Exercicis: Funcions lineals i afins

Per a cadascuna de les funcions següents, indica el valor del pendent i de l'ordenada a l'origen, i assenyala si la seva gràfica és creixent o decreixent:

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

Una fruiteria ven les taronges a $1,80\ \text{€}$ el quilogram.

1. a) Completa a la teva llibreta una taula amb el preu de $1$, $2$, $3$, $4$ i $5$ kg de taronges.

1. b) Escriu l'equació de la funció que relaciona el pes $x$ en quilograms amb el preu $y$ en euros.

1. c) És una funció de proporcionalitat directa? Quant val el seu pendent i què significa?

La recta de la figura representa una funció lineal, tal com es mostra a continuació.

1. a) Busca dos punts de coordenades senceres per on passi la recta.

1. b) Calcula el seu pendent a partir d'aquests punts.

1. c) Escriu l'equació de la funció.

Calcula el pendent de la recta que passa per cada parell de punts:

1. a) $A(2, 5)$ i $B(6, 13)$

1. b) $P(-1, 4)$ i $Q(3, -8)$

1. c) $M(0, -2)$ i $N(5, -2)$

De les equacions següents, indica quines corresponen a una funció lineal, quines a una funció afí i quines no són ni lineals ni afins. Justifica la teva resposta.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

La gràfica mostra una funció afí, tal com es mostra a la figura.

1. a) Quina és la seva ordenada a l'origen?

1. b) Quant augmenta $y$ quan $x$ augmenta una unitat? Quant val el pendent?

1. c) Escriu la seva equació.

Un gimnàs cobra una quota d'inscripció de $20\ \text{€}$ i $15\ \text{€}$ per cada mes.

1. a) Escriu l'equació que dona el cost total $y$ en euros en funció del nombre de mesos $x$.

1. b) Quina és l'ordenada a l'origen i què representa en aquest context?

1. c) I el pendent? Què significa?

A la figura apareixen tres rectes, $a$, $b$ i $c$, tal com es mostra a continuació.

1. a) Associa cada recta amb la seva equació d'entre aquestes tres: $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.

1. b) Explica com has utilitzat el signe del pendent i l'ordenada a l'origen per decidir.

Comprova, substituint les coordenades en l'equació, si els punts $A(3, 4)$ i $B(-2, 11)$ pertanyen a la recta $y = -3x + 5$.

Un ciclista es desplaça a velocitat constant de $24\ \text{km/h}$. Anomenem $x$ el temps en hores i $y$ la distància recorreguda en quilòmetres.

1. a) Completa a la teva llibreta la taula de valors per a $x = 0$, $0,5$, $1$, $1,5$ i $2$.

1. b) Escriu l'equació de la funció.

1. c) Si el ciclista parteix de casa seva, que està a $6\ \text{km}$ del punt on comença a comptar el recorregut, quina seria ara l'equació de la distància a casa seva? Quin tipus de funció és?

Durant una onada de calor, l'estació meteorològica d'un poble va registrar una temperatura constant de $24\ \text{°C}$ durant tota la matinada.

1. a) Escriu l'equació de la funció que dona la temperatura $y$ en funció de l'hora $x$ durant aquest període.

1. b) Quant val el seu pendent? Com és la seva gràfica?

1. c) És una funció lineal, afí o cap de les dues? Raona la teva resposta.

Copia i completa a la teva llibreta la taula de valors de la funció $y = -2x + 6$ per a $x = -1$, $0$, $1$, $2$ i $3$, i representa la recta en uns eixos cartesians. En quin punt talla l'eix $X$?

Troba l'equació de la recta que passa pels punts $A(1, 2)$ i $B(3, 8)$ seguint aquests passos:

1. a) Calcula el pendent $m$.

1. b) Substitueix les coordenades d'un dels punts a $y = mx + n$ per trobar $n$.

1. c) Escriu l'equació final i comprova que l'altre punt també la verifica.

La gràfica representa el saldo de la guardiola digital de l'Adrián durant les últimes setmanes, tal com es mostra a la figura.

Quina d'aquestes tres fórmules correspon a la gràfica? Justifica la teva elecció descartant les altres dues.

• $y = 5x + 10$

• $y = -5x + 40$

• $y = 10x - 5$

Un taxi cobra $3,50\ \text{€}$ per la baixada de bandera i $1,20\ \text{€}$ per cada quilòmetre recorregut.

