Exercicis: Problemes amb fraccions

En una classe de 3r d'ESO hi ha 28 estudiants. S'ha realitzat una enquesta sobre les seves preferències d'oci i s'ha descobert que $\frac{3}{7}$ de la classe prefereix fer esport abans que mirar sèries.

Calcula quants estudiants prefereixen fer esport i quants prefereixen mirar sèries, assumint que tots han triat una de les dues opcions.

El teu telèfon mòbil té una bateria de llarga durada. Després d'utilitzar-lo durant tot el matí per escoltar música, observes que l'indicador de bateria mostra que et queda un $25\%$ de càrrega, la qual cosa equival a la fracció $\frac{1}{4}$.

Si el telèfon t'indica que aquest $\frac{1}{4}$ restant correspon a 3 hores d'ús:

1. a) Quantes hores d'ús té la bateria quan està carregada al $100\%$?
2. b) Quantes hores has estat escoltant música?

Ajuda't del següent esquema visual per deduir la resposta.

Dos amics, Alex i Bea, estan competint per veure qui completa abans els reptes setmanals d'una app d'idiomes. A la figura, cada barra completa representa el total de reptes.

• Alex ha completat $\frac{2}{3}$ dels reptes.

• Bea ha completat $\frac{5}{8}$ dels reptes.

Representa ambdues fraccions reduint-les a comú denominador i determina: qui va guanyant la competició actualment?

Per al viatge de fi de curs, els alumnes venen paperetes.

• El grup A ha venut $\frac{1}{3}$ del total de les paperetes.

• El grup B ha venut $\frac{2}{5}$ del total.

• El grup C ha venut la resta.

1. a) Calcula quina fracció del total de paperetes han venut entre el grup A i el grup B.
2. b) Quina fracció de les paperetes ha hagut de vendre el grup C?

Després d'una festa d'aniversari, ha sobrat pastís. Observant la imatge, veiem que queda al plat $\frac{1}{4}$ del pastís original. Si el tros que ha sobrat pesa 300 grams:

1. a) Quant pesava el pastís sencer abans de començar la festa?
2. b) Quants grams de pastís s'han menjat els convidats?

Un streamer vol fer un directe de 4 hores de durada. Ha planificat el temps de la manera següent:

• Dedicarà $\frac{1}{5}$ del temps a xerrar amb el xat (Just Chatting).

• Dedicarà $\frac{3}{4}$ del temps a jugar al seu joc preferit.

• La resta del temps la farà servir per veure vídeos de riure.

Calcula quants minuts dedicarà a cadascuna de les tres activitats.

Un dipòsit d'aigua per al reg d'un hort escolar té una capacitat total de 1200 litres.

Durant una setmana molt calorosa, s'han consumit $\frac{5}{6}$ de l'aigua del dipòsit.

1. a) Quants litres d'aigua s'han gastat?
2. b) Representa gràficament la situació i calcula quants litres queden al dipòsit.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Salma té una llista de reproducció de música amb 120 cançons.

• $\frac{1}{2}$ de les cançons són de Pop.

• $\frac{1}{3}$ de les cançons són de Rock.

• La resta són de Música Electrònica.

1. a) Quantes cançons són de Pop i quantes són de Rock?
2. b) Quina fracció del total representen les cançons de Música Electrònica? (Recorda simplificar el resultat si és possible).

En Marcos ha rebut $60$ € de regal pel seu aniversari i planifica les seves despeses del cap de setmana. Dissabte gasta $\frac{1}{3}$ dels diners totals a comprar un llibre. Diumenge decideix gastar $\frac{1}{2}$ del que li quedava en una entrada per a un concert. Per saber quants diners li sobren, en Marcos fa l'operació següent: «Com que vaig gastar un terç i després un mig, en total he gastat $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ dels meus diners, així que em queda $\frac{1}{6}$ de $60$ €, que són $10$ €».\na) Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos en sumar directament totes dues fraccions i explica per què $\frac{1}{2}$ no es refereix a la mateixa quantitat de referència que $\frac{1}{3}$.\nb) Corregeix el procediment calculant, pas a pas, quina fracció del total real va gastar diumenge, quina fracció del total li queda al final i quants diners té exactament a la butxaca.

