Exercicis: Notació científica

Calcula el valor de les potències següents. Para molta atenció a l'ús dels parèntesis i al signe de la base, ja que és un dels errors més habituals en aquest tema.

1. a) $2^4$
2. b) $(-2)^4$
3. c) $-2^4$
4. d) $(-3)^3$
5. e) $-3^3$
6. f) $5^0$

Observa la imatge següent que representa geomètriament la diferència entre $2^2$ i $2^3$. Podries dibuixar al teu quadern com es representaria $3^2$?

Utilitza les propietats de les potències per simplificar les expressions següents i deixar-les com una única potència. No cal que calculis el resultat final, només expressa la potència resultant.

Recorda que:

• Per multiplicar potències de la mateixa base, sumem els exponents.

• Per dividir potències de la mateixa base, restem els exponents.

• Per elevar una potència a una altra potència, meva multiplicem els exponents.

1. a) $3^5 \cdot 3^2$
2. b) $7^8 : 7^3$
3. c) $(2^3)^4$
4. d) $x^4 \cdot x \cdot x^2$
5. e) $\frac{5^7}{5^2}$
6. f) $(10^2)^3 \cdot 10^4$

Transforma les potències següents d'exponent negatiu en fraccions amb exponent positiu, i viceversa. Calcula el valor final quan sigui possible.

Aquest exercici t'ajudarà a dominar amb fluïdesa la propietat $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. a) $2^{-3}$
2. b) $5^{-2}$
3. c) $\frac{1}{3^2}$
4. d) $10^{-1}$
5. e) $\frac{1}{2^{-4}}$
6. f) $(\frac{2}{3})^{-2}$

Indica si les afirmacions següents són Veritables o Falses. Si alguna és falsa, escriu l'expressió correcta al teu quadern.

1. a) $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$
2. b) $3^{-2} = -9$
3. c) $(5^2)^3 = 5^6$
4. d) $\frac{a^5}{a^5} = 0$
5. e) $4^2 \cdot 3^2 = 12^2$

En el nostre dia a dia, i especialment en la tecnologia, utilitzem nombres molt grans. Escriu en notació científica les quantitats següents relacionades amb les xarxes socials i internet.

Recorda que la notació científica té la forma $a \cdot 10^n$, on $1 \le a < 10$.

1. a) Nombre de visualitzacions del vídeo més vist del mes: 12.500.000 visualitzacions.
2. b) Quantitat de bytes en un Terabyte (TB): 1.000.000.000.000 bytes.
3. c) Nombre aproximat d'usuaris d'una xarxa social: 2.900.000.000 usuaris.
4. d) La teva edat en segons (aproximadament, calculant 14 anys): 441.500.000 segons.

Ara treballarem amb les coses molt petites. La biologia i la física utilitzen la notació científica per mesurar coses que no podem veure a simple vista.

Escriu en notació científica les mesures següents:

1. a) El diàmetre d'un glòbul vermell: 0,0000075 metres.
2. b) La mida aproximada d'un virus de la grip: 0,00000012 metres.
3. c) La massa d'un gra de pols fina: 0,00000067 grams.
4. d) El temps que triga la llum a recórrer un metre: 0,0000000033 segons.

Observa la imatge per visualitzar l'escala microscòpica:

Converteix els nombres següents donats en notació científica a la seva forma decimal (nombre estàndard).

1. a) $3,5 \cdot 10^4$
2. b) $1,2 \cdot 10^6$
3. c) $5,4 \cdot 10^{-3}$
4. d) $8,9 \cdot 10^{-5}$

Ordena els nombres següents de menor a major. Per fer-ho, fixa't ben bé en l'exponent de la potència de 10. Si els exponents són iguals, compara el nombre decimal.

$$ 3,2 \cdot 10^5 \quad ; \quad 1,5 \cdot 10^6 \quad ; \quad 8,9 \cdot 10^4 \quad ; \quad 3,1 \cdot 10^5 $$

Utilitza el símbol $<$ per escriure la resposta final.

