Exercicis: Suma i producte de polinomis

Completa la taula següent identificant els elements de cada monomi:

Un streamer cobra una part fixa de $50$ euros per cada directe i, a més, rep $2$ euros per cada nova subscripció ($s$) i $0,5$ euros per cada donació ($d$).

1. Escriu l'expressió algebraica (polinomi) que representa els seus ingressos totals en un dia.

2. Si en un directe aconsegueix $20$ subscripcions i $40$ donacions, quants diners ha guanyat en total?

Donats els polinomis $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ i $Q(x) = x^2 + 7x - 2$, realitza les operacions següents agrupant els termes semblants:

1. a) $P(x) + Q(x)$
2. b) $P(x) - Q(x)$

Troba el polinomi que expressa el perímetre de la figura geomètrica següent (un "L-block" d'un videojoc). Recorda que el perímetre és la suma de tots els seus costats.

Realitza els productes de monomis següents, aplicant les propietats de les potències:

1. a) $(3x^2) \cdot (4x^3) =$
2. b) $(-2a^2b) \cdot (5ab^3) =$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^5) =$

Aplica la propietat distributiva per calcular l'àrea del rectangle següent, expressant el resultat com a polinomi:

Redueix les expressions polinòmiques següents combinant sumes, restes i productes senzills:

1. a) $3 \cdot (x^2 - 2x + 1) + (4x - 5) =$
2. b) $x \cdot (x + 3) - (x^2 - 2) =$

En una botiga de roba, el preu d'una dessuadora ve donat pel polinomi $P(x) = 2x^2 + 10$, on $x$ és una variable logística. Si comprem $3x$ dessuadores:

1. Quin és el polinomi que expressa el cost total de la compra?

2. Si per a un valor de $x=2$, el preu d'una dessuadora és en euros, quant costaran les $3x$ dessuadores per a aquest mateix valor?

La Lucía ha de desenvolupar l'expressió $(3x - 5)^2$ en un examen i escriu el següent al seu full:

1. a) Identifica i explica raonadament els dos errors conceptuals que ha comès la Lucía en aplicar les identitats notables.
2. b) Desenvolupa de manera correcta l'expressió aplicant la fórmula del quadrat d'una diferència pas a pas.
3. c) Comprova numèricament el teu resultat enfront del de la Lucía substituint el valor $x = 2$ en l'expressió inicial $(3x - 5)^2$, en el resultat erroni de la Lucía i en el teu polinomi final simplificat. Quina conclusió n'extreus?

Per simplificar l'expressió $(2x + 7)\cdot(2x - 7)$, dos companys de classe plantegen resoldre-ho de maneres diferents:

• El David proposa: «Multiplico terme a terme amb la propietat distributiva: $2x \cdot 2x + 2x \cdot (-7) + 7 \cdot 2x + 7 \cdot (-7)$, i després agrupo els termes que siguin semblants».

• La Sara afirma: «Com que es tracta d'una suma per diferència, puc aplicar directament la identitat notable $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, i escriure directament $(2x)^2 - 7^2$».

1. a) Aplica tots dos procediments pas a pas i comprova si tots dos condueixen al mateix polinomi resultant.
2. b) Justifica quina de les dues estratègies és més eficient i explica quins termes es cancel·len sempre i per què quan multipliquem la suma de dos termes per la seva diferència.

Donats els polinomis $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ i $Q(x) = -x^2 + 2x - 7$, realitza les operacions combinades següents i simplifica el polinomi resultant:

1. a) $2 \cdot P(x) + 3 \cdot Q(x)$
2. b) $P(x) - [Q(x) + (x^2 - 1)]$
3. c) $3x \cdot Q(x) + 5x^2$

Una empresa que fabrica tauletes ha dissenyat un nou model la pantalla del qual té les dimensions mostrades en la figura següent. El vora exterior (marc) té una amplada constant de $2$ cm a tots els seus costats.

1. a) Expressa mitjançant un polinomi l'àrea total de la tauleta (incloent-hi el marc).
2. b) Determina el polinomi que representa l'àrea exclusiva de la pantalla (zona ombrejada).
3. c) Calcula el polinomi que representa l'àrea del marc de la tauleta.

Aplica la propietat distributiva per multiplicar els polinomis següents i redueix els termes semblants:

1. a) $(2x - 3) \cdot (x^2 - 4x + 1)$
2. b) $(x^2 + 2) \cdot (x^2 - 2)$
3. c) $-(x - 5) \cdot (2x + 3) + 2x^2$

A la botiga d'aplicacions "AppZ", els ingressos mensuals per la venda d'una subscripció prèmium vénen donats pel polinomi $I(x) = 10x^2 + 50x$, on $x$ és el nombre de mesos des del llançament. D'altra banda, les despeses de manteniment s'expressen com a $G(x) = 2x^2 - 10x + 100$.