Una senderista fa una etapa de $30\text{ km}$ de la «Senda del Oso» a Astúries. Durant el matí recorre $\frac{3}{5}$ del trajecte total. A la tarda, a causa del cansament, només avança $\frac{1}{4}$ de la distància que li quedava per recórrer, moment en què decideix aturar-se a descansar fins a l'endemà.\na) Abans de fer els càlculs amb quilòmetres exactes, fes una estimació raonada: ha recorregut la senderista en total més o menys de les tres quartes parts ($75\,\%$) de l'etapa completa? Justifica la teva predicció.\nb) Calcula amb exactitud quina fracció del total de l'etapa va recórrer a la tarda i quants quilòmetres li falten encara per arribar al final.\nc) Comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) ha estat encertada calculant la diferència exacta en quilòmetres respecte al $75\,\%$ de l'etapa.

Imagina que tens una tarifa de dades mòbils mensual. Durant la primera setmana del mes, has consumit $\frac{1}{3}$ del total de les teves dades mirant vídeos en línia. Durant la segona setmana, has gastat $\frac{2}{5}$ del que et quedava navegant per xarxes socials.

1. a) Quina fracció del total de les teves dades has consumit en aquestes dues setmanes?
2. b) Si encara et queden 2 GB disponibles per a la resta del mes, quants GB tenia la teva tarifa inicialment?

Un grup d'estudiants està organitzant un viatge de fi de curs. Per finançar-lo, decideixen vendre paperetes per a una rifa. El primer mes venen $\frac{3}{8}$ del total de les paperetes. El segon mes, fan un esforç i venen $\frac{2}{3}$ de les paperetes que els quedaven per vendre.

1. a) Quina fracció del total de paperetes els queda encara per vendre després del segon mes?
2. b) Si al final els han sobrat 150 paperetes sense vendre, quantes paperetes tenien al principi per a la rifa?

En una fàbrica de perfums tenen un dipòsit gran amb 24 litres d'essència de lavanda. Han d'envasar tot el contingut en frascos petits per vendre'l.

1. a) Si cada frasc té una capacitat de $\frac{3}{4}$ de litre, quants frascos poden omplir completament?
2. b) Si canvien de format i utilitzen frascos més petits de $\frac{3}{8}$ de litre, quants frascos necessitaran ara? Explica la relació entre el resultat de l'apartat a) i el del b).

Una pilota de goma molt elàstica es deixa caure des d'una certa alçària. A causa de la pèrdua d'energia, cada vegada que rebota s'eleva només $\frac{3}{5}$ de l'alçària des de la qual va caure en el bot anterior.

Després de rebotar dues vegades (cau, rebota, puja, torna a caure, rebota i puja), la pilota arriba a una alçària de 54 cm.

1. a) Quina fracció de l'alçària inicial representa l'alçària després del segon bot?
2. b) Des de quina alçària inicial es va deixar caure la pilota?

En la final d'un torneig de bàsquet, es comparen les estadístiques de tirs lliures de dos jugadors. El jugador A va encistellar 12 dels 15 tirs lliures que va llançar. El jugador B va llançar 20 tirs lliures i en va encistellar 17.

1. a) Escriu la fracció d'encerts de cada jugador i simplifica-les si és possible.
2. b) Redueix les fraccions a comú denominador per determinar quin jugador va tenir millor punteria (major proporció d'encerts).
3. c) Si el jugador A hagués llançat els mateixos 20 tirs que el jugador B mantenint la seva proporció d'encert, quantes cistelles hauria encistellat?

Un hort urbà comunitari de $600 m^2$ es divideix per cultivar diferents hortalisses. Es dediquen $\frac{1}{4}$ del terreny a tomàquets i $\frac{2}{5}$ del terreny a pebrots. La resta del terreny es divideix en parts iguals per plantar enciams i pastanagues.

