Exercicis: Nombres racionals

Observa la representació gràfica següent d'una fracció. La teva tasca consisteix a:

1. Escriure la fracció irreductible que representa la part acolorida de taronja respecte al total del cercle.

2. Indicar si la fracció $\frac{9}{24}$ és equivalent a la representada a la imatge. Justifica la teva resposta simplificant totes dues fraccions.

Tres amics estan competint en una cursa d'obstacles de 100 metres. En un moment determinat, les seves posicions són les següents:

• Ana ha recorregut $\frac{2}{5}$ del total.

• Beto ha recorregut $\frac{3}{4}$ del total.

• Carla ha recorregut $\frac{7}{10}$ del total.

• Calcula quants metres ha recorregut exactament cadascú.

• Ordena les fraccions de menor a major utilitzant el símbol $<$.

• Situa aproximadament la posició de l'Ana (A), en Beto (B) i la Carla (C) a la recta numèrica mostrada a continuació.

Classifica els nombres decimals següents segons siguin exactes, periódics purs o periódics mixtos. Després, expressa els que siguin exactes en forma de fracció irreductible.

1. a) $3,25$
2. b) $7,1111\dots$
3. c) $0,25$
4. d) $5,0424242\dots$

En un videojoc d'estratègia, el mapa està dividit en diferents zones segons el terreny.

El mapa total ocupa 1200 píxels quadrats.

• El bosc ocupa $\frac{1}{3}$ del mapa.

• L'aigua ocupa $\frac{1}{4}$ del mapa.

• La resta és desert.

• Quants píxels quadrats ocupa el bosc?

• Quants píxels quadrats ocupa l'aigua?

• Calcula quina fracció irreductible del mapa representa el desert.

Fes les operacions següents amb fraccions. Recorda que per sumar o restar has d'obtenir primer el mínim comú múltiple (m.c.m.) dels denominadors. Expressa el resultat en forma de fracció irreductible.

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

1. b) $\frac{4}{5} - \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$

L'emmagatzematge del teu telèfon mòbil es reparteix de la manera següent:

• Les fotos ocupen $\frac{2}{5}$ de l'espai.

• Les aplicacions ocupen $\frac{1}{3}$ de l'espai.

• Quina fracció del total ocupen les fotos i les aplicacions juntes?

• Si la resta de l'espai està lliure, quina fracció representa l'espai lliure?

• Si la capacitat total del telèfon és de 60 GB, quants GB queden lliures?

Calcula els productes i les divisions de fraccions següents. Recorda simplificar el resultat final si és possible.

1. a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$

1. b) $\frac{2}{5} : \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{5}{6} \cdot (-2)$

Nota: Recorda la regla dels signes i que un nombre enter té denominador 1.

La Marta ha comprat una pizza rectangular gran per sopar. En obrir la caixa, veu que la pizza ve tallada en 24 trossos iguals.

• La Marta es menja 4 trossos.

• El seu germà Luis es menja 6 trossos.

• Els seus pares es mengen 8 trossos entre tots dos.

• Escriu la fracció de pizza que s'ha menjat cadascú (Marta, Luis i pares). Simplifica-les al màxim.

• Quina fracció de la pizza ha sobrat? Expressa el resultat com a fracció irreductible.

En Marcos està resolent un exercici de potències a classe i comet un error molt comú. A la seva llibreta hi apareix escrit el següent:

$$\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = -\left(\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$$

La seva comanys Lucía l'adverteix que el resultat final està malament perquè ha aplicat de manera incorrecta el significat de l'exponent negatiu i el tractament del signe de la base.

1. Explica raonadament quins dos errors conceptuals ha comès en Marcos en el seu desenvolupament.

2. Escriu el desenvolupament correcte pas a pas, aplicant les propietats de les potències de nombres racionals, i indica la fracció irreductible resultant.

Abans de calcular de manera exacta el valor de la següent expressió:

$$E = \left(1 - \frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2$$

1. Estima: Sense fer operacions numèriques llargues sobre el paper, reflexiona i respon de manera justificada:

2. La base $\left(1 - \frac{2}{3}\right)$, és un nombre menor o major que $1$? En elevar-lo al cub, el resultat es fa més gran o més proper a zero?

3. La base $\frac{5}{2}$, és major o menor que $2$? Quant val aproximadament el seu quadrat?

4. Amb aquestes dues deduccions, estima si el valor final d'$E$ serà menor que $1$, estarà entre $1$ i $2$, o serà major que $2$.

