Exercicis: Representació en el pla

En l'aplicació de mapes del teu mòbil, el parc del teu barri apareix quadriculat sobre un sistema d'eixos cartesians. Observa la posició dels diferents elements i escriu les coordenades dels punts on es troben:

1. La font ($A$)

2. El banc ($B$)

3. La paperera ($C$)

4. El fanal ($D$)

Sense necessitat de representar-los gràficament, indica en quin quadrant es troben els punts següents que indiquen la posició de diversos jugadors en un servidor de videojocs:

• Jugador 1: $P_1(5, -2)$

• Jugador 2: $P_2(-3, -8)$

• Jugador 3: $P_3(-1, 4)$

• Jugador 4: $P_4(2, 6)$

Dibuixa a la teva llibreta un sistema d'eixos cartesians i representa els punts següents, que formen els vèrtexs d'una zona d'aterratge segura:

• $A(2, 3)$

• $B(-2, 3)$

• $C(-2, -3)$

• $D(2, -3)$

Quina figura geomètrica obtens quan uneixes els punts en ordre?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica les coordenades dels següents punts especials situats sobre els eixos de coordenades i explica per què la seva posició és característica:

En una xarxa social, la posició de dos amics ve donada pels punts $A(3, 2)$ i $B(3, -4)$.

1. a) Representa'ls en el pla.
2. b) Què tenen en comú les seves coordenades?
3. c) Si tracem una línia que passi per tots dos, seria una recta horitzontal o vertical?

Identifica el nom dels elements assenyalats en aquest sistema de referència cartesià:

1. La recta horitzontal (Eix de...)

2. La recta vertical (Eix de...)

3. El punt $(0,0)$ on es creuen.

4. Les quatre regions en què es divideix el pla.

Tres vèrtexs d'un rectangle són $A(-3, 1)$, $B(4, 1)$ i $C(4, -2)$.

1. a) Representa els tres punts en un pla cartesià.
2. b) Troba les coordenades del quart vèrtex $D$ per completar el rectangle.
3. c) En quin quadrant es troba el nou punt $D$?

Imagina que estàs dissenyant el mapa d'un tresor. El punt de partida és l'origen de coordenades $O(0,0)$ i cada quadrícula del pla representa 1 unitat. Les instruccions diuen:

"Camina 4 unitats cap a l'Est (dreta), després 3 unitats cap al Nord (amunt), després 6 unitats cap a l'Oest (esquerra) i finalment 2 unitats cap al Sud (avall)".

1. a) Escriu les coordenades de cada punt pel qual passes al final de cada tram del recorregut.

1. b) Indica les coordenades del punt final on es troba el tresor.

1. c) Copia el pla al teu quadern i representa'l: dibuixa el recorregut complet i marca el punt del tresor.

En un videojoc d'estratègia, la base principal està situada a l'origen de coordenades $O(0, 0)$. El radar detecta tres objectius enemics en les posicions següents: l'objectiu $A$ en $(-4, 3)$, l'objectiu $B$ en $(2, 5)$ i l'objectiu $C$ en $(3, -2)$.

Representa els punts en el pla cartesià i indica en quin quadrant es troba cadascun dels objectius enemics.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

Tres dels vèrtexs d'un rectangle destinat a una zona de patinatge estan situats als punts $P(-3, -2)$, $Q(4, -2)$ i $R(4, 3)$. El quart vèrtex s'anomena $S$.

1. a) Representa els punts al pla i dibuixa el rectangle.

1. b) Determina les coordenades del quart vèrtex $S$ perquè la figura sigui un rectangle.

1. c) Calcula el perímetre de la zona de patinatge sabent que cada unitat del pla equival a $2$ metres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sense necessitat de representar els punts, indica en quin quadrant o eix es troben els punts següents basant-te en el signe de les seves coordenades. Justifica la teva resposta raonant si l'abscissa o l'ordenada són positives, negatives o nul·les:

• $A(0, -5)$

• $B(-2, -8)$

• $C(4, 0)$

• $D(-1, 7)$

• $E(3, -3)$

Un dron de vigilància realitza un recorregut fotogràfic seguint una trajectòria en línia recta. Se sap que passa pel punt de control $M(1, 2)$ i pel punt d'avituallament $N(3, 6)$.