1. a) Quina fracció del total de l'hort es dedica a enciams?
2. b) Quants metres quadrats ocupa el cultiu de pastanagues?

Estàs descarregant un videojoc nou que ocupa molt d'espai al disc dur. Quan la barra de descàrrega porta $\frac{2}{7}$ completats, la teva connexió a internet es talla. En reconnectar, la descàrrega continua i avança $\frac{3}{5}$ del que faltava per descarregar.

1. a) Quina fracció del total del joc s'ha descarregat després de la segona etapa?
2. b) Si encara falten 4 GB perquè acabi la descàrrega completa, quant ocupa el videojoc en total?

En una classe de 3r d'ESO es realitza una votació per triar el destí de l'excursió de fi de curs. $\frac{1}{3}$ dels alumnes vota anar a un parc d'atraccions. $\frac{2}{9}$ vota anar a la muntanya. La resta de la classe, que són 12 alumnes, vota anar a la platja.

1. a) Quina fracció de la classe va votar per anar a la platja?
2. b) Quants alumnes hi ha en total a la classe?
3. c) Quants alumnes van votar pel parc d'atraccions i quants per la muntanya?

Segons les dades del butlletí hidrològic del Ministeri per a la Transició Ecològica, un embassament peninsular acumulava una reserva d'aigua determinada a l'inici de la primavera. Al llarg de l'estació, els regadius i el consum urbà van gastar $\frac{3}{8}$ de l'aigua embassada. Posteriorment, durant els mesos d'estiu, es va evaporar $\frac{1}{5}$ de l'aigua que encara quedava a l'embassament. Finalment, per mantenir el cabal ecològic del riu, es van alliberar $20\text{ hm}^3$, i va quedar a l'embassament un volum final de $60\text{ hm}^3$.\na) Modela la situació plantejant una única expressió encadenada amb operacions de fraccions que representi la fracció d'aigua inicial que quedava just abans d'alliberar el cabal ecològic.\nb) Determina raonadament quants hectòmetres cúbics ($hm^3$) d'aigua hi havia emmagatzemats a l'embassament a començaments de la primavera.\nc) Si la capacitat màxima absoluta d'aquest embassament és de $250\text{ hm}^3$, a quin percentatge de la seva capacitat total es trobava en començar la primavera? Expressa el resultat com a fracció irreductible i com a percentatge.

Per organitzar la biblioteca del centre escolar, els estudiants de 3r d'ESO s'encarreguen de catalogar un lot de llibres acabats de rebre. Dilluns cataloguen $\frac{2}{7}$ del total de llibres. Dimarts cataloguen $\frac{3}{5}$ dels que quedaven sense registrar. Dimecres conclouen la feina catalogant els últims $40$ llibres. Per esbrinar quants llibres tenia el lot en total, dues estudiants proposen camins diferents:\n- La Lucía proposa calcular dia a dia la fracció restant respecte al total multiplicant les fraccions que van quedant: $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$, i després calcular la fracció del total que representen els llibres de dimecres.\n- La Sara proposa plantejar una equació de primer grau anomenant $x$ el nombre total de llibres: $\frac{2}{7}x + \frac{3}{5}\left(x - \frac{2}{7}x\right) + 40 = x$.\na) Resol el problema aplicant el mètode aritmètic de fraccions encadenades de la Lucía fins a trobar el nombre total de llibres.\nb) Resol el problema aplicant el mètode algebraic de l'equació de la Sara i comprova que s'arriba a la mateixa solució.\nc) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos et sembla més directe i amb menys risc de cometre errors amb els denominadors en aquest tipus d'enunciats.

Un dipòsit d'aigua per al reg d'un hort ecològic s'omple mitjançant dues aixetes. L'aixeta A, que té un cabal més gran, és capaç d'omplir el dipòsit buit en 4 hores. L'aixeta B, més antiga i lenta, triga 6 hores a omplir-lo per complet. Un dia, el dipòsit està buit i l'agricultor obre totes dues aixetes a la vegada, però al cap d'una hora i mitja (1,5 h), l'aixeta A s'avaria i deixa de tirar aigua.