5. Comprova: Fes ara el càlcul exacte d'$E$ respectant la jerarquia de les operacions, obtén la fracció irreductible i calcula el seu valor decimal arrodonit a dues xifres per comprovar si la teva estimació inicial era correcta.

Calcula el valor de l'operació combinada següent, respectant la jerarquia de les operacions (parèntesis, potències, multiplicacions/divisions, sumes/restes). Has de simplificar el resultat final fins a obtenir la fracció irreductible.

$$ \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 : \frac{5}{8} - \left( 1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \right) $$

El teu telèfon mòbil té una capacitat d'emmagatzematge total desconeguda. El sistema operatiu ocupa $\frac{1}{6}$ de la memòria total. De la que queda lliure, les teves aplicacions i jocs n'ocupen $\frac{3}{5}$. Si al final et queden lliures 32 GB per a les teves fotos i vídeos:

1. a) Quina fracció del total representa la memòria lliure per a fotos?
2. b) Quina és la capacitat total d'emmagatzematge del telèfon en GB?

Ajuda't de l'esquema gràfic següent per visualitzar el problema:

Classifica els nombres decimals següents (exacte, periòdic pur o periòdic mixt) i troba la seva fracció generatriu. Una vegada obtingudes les fraccions, fes l'operació següent i simplifica el resultat:

$$ 1,2\widehat{5} - 0,\widehat{6} $$

Al laboratori de Física hem mesurat la longitud d'una taula i el gruix d'una moneda. Els resultats han estat:

• Longitud de la taula: valor real $120 \text{ cm}$, valor mesurat $118 \text{ cm}$.

• Gruix de la moneda: valor real $2 \text{ mm}$, valor mesurat $2,5 \text{ mm}$.

Calcula l'error absolut i l'error relatiu (en percentatge) de cada mesurament. Quina de les dues mesures ha estat més precisa? Justifica la teva resposta basant-te en l'error relatiu.

Representa a la recta numèrica els nombres racionals $\frac{7}{4}$ i $-\frac{2}{3}$.

Per fer-ho, utilitza el Teorema de Tales o la divisió de segments per ubicar els punts de manera exacta, no aproximada.

Dibuixa al teu quadern una recta com la següent, amb els nombres enters marcats (convé que la unitat sigui gran, per exemple 6 cm), i fes-hi sobre la teva construcció:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tres amics compren un regal d'aniversari que costa 60 €.

• L'Ainhoa aporta $\frac{1}{3}$ del preu total.

• En Beto aporta $\frac{2}{5}$ del preu total.

• La Carla paga la resta.

1. a) Quina fracció del total paga la Carla?
2. b) Quants diners en euros posa cadascú?

Es deixa caure una pilota de goma des d'una altura de 27 metres. En cada rebot, la pilota puja una altura equivalent a $\frac{2}{3}$ de l'altura anterior.

1. a) Escriu la fracció i l'altura en metres que aconsegueix després del primer rebot.
2. b) Escriu la fracció i l'altura en metres que aconsegueix després del segon rebot.
3. c) A quina altura pujarà després del tercer rebot?

Disposem d'un bidó d'oli amb una capacitat de 120 litres.

Volem envasar tot l'oli en dos tipus de recipients:

• Omplim 40 ampolles de $\frac{3}{4}$ de litre cadascuna.

• La resta de l'oli l'envasem en garrafes de $1,5$ litres.

Quantes garrafes de 1,5 litres necessitarem per envasar l'oli restant?

Nota: Recorda que 1,5 litres es pot expressar com la fracció $\frac{3}{2}$.

En un examen de 3r d'ESO es planteja simplificar al màxim la següent operació combinada amb potències:

$$A = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right)^{-2}}{\left(\frac{8}{27}\right)^{-1}}$$

Dos alumnes proposen camins diferents per arribar a la fracció irreductible:

• Mètode de Sergio: Desenvolupar directament els nombres naturals (elevar $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, invertir $(-4/9)$ a $(-9/4)^2 = 81/16$, etc.), multiplicar les fraccions resultants i finalment simplificar dividint entre el màxim comú divisor.

• Mètode d'Irene: Descompondre tots els nombres que apareixen en factors primers ($4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $8 = 2^3$, $27 = 3^3$), expressar cada potència amb bases $2$ i $3$, gestionar els signes de les bases i operar sumant o restant exponents mitjançant les propietats de les potències.