1. a) Representa tots dos punts en el pla cartesià.

1. b) Si el dron continua en la mateixa direcció, indica si passarà pel punt $P(5, 10)$ o pel punt $Q(4, 7)$. Comprova-ho gràficament traçant la recta que uneix $M$ i $N$.

El logotip d'una nova marca de roba és simètric respecte a l'eix d'ordenades ($Eje\ Y$). La part dreta del logotip està definida pels punts $A(0, 5)$, $B(2, 4)$ i $C(3, 0)$.

1. a) Obtén les coordenades dels punts simètrics $B'$ i $C'$ respecte a l'eix $Y$.
2. b) Representa els cinc punts en el pla i uneix-los en ordre ($C'-B'-A-B-C$) per visualitzar la forma del logotip.

Donada la taula de valors següent que relaciona l'entrada ($x$) amb la sortida ($y$) d'una funció:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

1. a) Representa els punts resultants en un sistema de coordenades cartesianes.
2. b) Quina figura geomètrica semblem formar els punts si els uníssim amb una línia corba suau?
3. c) Indica les coordenades del punt on la funció assoleix el seu valor mínim.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula l'àrea d'un triangle els vèrtexs del qual són els punts $A(-2, 1)$, $B(4, 1)$ i $C(1, 6)$.

Per resoldre'l:

1. Representa els punts en un pla cartesià (et anirà bé fer servir paper quadriculat) i dibuixa el triangle $ABC$.

2. Identifica quina és la base del triangle i quant mesura (unitats de l'eix $X$).

3. Identifica l'altura corresponent a aquesta base i quant mesura (unitats de l'eix $Y$).

4. Aplica la fórmula de l'àrea del triangle: $Área = \frac{base \cdot altura}{2}$.

Escriu el resultat en unitats quadrades.

Observa la figura següent, que mostra el segment de recta que uneix els punts $A(-4, 2)$ i $B(2, -1)$.

1. Indica les coordenades del punt on el segment creua l'eix d'abscisses (eix $X$).

2. Indica les coordenades del punt on el segment creua l'eix d'ordenades (eix $Y$). Què tenen de particular tots dos punts de tall?

3. Quina d'aquestes expressions relaciona les coordenades dels punts del segment: $y = 2x$, $y = -\frac{x}{2}$ o $y = x - 2$? Comprova la teva elecció substituint les coordenades de $A$ i de $B$.

Tres vèrtexs d'un paral·lelogram són els punts $A(-4, 1)$, $B(2, 1)$ i $C(4, 5)$. Utilitza els teus coneixements sobre la representació al pla per fer les tasques següents:

1. a) Representa els punts al sistema d'eixos cartesians i determina les coordenades del quart vèrtex $D$ perquè els punts, presos en ordre alfabètic $A$, $B$, $C$, $D$, formin un paral·lelogram.

1. b) Calcula l'àrea del paral·lelogram prenent com a unitat el quadrat de la quadrícula.

1. c) Si reflectim el punt $A$ respecte a l'origen de coordenades $(0,0)$, en quin quadrant es trobaria el nou punt $A'$ i quines serien les seves coordenades?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dron de vigilància fa un trajecte sobre una zona industrial representada en un pla cartesià. El dron surt del punt $P(-6, -4)$ i vola en línia recta fins al punt $Q(2, 6)$.

1. a) Determina les coordenades del punt mitjà del trajecte, on el dron s'ha d'aturar per fer una fotografia d'alta resolució.

1. b) Si el dron es desvia de la seva ruta original i es desplaça des del punt mitjà calculat a l'apartat anterior 5 unitats cap a la dreta i 3 unitats cap avall, en quin quadrant es trobarà?

1. c) Calcula la distància total que recorreria el dron si anés directament des de l'origen de coordenades $O(0,0)$ fins al punt $Q(2,6)$.