Calcula quina fracció del dipòsit queda per omplir en aquell moment i quant de temps trigarà l'aixeta B, treballant sola, a acabar d'omplir-lo.

Tres amics, Alex, Bea i Carlos, decideixen comprar un regal comú per a un aniversari. Alex aporta $\frac{2}{5}$ del preu total del regal. Bea decideix posar $\frac{3}{4}$ del que li faltava per pagar del regal després de l'aportació d'Alex. Finalment, Carlos posa els $15$ € restants per completar el preu.

Determina:

1. a) Quina fracció del total va pagar Carlos?
2. b) Quin era el preu total del regal?
3. c) Quants diners va posar cadascun dels altres dos amics?

Una pilota de bàsquet de competició es deixa caure des d'una certa alçària. A causa de la pèrdua d'energia, en cada bot la pilota s'eleva $\frac{2}{3}$ de l'alçària des de la qual va caure en el bot anterior. Després de picar a terra per tercera vegada, la pilota s'eleva fins a una alçària de $56$ cm.

Calcula l'alçària inicial des de la qual es va deixar caure la pilota. Expressa el resultat en metres.

Estem preparant dues barreges de pintura per a un mural d'art urbà.

• El Pot A conté una barreja de $1\frac{1}{2}$ litres, on $\frac{1}{3}$ és pintura blava i la resta és pintura blanca.

• El Pot B conté $\frac{3}{4}$ de litre d'una barreja on $\frac{2}{5}$ és pintura blava i la resta és blanca.

Si aboquem el contingut de tots dos pots en una galleda gran per crear una barreja única:

1. a) Quin volum total de pintura tenim?
2. b) Quina fracció del volum total de la nova barreja correspon a la pintura blava?

Un ciclista està realitzant una etapa de muntanya. Ha recorregut els $\frac{3}{7}$ del trajecte total quan s'atura a avituallar-se. Continua la seva marxa i recorre $\frac{2}{5}$ del que li quedava fins a arribar a un port de muntanya. En aquest punt, consulta el seu GPS i veu que encara li falten $18$ km per arribar a la meta.

Quants quilòmetres té l'etapa en total i quants quilòmetres ha recorregut en el primer tram abans de l'avituallament?

En un institut s'està organitzant el viatge de fi de curs. Inicialment, $\frac{1}{6}$ dels alumnes de 3r d'ESO decideixen no anar-hi. De la resta d'alumnes que sí que estaven interessats, finalment es donen de baixa $\frac{2}{15}$ perquè les dates no els van bé. Si al final van al viatge $130$ alumnes:

1. a) Quina fracció del total d'alumnes de 3r d'ESO ha anat finalment al viatge?
2. b) Quants alumnes hi ha en total a 3r d'ESO?
3. c) Quants alumnes es van donar de baixa per les dates?

Un agricultor té una parcel·la de terra rectangular. Dedica $\frac{2}{5}$ de la superfície a cultivar blat. Del terreny restant, utilitza $\frac{3}{4}$ per cultivar blat de moro. La resta de la parcel·la, que són $600\text{ m}^2$, es deixa en guaret (sense cultivar).

Sabent que la parcel·la té una amplada de $40$ metres, calcula la longitud (la llargària) de la parcel·la.

Una famosa creadora de contingut de videojocs observa com baixen les visualitzacions d'un dels seus vídeos antics al llarg del temps.

El primer mes, el vídeo rep una certa quantitat de visites.

El segon mes, les visites baixen $\frac{1}{4}$ respecte al mes anterior.

El tercer mes, les visites baixen $\frac{2}{5}$ respecte a les que hi va haver el segon mes.

Si en el tercer mes el vídeo va tenir $10.800$ visualitzacions.

Quantes visualitzacions va tenir el vídeo el primer mes?