1. a) Troba el polinomi $B(x)$ que representa els beneficis nets de l'empresa ($Beneficio = Ingresos - Gastos$).
2. b) Si l'empresa decideix invertir en publicitat un extra equivalent al producte de $(x + 5) \cdot (x - 2)$, que suposa una despesa addicional, quin seria el nou polinomi de beneficis totals?

Treu factor comú en les expressions algebraiques següents per transformar-les en un producte d'un monomi per un polinomi:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $3a^2b - 6ab^2 + 9ab$
3. c) $2x(x+1) - 3(x+1)$

Calcula el polinomi resultant de l'expressió següent utilitzant les identitats notables (quadrat d'una suma, quadrat d'una diferència i suma per diferència):

$A(x) = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x + 4) \cdot (x - 4)$

Simplifica al màxim el resultat final.

Calcula el perímetre de la figura geomètrica següent en funció de la variable $x$, expressant el resultat com un polinomi reduït.

Determina el valor del coeficient $k$ perquè es compleixi la igualtat següent entre polinomis:

$(x + 3) \cdot (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$

Un cop trobat $k$, fes el producte $(x + 3) \cdot (2x - 5) \cdot (x + 1)$ i escriu el polinomi resultant de forma decreixent segons els seus graus.

En un projecte municipal d'horts comunitaris, una associació veïnal disposa d'una parcel·la rectangular que fa $(2x + 3)$ metres de llarg i $(x + 5)$ metres d'ample. Per optimitzar l'espai, l'ajuntament autoritza afegir en un dels laterals una zona rectangular coberta per a compostatge i eines que fa $(x - 1)$ metres d'ample i comparteix la mateixa longitud de llarg, $(2x + 3)$ metres.

1. a) Escriu el polinomi reduït $A_T(x)$ que representa la superfície total ocupada per l'hort i la nova zona coberta plegats.
2. b) Determina l'expressió algebraica simplificada del polinomi $D(x)$ que indica en quants metres quadrats supera l'àrea de l'hort original l'àrea de la zona de compostatge.
3. c) Si les mesures de la normativa urbanística corresponen a $x = 4\text{ m}$, calcula numèricament l'àrea total de la instal·lació i determina quin percentatge d'aquesta superfície total representa la zona de compostatge.

Considera la següent operació combinada entre polinomis: $P(x) = (3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4) - (x^3 + 1)^2$.

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic per escrit, respon a aquestes preguntes raonant la teva previsió:

1. Quin ha de ser el grau del producte $(3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4)$ i el coeficient del seu terme principal?

2. Quin ha de ser el grau del desenvolupament de $(x^3 + 1)^2$?

3. En restar les dues expressions, s'anul·laran els monomis de grau més alt o quin preveus que serà el grau final del polinomi $P(x)$?

4. Quin serà el terme independent de $P(x)$ analitzant únicament els nombres sense $x$ de cada part?

1. b) Efectua ara el producte, el desenvolupament del quadrat de la suma i la resta, agrupant termes semblants per obtenir la forma reduïda de $P(x)$.
2. c) Contrasta el teu polinomi final amb les quatre estimacions que has fet a l'apartat a) i confirma si les teves deduccions prèvies eren encertades.

En un festival de música, la recaptació total depèn del nombre d'abonaments venuts, representat per la variable $x$. S'han determinat les funcions polinòmiques següents:

• Ingressos per entrades: $I(x) = 3x^2 + 50x - 100$

• Despeses de logística i seguretat: $G(x) = 2x^2 - 15x + 500$

• Despeses de màrqueting: $M(x) = 10x + 1200$

Si el benefici net del festival es calcula restant totes les despeses als ingressos, obtén el polinomi simplificat $B(x)$ que representa el benefici. Un cop obtingut, calcula el benefici real si es venen $x = 100$ abonaments.

Dats els polinomis $P(x) = 2x^2 - ax + 5$ i $Q(x) = bx^2 + 3x - c$, determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ sabent que en sumar-los s'obté el polinomi identitat $S(x) = 5x^2 + x + 2$. Justifica la teva resposta comparant els coeficients dels termes del mateix grau.