Considera un triangle els vèrtexs del qual són $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ i un tercer vèrtex $C$ variable. A la figura tens els punts $A$ i $B$ ja situats al sistema d'eixos.

1. a) Si el vèrtex $C$ té per coordenades $(4, y)$, calcula el valor de $y$ perquè l'àrea del triangle sigui de $10$ unitats quadrades, sabent que $C$ és al primer quadrant.

1. b) Si ara el vèrtex $C$ se situa al punt $(a, b)$ de manera que el triangle $ABC$ sigui rectangle en $A$, tingui la mateixa àrea que a l'apartat anterior ($10$ unitats quadrades) i $C$ sigui també al primer quadrant, quines són les coordenades de $C$?

1. c) Representa gràficament tots dos triangles en un mateix sistema d'eixos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En el disseny d'un logotip circular, el centre de la circumferència es troba al punt $C(1, 2)$. Es sap que el punt $P(4, 6)$ pertany a la vora del logotip.

1. a) Representa el centre i el punt $P$ en el pla.

1. b) Troba un altre punt $Q$ que sigui simètric al punt $P$ respecte al centre $C$. Què representa el segment $PQ$ a la circumferència?

1. c) Si el logotip es trasllada 4 unitats a l'esquerra i 2 unitats cap avall, quines seran les noves coordenades del centre $C'$ i del punt $P'$?

Atès el polígon de vèrtexs $A(-2, 2)$, $B(2, 2)$, $C(4, -1)$ i $D(-4, -1)$:

1. a) Classifica el quadrilàter obtingut quan representis aquests punts i els uneixis en ordre.

1. b) Calcula el seu perímetre aproximat. (Ajuda: utilitza el teorema de Pitàgores per calcular la longitud dels costats oblics).

1. c) Si dupliquem la coordenada $y$ de tots els vèrtexs però mantenim la coordenada $x$ intacta, com canvia l'àrea de la figura resultant respecte a l'original?

Cerquem un punt secret $S(x, y)$ que compleix les condicions lògiques següents:

1. La seva abscissa és el nombre enter que resol l'equació $3(x - 2) = x + 4$.

2. La seva ordenada és el valor absolut de la solució de $\frac{y}{2} - 5 = -8$.

3. El punt pertany a una funció de proporcionalitat directa que passa pel punt $(1, -2)$.

1. a) Troba les coordenades del punt $S$ resolent les condicions 1 i 2.

1. b) Comprova si el punt $S$ trobat compleix la condició 3. Raona la teva resposta representant gràficament la funció de proporcionalitat.

1. c) Indica en quin quadrant es troba el punt $S$.

Un vaixell de rescat es troba al punt $R(0, 5)$ i rep un avís d'un nàufrag al punt $N(8, -1)$. A causa dels corrents, el vaixell només pot navegar amb trams horitzontals i verticals (seguint els eixos de coordenades i rectes paral·leles a ells) o bé movent-se en línia recta.

1. a) Representa els dos punts en un sistema d'eixos i dibuixa el camí més curt amb trams horitzontals i verticals. Quina distància recorreria en total si cada unitat del pla són 10 milles nàutiques?

1. b) Calcula la distància en línia recta (diagonal) entre el vaixell i el nàufrag. Quantes milles nàutiques s'estalviarien respecte al camí anterior?

1. c) Si un segon nàufrag es troba al punt simètric de $N$ respecte a l'eix $Y$, quines són les seves coordenades?

Sigui la figura geomètrica definida pels punts $O(0,0)$, $A(a, 0)$ i $B(0, a)$.

1. a) Si l'àrea del triangle $OAB$ és de $18$ unitats quadrades, determina el valor de la coordenada $a$ (considerant $a > 0$).

1. b) Representa el triangle en el pla i dibuixa la seva figura simètrica respecte a la bisectriu del primer quadrant (la recta on $x = y$). Què observes sobre les coordenades dels nous punts?

1. c) Calcula les coordenades del punt $M$, punt mitjà del segment $AB$, i verifica si la distància de $M$ a l'origen $O$ és la mateixa que la distància de $M$ al punt $A$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.