Per expressar el nombre $0,0045 \cdot 10^5$ en notació científica, la Lucía raona així en el seu quadern:

«Perquè hi hagi una sola xifra diferent de zero abans de la coma, moc la coma tres posicions cap a la dreta. Com que he mogut la coma cap a la dreta tres llocs, sumo 3 a l'exponent de la potència de deu. Per tant:

$$0,0045 \cdot 10^5 = 4,5 \cdot 10^{5+3} = 4,5 \cdot 10^8»$$

1. a) Explica detalladament per què l'expressió de partida $0,0045 \cdot 10^5$ no compleix la definició de notació científica.
2. b) Localitza l'error en el raonament de la Lucía en modificar l'exponent i explica com es compensa realment el desplaçament de la coma perquè el valor del nombre no variï.
3. c) Escriu el procediment correcte pas a pas i dona el resultat final tant en notació científica com en nombre decimal ordinari.

Volem obtenir com a resultat exacte el nombre $3,6 \cdot 10^{-2}$.

1. a) Inventa dos nombres, $A$ i $B$, tots dos correctament expressats en notació científica, de manera que l'ordre de magnitud d'$A$ sigui $-5$ i es verifiqui que $A \cdot B = 3,6 \cdot 10^{-2}$.
2. b) Mostra com has deduït la mantissa i l'ordre de magnitud de $B$ a partir del valor d'$A$ que has triat.
3. c) Seria possible triar un nombre $A$ amb ordre de magnitud $-5$ de tal manera que l'ordre de magnitud de $B$ hagués de ser exactament $2$? Raona la teva resposta tenint en compte els possibles valors que pot prendre el producte de dues mantisses vàlides (recorda que cada mantissa ha d'estar en l'interval $[1, 10)$).

En l'estudi de les ciències naturals ens trobem amb longituds extremadament grans i extremadament petites. A continuació es presenten quatre longituds reals, totes expressades en metres:

• Diàmetre del virus de la grip: $0,00000012$ m

• Gruix d'un cabell humà: $0,00007$ m

• Diàmetre de la Terra: $12742000$ m

• Distància de la Terra al Sol: $149600000000$ m

La teva tasca consisteix a:

1. a) Escriure cadascuna de les longituds en notació científica.

1. b) Ordenar-les de menor a major.

Un influencer està analitzant les estadístiques de les seves xarxes socials per veure el creixement de la seva audiència.

• A Instagram té $1,25 \cdot 10^5$ seguidors.

• A TikTok té $8,4 \cdot 10^4$ seguidors.

• A YouTube té $2,1 \cdot 10^5$ subscriptors.

1. a) Calcula el nombre total de seguidors sumant les tres plataformes. Expressa el resultat en notació científica.
2. b) Si espera que la seva audiència total creixi un $10\%$ el mes vinent, quants seguidors tindrà en total?

La velocitat de la llum al buit és, aproximadament, $3 \cdot 10^8$ m/s. Una nau espacial envia un senyal de ràdio des de Mart a la Terra. Si en aquell moment la distància entre tots dos planetes és de $2,25 \cdot 10^8$ km:

1. a) Expressa la distància en metres utilitzant notació científica.
2. b) Calcula quant de temps (en segons) triga el senyal a arribar a la Terra.
3. c) Expressa aquest temps en minuts.

(Recorda que la velocitat $v$, l'espai $e$ i el temps $t$ es relacionen mitjançant $e = v \cdot t$).

Un servei d'emmagatzematge al núvol ofereix als seus usuaris 2 TB (Terabytes) d'espai. Sabent que les equivalències aproximades en el sistema informàtic són:

• $1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ bytes}$

• $1 \text{ GB} = 10^9 \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$

Si un usuari té una col·lecció de fotos en què cada foto ocupa una mitjana de 4 MB:

1. a) Quants bytes totals d'emmagatzematge té disponibles l'usuari? Expressa-ho en notació científica.
2. b) Quantes fotos aproximadament pot desar al seu núvol abans d'omplir-lo?

El cos humà conté aproximadament $3,7 \cdot 10^{13}$ cèl·lules. S'estima que cada cèl·lula té una massa mitjana de $2 \cdot 10^{-9}$ grams.

1. a) Calcula la massa total de les cèl·lules d'una persona en grams.
2. b) Converteix el resultat anterior a quilograms.
3. c) Si un bacteri pesa $10$ vegades menys que una cèl·lula humana, quina és la massa d'un bacteri en notació científica?

