió següent fins a obtenir una única potència de base prima positiva. Per fer-ho, hauràs d'aplicar les propietats de les potències, descompondre les bases en factors prims i anar amb molt de compte amb els signes i els exponents negatius.

$$ \frac{(-2)^4 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 16}{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (-8)^{-2}} $$

Recorda que descompondre nombres com el 16 i el 8 en base 2 és el primer pas clau.

Observa la seqüència de figures següent generada mitjançant un procés fractal.

1. Partim d'un quadrat sòlid de costat 1 metre (Iteració 0).

2. Dividim el quadrat en 4 quadrats iguals i eliminem el superior dret (Iteració 1).

3. Repetim el procés amb cadascun dels 3 quadrats restants (Iteració 2).

Calcula l'àrea total (la suma de les àrees dels quadrats negres) en la Iteració 5. Expressa el resultat com una única potència.

Calcula el valor de la incògnita $x$ en l'equació exponencial següent, utilitzant les propietats de les potències per agrupar termes. Totes les bases es poden expressar com a potències del mateix nombre prim.

$$ 27^2 \cdot 9^{-x} = \frac{1}{3^x \cdot 81} $$

Un servidor d'emmagatzematge de dades al núvol té una capacitat total de 16 Petabytes (PB). Sabent que les equivalències informàtiques són potències de 2 (no de 10) segons la taula següent:

• $1 \text{ KB} = 2^{10} \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 2^{10} \text{ KB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ PB} = 2^{10} \text{ TB}$

Si un fitxer de fotografia d'alta resolució ocupa $2^{24}$ bytes, quantes fotografies caben en total al servidor? Expressa el resultat com una potència de base 2.

Sense utilitzar la calculadora per trobar el valor final, ordena els nombres següents de menor a major. Per fer-ho, hauràs de buscar un exponent comú o una base comuna que et permeti comparar-los mentalment.

$$ A = 2^{45} \quad ; \quad B = 3^{36} \quad ; \quad C = 5^{18} $$

Ajuda: Intenta expressar tots els exponents com a múltiples d'un mateix nombre (busca el màxim comú divisor dels exponents).

Simplifica l'expressió algebraica següent utilitzant les propietats de les potències. El resultat final no ha de tenir exponents negatius ni parèntesis.

$$ \left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-3} : \left( \frac{a^3}{b^2} \right)^2 $$

Un cub de Rubik gegant està format per petits cubs unitaris. Sabem que el volum total del cub gran és de $27^4$ unitats cúbiques.

1. Expressa la longitud de l'aresta del cub gran com una potència de base 3.

2. Si pintem la cara exterior de cada cubet unitari de vermell, quina és l'àrea total pintada de vermell a tot el cub gegant? Expressa el resultat en la forma $2 \cdot 3^n$.

(Recorda que el cub gran té 6 cares i l'àrea d'una cara és costat $\cdot$ costat).

Calcula el valor exacte de la següent operació combinada, aplicant primer les propietats de les potències i transformant a notació científica estàndard abans d'operar.

$$ \frac{ 3,5 \cdot 10^{-5} + 150 \cdot 10^{-7} }{ 0,02 \cdot 10^4 \cdot (10^{-2})^3 } $$

Expressa el resultat final en notació científica.

L'Instituto Nacional de Estadística (INE) custodia còpies de seguretat de dades censals en dos centres de servidors independents, anomenats node A i node B:

• El node A conté emmagatzemats $8^7$ blocs de dades.

• El node B conté emmagatzemats $4^{11}$ blocs de dades.

1. a) Abans de fer càlculs per escrit, fes una estimació intuïtiva raonada: quin dels dos nodes creus que conté més blocs de dades? Explica quin element ha pesat més en la teva primera impressió (el valor de la base o la magnitud de l'exponent?).
2. b) Comprova rigorosament la teva estimació: expressa la quantitat de blocs de cada node com una potència de base 2 aplicant la descomposició factorial i la propietat de potència d'una potència.
3. c) Calcula el quocient entre el node de més capacitat i el de menys capacitat. Quantes vegades més informació conté l'un respecte a l'altre?
4. d) A la vista del resultat, explica per què a l'hora de comparar magnituds exponencials la intuïció visual basada únicament en la mida aparent de la base sol induir a error.

Un equip de ciberseguretat a León genera codis d'accés xifrats. Un codi mestre $K$ es defineix a partir de la següent expressió:

$$K = \frac{15^a \cdot 18^b}{10^c \cdot 12^d}$$

on $a$, $b$, $c$ i $d$ són nombres enters positius.

En simplificar l'expressió descomponent les bases en factors primers i aplicant les propietats de les potències, els analistes observen que les bases 2 i 5 es cancel·len totalment (els seus exponents resultants són iguals a 0), de manera que el resultat final queda simplificat com a $K = 3^6$.

1. a) Descompon les bases compostes ($15$, $18$, $10$ i $12$) en factors primers i escriu l'expressió agrupant els exponents de les bases 2, 3 i 5 en funció de les incògnites $a$, $b$, $c$ i $d$.
2. b) Escriu les igualtats que han de verificar els exponents de les bases 2 i 5 perquè ambdues es cancel·lin en el resultat final.
3. c) Si la configuració del sistema fixa que $c = 1$ i $d = 1$, dedueix raonadament els valors numèrics exactes que han de tenir els exponents $a$ i $b$, i comprova pas a pas que el valor obtingut per a $K$ coincideix amb $3^6$.