Un estudi d'arquitectura dissenya una plaça rectangular que conté una font central circular i una zona enjardinada. L'àrea total de la plaça està definida pel producte de la seva base $b(x) = 3x + 5$ i la seva altura $h(x) = 2x - 1$. Si l'àrea de la font ve donada pel polinomi $F(x) = x^2 + 2x + 1$, obtén el polinomi que representa l'àrea de la zona enjardinada (l'espai restant de la plaça).

Considera dos polinomis qualssevol, $A(x)$ de grau $n$ i $B(x)$ de grau $m$. Si sabem que el grau del producte $A(x) \cdot B(x)$ és $7$ i que el grau de l'expressió $(A(x) + B(x))^2$ és $8$, quins són els graus individuals de $A(x)$ i $B(x)$? Raona la teva resposta basant-te en les propietats del grau de la suma i el producte de polinomis.

Realitza la següent operació combinada i simplifica el resultat al màxim, ordenant el polinomi de forma decreixent segons el seu grau:

Ves amb molt de compte amb el desenvolupament de la identitat notable i el signe negatiu que afecta el claudàtor.

Una empresa de missatgeria utilitza caixes les dimensions de les quals (en cm) estan en progressió aritmètica i depenen d'una variable $x$:

• Amplada: $x - 2$

• Llargada: $x + 1$

• Alçada: $x + 4$

Troba el polinomi $V(x)$ que expressa el volum de la caixa. Posteriorment, troba el polinomi $S(x)$ que representa l'àrea total de les sis cares de la caixa. Simplifica totes dues expressions.

Troba el polinomi $P(x)$ de segon grau que compleixi les tres condicions següents simultàniament:

1. El seu coeficient principal és $3$.

2. No té terme independent.

3. En multiplicar-lo pel binomi $(x - 2)$, el coeficient del terme de grau $2$ del producte resultant és igual a $-4$.

Desenvolupa i simplifica la següent expressió que involucra tres variables distintes ($x$, $y$, $z$). Aquest tipus d'expressions són habituals en fórmules de física i models de dades:

Representa el resultat final com un polinomi reduït. Què observes pel que fa als termes creuats (com ara $xy$ o $xz$)?

Se sap que en desenvolupar i reduir l'expressió polinòmica $A(x) = (ax + 3)^2 - (bx - 1)(bx + 1) + c$, on $a$, $b$ i $c$ són nombres enters positius, s'obté com a resultat exacte el polinomi $R(x) = 7x^2 + 24x + 15$.

1. a) Desenvolupa algebraicament l'expressió d'$A(x)$ en funció de les lletres $a$, $b$ i $c$, agrupant clarament els monomis resultants segons el seu grau ($x^2$, $x$ i terme independent).
2. b) Planteja les igualtats que s'han de complir entre els coeficients d'$A(x)$ i els de $R(x)$, i dedueix de manera justificada els valors exactes d'$a$, $b$ i $c$.
3. c) Si s'eliminés la condició que $b$ hagi de ser un nombre positiu i es permetés que fos qualsevol nombre enter, existiria un altre valor vàlid per a $b$? Justifica la teva resposta analitzant algebraicament què passa amb el producte $(bx - 1)(bx + 1)$ si substitueixes $b$ pel seu oposat $-b$.

Es vol demostrar la següent propietat matemàtica general: «La diferència entre els quadrats de dos nombres imparells consecutius és sempre un múltiple de $8$». A classe es discuteixen tres enfocaments metodològics diferents:

• L'Alba diu: «N'hi ha prou amb provar diversos exemples: $3^2 - 1^2 = 8$, $5^2 - 3^2 = 16$, $7^2 - 5^2 = 24$. Com que en tots dona múltiple de $8$, la propietat queda demostrada».

• El Bruno proposa: «Escrivim dos imparells consecutius generals com a $(2n + 3)$ i $(2n + 1)$, on $n$ és qualsevol nombre enter, i desenvolupem algebraicament la resta dels seus quadrats: $(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2$».

• La Clara suggereix: «En comptes de desenvolupar cada quadrat, fem servir la identitat de suma per diferència en sentit invers sobre l'expressió del Bruno: $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$, anomenant $A = 2n + 3$ i $B = 2n + 1$».

1. a) Explica per què el mètode inductiu de l'Alba no constitueix una demostració matemàtica vàlida per a tots els infinits nombres imparells.
2. b) Desenvolupa el mètode del Bruno aplicant les fórmules de les identitats notables, redueix termes semblants i extreu factor comú per demostrar que el resultat és obligatòriament divisible per $8$.
3. c) Desenvolupa el mètode proposat per la Clara i compara els dos camins algebraics: raona quin dels dos requereix menys passos de càlcul i explica els avantatges de transformar una resta de quadrats en un producte.