• Resol l'expressió utilitzant el Mètode d'Irene detallant cada pas.

• Compara ambdós mètodes i justifica per què el d'Irene és molt més convenient i segur que el de Sergio quan treballem amb nombres racionals i potències elevades.

A causa d'un perllongat període sense precipitacions al sud d'Espanya, els tècnics del Ministeri per a la Transició Ecològica analitzen la reserva d'aigua d'un embassament que té una capacitat màxima de $160\text{ hm}^3$. A començaments de juny, l'embassament es troba a $\frac{3}{4}$ de la seva capacitat total.

Durant els mesos de juny, juliol i agost, l'aigua no rep aportacions de pluja i, a causa del reg i de l'evaporació, el volum retingut al final de cada mes passa a ser exactament els $\frac{4}{5}$ del volum que hi havia al final del mes precedent.

1. Modela la situació escrivint una única expressió matemàtica amb potències de fraccions que representi la fracció de la capacitat màxima total de l'embassament que queda en acabar els tres mesos.

2. Les normatives de conca obliguen a activar un protocol d'emergència si les reserves cauen per sota dels $65\text{ hm}^3$. Calcula el volum exacte d'aigua disponible en finalitzar l'agost (en forma de fracció irreductible i en valor decimal amb coma) i determina de manera justificada si cal activar aquest protocol.

Calcula el valor exacte de la següent expressió combinada. Per fer-ho, has de convertir prèviament tots els nombres decimals a la seva fracció generatriu irreductible i simplificar cada pas abans d'operar. Vinga amb compte amb la jerarquia de les operacions i els signes negatius.

$$ \frac{2^{-2} - \left( 1,1\widehat{6} - \frac{5}{6} \right)^{-1} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}}}{0,\widehat{3} \cdot \left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + 2,5} $$

Nota: Recorda que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Un grup d'estudiants de 3r d'ESO està organitzant el finançament per al seu viatge de fi de curs. Han dissenyat un pla de recaptació per etapes:

1. En la primera etapa (venda de loteria), van aconseguir recaptar $\frac{2}{5}$ del cost total del viatge.

2. En la segona etapa (torneig d'e-sports), van recaptar $\frac{3}{4}$ del que els faltava per aconseguir després de la primera etapa.

3. En la tercera etapa (mercat solidari), van aconseguir $\frac{2}{3}$ de la nova resta que els quedava.

Si després d'aquestes tres etapes encara els falten 150 € per cobrir el cost total:

1. a) Quina fracció del total representa el que s'ha recaptat en la tercera etapa?
2. b) Quin és el cost total del viatge?
3. c) Quants diners van recaptar en el torneig d'e-sports?

Recolza't en el diagrama de barres següent per visualitzar les fraccions de resta:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues impressores 3D estan treballant per imprimir les peces d'un projecte de tecnologia.

• La impressora model A (més antiga) trigaria 6 hores a imprimir totes les peces ella sola.

• La impressora model B (d'última generació) trigaria només 4 hores a fer el mateix treball complet en solitari.

Per accelerar el procés, es posen totes dues a funcionar simultàniament. Tanmateix, després d'1 hora i mitja funcionant juntes, la impressora B s'avaria i s'atura.

1. a) Quina fracció del treball total han completat juntes abans de l'avaria?
2. b) Quina fracció del treball queda pendent?
3. c) Quant de temps extra trigarà la impressora A a acabar el treball restant ella sola? Expressa el resultat en hores i minuts.

Tenim una peça quadrada de material conductor per a un circuit. Es fan talls successius seguint un patró geomètric fractal:

1. El quadrat original es divideix en 4 quadrats iguals i s'elimina (es pinta de negre) el quadrat superior esquerre.

2. Dels 3 quadrats verds restants, cadascun es torna a dividir en 4 quadrats iguals i s'elimina el superior esquerre de cadascun d'ells.

Observa la figura generada després del segon pas:

1. a) Escriu l'operació combinada de fraccions que calcula quina part de l'àrea total ha estat eliminada (zones ombrejades) després del segon pas.
2. b) Si el costat del quadrat original mesura $1 \text{ m}$, quants $\text{cm}^2$ de material "blanc" (no eliminat) queden després del segon pas?