Un embassament cúbic té una aresta de $4 \cdot 10^2$ metres.

1. a) Calcula el volum de l'embassament en metres cúbics ($m^3$) i expressa el resultat en notació científica.
2. b) Sabent que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litres}$, calcula la capacitat total de l'embassament en litres, expressada també en notació científica.
3. c) Si l'embassament està ple només al $50\%$, quants litres d'aigua conté?

Simplifica les expressions següents utilitzant les propietats de les potències i expressa el resultat final com una única potència d'exponent positiu.

1. a) $\frac{3^5 \cdot 3^{-2}}{3^7}$
2. b) $(5^3 \cdot 5^{-4})^{-2}$
3. c) $\frac{2^4 \cdot (2^3)^2}{2^{-2}}$

Una molècula d'aigua ($H_2O$) està formada per dos àtoms d'hidrogen i un d'oxigen. Les masses d'aquests àtoms són aproximadament:

• Massa àtom Hidrogen: $1,67 \cdot 10^{-24}$ g

• Massa àtom Oxigen: $2,66 \cdot 10^{-23}$ g

1. a) Per poder sumar les masses, expressa la massa de l'àtom d'oxigen com un nombre multiplicat per $10^{-24}$.
2. b) Calcula la massa total d'una sola molècula d'aigua ($2 \times \text{Hidrogen} + 1 \times \text{Oxigen}$). Expressa el resultat final en notació científica.

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), les llars d'una determinada comunitat autònoma van consumir en un any un total de $2,38 \cdot 10^8\text{ m}^3$ d'aigua potable, repartits entre una població de $4,75 \cdot 10^6$ habitants.

1. a) Estima: Sense fer operacions en paper ni fer servir calculadora, arrodoneix les mantisses a nombres enters senzills i estima mentalment quants metres cúbics d'aigua a l'any corresponen a cada habitant. Indica quin serà l'ordre de magnitud esperat per al resultat.
2. b) Calcula: Fes la divisió utilitzant la notació científica amb les dades originals. Expressa el quocient en notació científica amb la mantissa arrodonida a les centèsimes.
3. c) Comprova i valora: Sabent que $1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litres}$ i considerant un any de 365 dies, calcula quants litres d'aigua al dia consumeix de mitjana un habitant segons aquesta dada. Compara el resultat amb la teva estimació prèvia i raona si et sembla una xifra versemblant per a la despesa diària d'una persona en una llar.

Durant un episodi de pluges torrencials monitorat per l'AEMET al litoral mediterrani, una tempesta va descarregar una mitjana de $1,2 \cdot 10^2\text{ l/m}^2$ sobre una comarca de $3,5 \cdot 10^2\text{ km}^2$ de superfície. S'estima que una gota de pluja de tempesta té un volum aproximat de $4 \cdot 10^{-5}\text{ litres}$.

1. a) Expressa la superfície de la comarca en metres quadrats ($\text{m}^2$) en notació científica, sabent que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$.
2. b) Modela la precipitació total calculant el volum global d'aigua (en litres) caigut sobre la comarca durant l'episodi. Expressa el resultat en notació científica.
3. c) Calcula el nombre total de gotes de pluja que han caigut a tota la comarca.
4. d) Observa l'ordre de magnitud del nombre de gotes obtingut i redacta una breu reflexió argumentant per què la notació científica és indispensable en estudis meteorològics i mediambientals enfront de la notació decimal amb zeros.

Simplifica l'expressió algebraica següent utilitzant les propietats de les potències. Has de descompondre les bases en factors primers, operar i expressar el resultat final com una fracció irreductible amb exponents positius. No cal calcular el valor numèric final, només la potència simplificada.

$$ \frac{15^{-2} \cdot 4^3 \cdot (-3)^4}{(-10)^2 \cdot (2^{-2})^{-3} \cdot 9^{-1}} $$

La sonda espacial Voyager 1 és l'objecte creat per l'ésser humà que més lluny ha arribat. Imagina que es troba a una distància aproximada de $2,3 \cdot 10^{10}$ quilòmetres de la Terra.