1. a) Escriu la funció que dona el preu $y$ d'un trajecte de $x$ quilòmetres.

1. b) Quant costarà un trajecte de $12\ \text{km}$?

1. c) Si un trajecte ha costat $16,70\ \text{€}$, quants quilòmetres s'han recorregut?

Dos senderistes surten al mateix temps des de dos refugis de muntanya separats per $18\ \text{km}$ i caminen l'un a l'encontre de l'altre pel mateix sender. El primer avança a $5\ \text{km/h}$ i el segon a $4\ \text{km/h}$, tal com es mostra a la figura.

1. a) Escriu l'equació que dona la distància al primer refugi de cada senderista en funció del temps $x$ en hores.

1. b) Representa totes dues rectes a la teva llibreta.

1. c) Al cap de quant de temps es creuen? A quina distància del primer refugi?

La gràfica mostra el preu d'aparcar en un pàrquing en funció del temps, tal com es mostra a la figura.

1. a) Quant costa aparcar $4$ hores?

1. b) Quin és el preu fix d'entrada i quant costa cada hora?

1. c) Escriu l'equació de la funció per a $x \ge 0$.

Troba el punt de tall de les rectes $y = 2x + 1$ i $y = -x + 7$:

1. a) Planteja l'equació que resulta d'igualar les dues expressions i resol-la.

1. b) Calcula l'ordenada del punt de tall.

1. c) Comprova el resultat substituint en totes dues equacions.

Per convertir graus Celsius en graus Fahrenheit s'utilitza la funció $F = 1,8C + 32$.

1. a) Quants graus Fahrenheit són $25\ \text{°C}$?

1. b) Què significa el coeficient $1,8$? I el terme $32$?

1. c) La previsió anuncia $86\ \text{°F}$ en una ciutat dels Estats Units. Quants graus Celsius són?

El dipòsit d'aigua d'una comunitat de regants conté $1.200\ \text{m}^3$ i es va consumint a raó de $75\ \text{m}^3$ al dia, tal com es mostra a la figura.

1. a) Escriu la funció que dona el volum d'aigua $y$ en funció del dia $x$.

1. b) Quin és el pendent? Per què és negatiu?

1. c) Quin volum quedarà al cap de $9$ dies?

1. d) En quin dia s'esgotarà el dipòsit si no plou?

Indica si cada afirmació és veritable o falsa i justifica la teva resposta amb un exemple:

1. a) «Tota funció lineal és també una funció afí.»

1. b) «Si una recta té pendent negatiu, aleshores passa per l'origen.»

1. c) «Les rectes $y = 3x + 2$ i $y = 3x - 5$ són paral·leles.»

1. d) «La funció $y = 4$ no té pendent.»

La taula mostra el cost d'imprimir fotografies en una copisteria segons el nombre de còpies:

1. a) Comprova que el cost creix sempre en la mateixa quantitat per cada $10$ còpies.

1. b) Quin és el pendent de la funció? I l'ordenada a l'origen?

1. c) Escriu l'equació que relaciona $x$ i $y$.

1. d) Què representa l'ordenada a l'origen en aquest context?

A la cursa solidària de l'institut, la Nora dona un avantatge al seu germà petit: ell surt $40\ \text{m}$ per davant i corre a $3\ \text{m/s}$, mentre que la Nora corre a $4,5\ \text{m/s}$, com es mostra a la figura.

1. a) Escriu la funció distància a la sortida en funció del temps per a cada corredor.

1. b) Al cap de quants segons atrapa la Nora el seu germà?

1. c) A quina distància de la sortida passa?

1. d) Si la cursa acaba als $150\ \text{m}$, guanya la Nora o arriba abans el seu germà a la meta? Justifica-ho amb càlculs.

Una companyia de telefonia ofereix dues tarifes, com es mostra a la figura (eix horitzontal: minuts de trucades al mes; eix vertical: cost mensual en euros):

• Tarifa A: quota fixa de $12\ \text{€}$ al mes i $0,04\ \text{€}$ per minut de trucades.

• Tarifa B: sense quota fixa, a $0,08\ \text{€}$ per minut.

1. a) Escriu la funció del cost mensual en funció dels minuts consumits per a cada tarifa.

1. b) A partir de quants minuts al mes resulta més barata la tarifa A?

1. c) La Marta parla una mitjana de $250$ minuts al mes. Quina tarifa li convé i quant s'estalvia a l'any?