Troba una fracció irreductible $\frac{a}{b}$ tal que sigui el resultat d'operar:

$$ 2,3\widehat{1} - 0,\widehat{5} + \frac{1}{11} \cdot 0,5 $$

Si intentes fer aquesta operació convertint a decimals i operant, obtindràs un error d'aproximació. Demostra algebraicament, fent servir fraccions generatrius, que el resultat és exacte.

A continuació, calcula l'error absolut i l'error relatiu (en %) que es cometria si aproximéssim el nombre $2,3\widehat{1}$ simplement per $2,31$ abans de començar a operar.

Un biòleg està preparant un cultiu de bacteris i necessita una temperatura ambient molt específica.

El termòstat del laboratori té una escala una mica estranya marcada en fraccions de grau.

La temperatura ideal $T$ ha de complir la condició de distància següent (valor absolut):

$$ \left| T - \frac{25}{4} \right| \leq \frac{3}{8} $$

1. a) Representa a la recta numèrica el conjunt de tots els valors possibles de temperatura $T$ (interval).
2. b) Escriu l'interval solució utilitzant desigualtats i fraccions.
3. c) Seria vàlida una temperatura de $6,65^\circ \text{C}$? Justifica la teva resposta operant amb fraccions.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tenim tres dipòsits de suc amb diferents capacitats:

• Dipòsit A: Ple fins a $\frac{3}{5}$ de la seva capacitat.

• Dipòsit B: Ple fins a $\frac{5}{6}$ de la seva capacitat.

• Dipòsit C: Buit, amb una capacitat de 100 litres.

Sabem que la capacitat total del dipòsit A és $\frac{2}{3}$ de la capacitat del dipòsit B.

Si aboquem el contingut actual d'A i de B dins del dipòsit C, la mescla ocupa exactament $\frac{11}{20}$ de la capacitat de C.

Calcula la capacitat màxima (volum total) dels dipòsits A i B.

Una pilota de goma molt elàstica es deixa caure des d'una altura de 243 cm.

Cada vegada que rebot al terra, la pilota ascendeix a una altura que és igual a $\frac{2}{3}$ de l'altura des de la qual va caure anteriorment.

1. a) Escriu la seqüència d'altures (en forma de potències i fraccions) que aconsegueix la pilota en el primer, segon i tercer rebot.
2. b) A quina altura pujarà després del cinquè rebot? Expressa el resultat com a fracció irreductible i després passa'l a decimal.
3. c) Quina distància total haurà recorregut la pilota (sumant baixades i pujades) just quan toqui el terra per quarta vegada?

Es té la següent igualtat en la qual intervé una potència amb exponent enter desconegut $x$:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{-2} : \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} = \frac{27}{8}$$

1. Expressa totes les potències i el resultat final com a potències d'una única fracció base de la forma $\frac{3}{2}$. Aplica les propietats de les potències d'exponent negatiu i de potències d'una potència.

2. Planteja una equació senzilla amb els exponents i dedueix de manera justificada el valor enter de $x$.

3. Troba ara una fracció irreductible positiva $\frac{a}{b}$ i un exponent enter estrictament negatiu $n < 0$ tals que en multiplicar $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ pel resultat de l'expressió original ($\frac{27}{8}$) s'obtingui exactament la unitat ($1$). Justifica la teva elecció.

El departament de tecnologia d'un institut compra un lot d'ordinadors portàtils valorat en $9\,600\text{ €}$. Per l'ús intensiu i el desfasament tecnològic, els equips pateixen una amortització contínua: cada any perden una tercera part del valor comptable que tenien l'any anterior.

El centre rumia dues opcions per a quan els equips compleixin una certa antiguitat:

• Pla Renove als 3 anys ($t = 3$): Vendre el lot a una empresa de recondicionament pel valor comptable exacte que tinguin en aquell moment.

• Pla Renove als 4 anys ($t = 4$): Mantenir els ordinadors un any més al centre i vendre'ls als 4 anys pel seu valor comptable en aquella data, però afegint-hi un ajut fix institucional de reciclatge digital dotat amb $300\text{ €}$ per al centre escolar.

• Escriu la fórmula que expressi el valor comptable $V(t)$ en funció dels anys transcorreguts $t$, utilitzant una potència de base racional irreductible.

• Calcula el valor comptable exacte del lot al cap de $3$ anys i al cap de $4$ anys, simplificant les fraccions abans d'obtenir l'import en euros.

• Analitza quin dels dos plans reporta més ingressos econòmics a l'institut i calcula la diferència econòmica exacta entre ambdues opcions.