Si la sonda envia un senyal de ràdio cap a nosaltres, i sabent que els senyals viatgen a la velocitat de la llum ($3 \cdot 10^5$ km/s):

1. a) Calcula quant de temps (en segons) triga el senyal a arribar a la Terra. Expressa el resultat en notació científica.
2. b) Converteix aquest temps a hores i expressa-ho com un nombre decimal arrodonit a dues xifres decimals.

Tenim un dipòsit cúbic gegant destinat a emmagatzemar aigua per a reg. L'aresta d'aquest dipòsit mesura $2^5$ metres.

1. a) Expressa el volum del dipòsit en metres cúbics utilitzant una única potència de base 2.
2. b) Sabent que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litres}$, expressa la capacitat total del dipòsit en litres utilitzant notació científica.
3. c) Si el dipòsit està ple fins a la meitat, quants litres conté? Expressa el resultat com una potència de base 2 multiplicada per una potència de base 10.

En el món de la informàtica, les unitats d'emmagatzematge creixen ràpidament. Un servidor de dades té una capacitat total d'emmagatzematge de 4 Petabytes.

Sabent que:

• $1 \text{ Petabyte (PB)} = 10^{15} \text{ bytes}$

• Una fotografia d'alta qualitat ocupa una mitjana de $8 \text{ Megabytes (MB)}$, on $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$.

Calcula quantes fotografies d'alta qualitat caben en aquest servidor. Expressa el resultat final en notació científica.

Realitza les operacions combinades següents amb notació científica sense utilitzar la calculadora per als passos intermedis. Has d'ajustar els exponents per poder sumar o restar i aplicar les propietats per multiplicar o dividir. Expressa el resultat final en notació científica correctament normalitzada.

$$ \frac{(3,2 \cdot 10^{-4}) + (1,8 \cdot 10^{-3})}{2 \cdot 10^{-2}} \cdot (4 \cdot 10^6) $$

El cos humà d'un adult mitjà té aproximadament $3,72 \cdot 10^{13}$ cèl·lules. Si assumim que, de mitjana, una cèl·lula humana té una massa de $1,8 \cdot 10^{-9}$ grams:

1. a) Calcula la massa total de totes les cèl·lules en grams.
2. b) Converteix el resultat a quilograms.
3. c) Si una persona pesa 75 kg, quin percentatge aproximat del seu pes total correspon a la massa cel·lular calculada? (Nota: la resta seria aigua extracel·lular, minerals ossis, etc.).

Troba el valor de $x$ en la següent equació exponencial utilitzant les propietats de les potències. Per fer-ho, expressa tots els nombres com a potències de la mateixa base (base 3).

$$ \frac{3^x \cdot 9^2}{27^{-1}} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-5} $$

Repte del tema. Un full de paper té un gruix aproximat de $10^{-4}$ metres. Imagina que poguéssim doblegar el full per la meitat tantes vegades com volguéssim.

1. a) Escriu una expressió en forma de potència que indiqui el gruix del feix de paper després de fer $n$ doblecs.

1. b) Si aconseguíssim doblegar el full 42 vegades (cosa físicament impossible, però matemàticament calculable), quin seria el gruix del feix en quilòmetres? Expressa el resultat en notació científica.

1. c) Compara el resultat amb la distància mitjana de la Terra a la Lluna ($3,84 \cdot 10^5$ km). El gruix del feix superaria aquesta distància?

En un projecte interdisciplinari de Ciències, es vol calcular la massa total de la hidrosfera i l'atmosfera terrestres sumant les seves masses estimades: la massa de l'atmosfera és $M_A = 5,15 \cdot 10^{18}\text{ kg}$ i la de la hidrosfera és $M_H = 1,4 \cdot 10^{21}\text{ kg}$. Per calcular $M_T = M_A + M_H$, tres companys de classe proposen estratègies diferents:

• Mètode 1 (Marcos): Expressar la quantitat més gran en la potència més petita ($1,4 \cdot 10^{21} = 1400 \cdot 10^{18}$), sumar les mantisses i al final ajustar a notació científica.

• Mètode 2 (Sara): Expressar la quantitat més petita en la potència més gran ($5,15 \cdot 10^{18} = 0,00515 \cdot 10^{21}$), sumar les mantisses i obtenir el resultat directament en notació científica.