La funció $F = 1,8C + 32$ converteix graus Celsius en graus Fahrenheit.

1. a) Hi ha una única temperatura en què els termòmetres Celsius i Fahrenheit marquen el mateix valor numèric. Planteja l'equació $C = F$ i calcula-la.

1. b) Té sentit físic el resultat? Explica què passa amb aquesta temperatura.

1. c) Representa la funció a la teva llibreta i interpreta el punt de tall de la gràfica amb la recta $F = C$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una botiga en línia de samarretes personalitzades cobra $18\ \text{€}$ pel disseny del logotip i $7,50\ \text{€}$ per cada samarreta. Una altra botiga no cobra pel disseny, però cada samarreta costa $10,20\ \text{€}$.

1. a) Escriu la funció del cost total en funció del nombre de samarretes per a cada botiga.

1. b) L'equip de bàsquet del barri necessita $14$ samarretes. Quina botiga li surt més barata i per quant?

1. c) Per a quin nombre de samarretes costen el mateix les dues botigues? Què passa per a comandes més grans?

Troba el valor de $k$ en cada cas:

1. a) Perquè la recta $y = kx + 3$ passi pel punt $(2, 11)$.

1. b) Perquè la recta $y = 5x + k$ passi pel punt $(-1, 2)$.

1. c) Perquè la recta $y = kx - 4$ tingui el mateix pendent que la que passa per $(0, 1)$ i $(4, 9)$.

Un alumne ha resolt així l'exercici «troba el pendent de la recta que passa per $A(2, 5)$ i $B(6, 13)$ i diu si és creixent»:

«El pendent és $m = \frac{6 - 2}{13 - 5} = \frac{4}{8} = 0,5$. Com que $0,5 < 1$, la recta està poc inclinada, així que és gairebé horitzontal i decreixent.»

1. a) Troba els dos errors que ha comès.

1. b) Calcula el pendent correcte i classifica la recta.

1. c) Explica amb les teves paraules quina relació hi ha entre el signe del pendent i el creixement de la funció.

Tasca de decisió. Tres amics volen estalviar per al viatge de final de curs, que costa $420\ \text{€}$ per persona. Ja tenen un cert estalvi i cada setmana hi afegeixen una quantitat fixa, com es mostra a la figura:

• Lucía: té $120\ \text{€}$ i estalvia $15\ \text{€}$ a la setmana.

• Pablo: té $40\ \text{€}$ i estalvia $25\ \text{€}$ a la setmana.

1. a) Escriu la funció dels diners estalviats en funció de les setmanes per a cadascun.

1. b) Qui triga menys setmanes a arribar als $420\ \text{€}$?

1. c) En quina setmana atrapa Pablo a Lucía en diners estalviats?

1. d) Si el viatge és d'aquí a $16$ setmanes, hi arribaran tots dos a temps? Quants diners tindrà cadascun?

En un laboratori de física es pengen masses d'una molla i se'n mesura la longitud:

1. a) Comprova que la longitud creix de manera constant per cada $50\ \text{g}$ i escriu la funció que dona la longitud $y$ en funció de la massa $x$.

1. b) Quina longitud tindrà la molla amb una massa de $320\ \text{g}$?

1. c) Quina massa s'ha de penjar perquè la molla mesuri $30,5\ \text{cm}$?

1. d) Quin significat físic té l'ordenada a l'origen?

1. a) Troba l'equació de la recta que passa pels punts $A(-1, 7)$ i $B(2, -5)$.

1. b) Comprova si el punt $C(5, -17)$ està alineat amb $A$ i $B$.

1. c) I el punt $D(0, 5)$? Justifica la teva resposta sense representar.

La normativa d'accessibilitat limita el pendent de les rampes: una rampa accessible no ha de superar el $10\ \,\%$ de desnivell. El pendent, expressat en percentatge, és el quocient entre l'altura que es puja i la distància horitzontal recorreguda, multiplicat per $100$, com es mostra a la figura.

1. a) Una rampa salva un desnivell de $0,54\ \text{m}$ en un recorregut horitzontal de $6\ \text{m}$. Calcula el seu pendent en percentatge. Compleix la normativa?

1. b) Si es vol salvar el mateix desnivell amb un pendent del $8\ \,\%$, quina longitud horitzontal mínima ha de tenir la rampa?

1. c) Expressa la rampa de l'apartat a) com una funció $y = mx$ prenent l'inici de la rampa com a origen. Què significa $m$?