En un centre esportiu municipal s'analitza la inscripció dels seus abonats en tres àrees exclusives: natació, sala de musculació o classes dirigides.\nEs coneixen les condicions següents:\n1. Una fracció unitària $\frac{1}{n}$ (amb $n$ enter més gran que $1$) dels socis practica natació. A més, se sap que menys de la meitat dels socis practica aquest esport i que $n$ és un nombre parell.\n2. Dels socis restants, una altra fracció unitària $\frac{1}{m}$ practica musculació.\n3. Els $180$ socis que queden assisteixen a classes dirigides, cosa que representa exactament els $\frac{3}{8}$ del cens total d'abonats del centre.\na) A partir de la dada de les classes dirigides, calcula el nombre total d'abonats que té el centre esportiu.\nb) Planteja l'equació fraccionària corresponent i dedueix els únics valors enters de $n$ i $m$ que fan coherent el problema, demostrant per què no hi pot haver altres solucions.\nc) Redacta el «problema directe» invers: escriu l'enunciat complet tal com el plantejaries a un company, utilitzant els valors de $n$, $m$ i el total que has trobat, de manera que la incògnita a calcular siguin els $180$ socis finals.

Dues cooperatives agrícoles andaluses, OleoSur i MonteOlivo, han obtingut exactament la mateixa collita en quilograms d'oliva a l'inici de la campanya. Cadascuna adopta una estratègia comercial diferent per vendre la seva producció en dues fases:\n- OleoSur ven al novembre $\frac{2}{5}$ de la seva collita total. Al gener ven $\frac{1}{3}$ del que li quedava després de la primera venda.\n- MonteOlivo ven al novembre $\frac{1}{3}$ de la seva collita total. Al gener ven $\frac{2}{5}$ del que li quedava després d'aquella primera venda.\na) Abans de calcular quilos, diversos socis de MonteOlivo afirmen que a ells els quedarà més oliva per a autoconsum que a OleoSur perquè al novembre van vendre una fracció menor del total ($\frac{1}{3} < \frac{2}{5}$). Demostra algebraicament quina fracció del total de la seva collita conserva cada cooperativa en finalitzar el gener i indica si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa.\nb) Si a MonteOlivo li han sobrat exactament $24\,000\text{ kg}$ d'oliva sense vendre, calcula quants quilograms va collir en total cada cooperativa i quants quilos va vendre cadascuna d'elles al novembre i al gener.\nc) A partir dels resultats obtinguts, explica raonadament la paradoxa aparent següent: com és possible que a les dues cooperatives els sobri exactament la mateixa quantitat final d'oliva si en cap dels dos mesos no van vendre el mateix nombre de quilograms?

Repte del tema. És realment fiable el pronòstic meteorològic? Converteix-te en analista de dades climàtiques consultant el web oficial de l'AEMET del teu municipi.

1. Recollida de dades: Anota la probabilitat de precipitació prevista per als pròxims $4$ dies. Transforma cada percentatge en fracció irreductible i expressa'l també en forma decimal identificant el tipus de decimal obtingut.

2. Aproximació i errors: Registra les temperatures màximes previstes (amb decimals si n'hi hagués, o pren-te la molèstia de mesurar la temperatura real amb un termòmetre a la mateixa hora). Arrodoneix els valors a les unitats i calcula l'error absolut i l'error relatiu comesos en cada aproximació.

3. Càlcul de probabilitats: Suposa que la probabilitat d'encert diari de la predicció és $p = \frac{4}{5} = 0,8$ i que l'encert de cada dia és independent del dels altres. Utilitzant les propietats de les potències de nombres racionals, calcula la probabilitat d'encertar el pronòstic durant els $4$ dies consecutius: $(\frac{4}{5})^4$. Compara el seu resultat fraccionari i decimal.

4. Producte final: Reuneix les teves taules i càlculs en un full de càlcul digital i redacta una breu conclusió argumentant la fiabilitat de les prediccions.

Es valorarà:

• Precisió en el pas entre fraccions i decimals.

• Càlcul correcte i interpretació dels errors absolut i relatiu.

• Aplicació rigorosa de potències de racionals al càlcul probabilístic.

• Organització, claredat i ús adequat del full de càlcul.