• Mètode 3 (Álex): Escriure tots dos nombres amb tots els seus zeros en notació decimal estàndard, alinear-los en vertical per sumar xifra a xifra i tornar a passar el resultat final a notació científica.

1. a) Resol la suma aplicant de manera explícita el Mètode 1 i el Mètode 2, verificant que tots dos camins condueixen al mateix resultat.
2. b) Compara els tres mètodes: justifica quin és el més eficient i segur en aquest cas i argumenta per què el camí de l'Álex és completament desaconsellable per treballar amb magnituds científiques.
3. c) Analitza el resultat obtingut: quin percentatge aproximat representa la massa de l'atmosfera respecte a la de la hidrosfera? Raona com influeix aquesta desproporció en l'ordre de magnitud de la suma final.

L'estació de seguiment de l'espai profund de l'INTA/NASA situada a Robledo de Chavela (Madrid) rep dades d'una sonda espacial. La distància entre la sonda i la Terra varia entre un periheli de $4,5 \cdot 10^7\text{ km}$ i un afeli d'$1,5 \cdot 10^8\text{ km}$. Els senyals electromagnètics viatgen a la velocitat de la llum, $c = 3 \cdot 10^5\text{ km/s}$. A més, la sonda envia un paquet de dades de $7,2 \cdot 10^6\text{ kilobits}$ a una velocitat de transmissió constant de $2,4 \cdot 10^4\text{ kilobits/s}$. El «temps total de recepció» és la suma del temps que triga el senyal a viatjar per l'espai més el temps que triga l'antena a descarregar la totalitat del paquet.

1. a) Planteja la fórmula del temps total de recepció en funció de les dades de l'enunciat i calcula aquest temps (en segons i en notació científica) en el periheli i en l'afeli.
2. b) Per restriccions operatives del centre de control, s'estableix un protocol d'emergència que exigeix que el temps total de recepció d'aquest paquet no superi sota cap concepte els $400\text{ segons}$. Planteja una inequació i calcula la distància màxima a la Terra (en km i en notació científica) a la qual es pot trobar la nau per complir aquest requisit.
3. c) Interpreta el resultat obtingut en l'apartat b): estarà la nau dins del límit de seguretat durant tota la seva òrbita, en cap part d'aquesta, o només en un tram determinat? Justifica la teva resposta comparant la distància màxima trobada amb el periheli i l'afeli.

Repte del tema. Dissenya un model energètic a escala per a la teva localitat a partir de dades reals de Red Eléctrica de España (REE).

1. Recollida i notació científica: Accedeix al web de REE (secció de demanda elèctrica diària) i consulta el consum peninsular total d'ahir en $\text{MWh}$. Passa'l a watts-hora ($\text{Wh}$) multiplicant per $10^6$ i expressa el valor final, arrodonit a dues xifres significatives, en notació científica ($a \cdot 10^k$, amb $1 \le a < 10$).

2. Potències de racionals: Assumeix que al teu municipi li correspon una fracció equivalent a $(2/5)^3$ d'una mil·lèsima d'aquesta energia global. Utilitza les propietats de les potències de base racional per simplificar l'operació i trobar el consum estimat de la teva localitat en notació científica.

3. Operacions amb radicals: Si una placa solar estàndard rendeix $2,5 \cdot 10^2\text{ Wh}$ diaris per metre quadrat, calcula l'àrea total $A$ de panells necessària. Planteja la instal·lació en una parcel·la quadrada de costat $L = \sqrt{A}$ metres. Factoritza el radicand, extreu tots els factors possibles fora de l'arrel per obtenir la solució exacta simplificada i, finalment, aproxima el seu valor amb coma decimal.

Producte final: Lliura un informe breu d'una pàgina (o captura del teu full de càlcul) amb les dades recopilades, els desenvolupaments matemàtics detallats i la interpretació del resultat.

Es valorarà:

• Precisió en el canvi d'unitats i ús rigorós de la notació científica.

• Aplicació correcta de les propietats de potències de nombres racionals.

• Descomposició factorial i destresa en la simplificació i extracció de factors en radicals.

• Claredat, ordre i justificació de les conclusions a l'informe.