Exercicis: Variable estadística

Un grup d'investigadors vol saber quin és el grup de música favorit dels adolescents espanyols d'entre 12 i 16 anys. Per fer-ho, realitzen una enquesta a 500 alumnes de diversos instituts de Madrid. Indica:

1. a) La població objecte d'estudi.
2. b) La mostra triada.
3. c) L'individu.

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives o quantitatives:

1. a) El color favorit de la carcassa d'un telèfon mòbil.
2. b) El nombre de seguidors en un compte de TikTok.
3. c) El temps, en minuts, que tardes a arribar des de casa teva a l'institut.
4. d) La marca de sabatilles esportives que prefereixen els alumnes de la teva classe.

Dins de les variables quantitatives, hem de distingir entre discretes i contínues. Indica de quin tipus és cadascuna de les següents:

1. a) El nombre de cosins que té cada estudiant.
2. b) La capacitat, en litres, de les ampolles d'aigua que es venen a la cafeteria.
3. c) El nombre de missatges de WhatsApp que reps al llarg d'un dia.
4. d) El pes de les motxilles dels alumnes de 3r d'ESO.

Relaciona cadascuna de les situacions següents amb la naturalesa de la seva variable estadística (Qualitativa, Quantitativa discreta o Quantitativa contínua):

1. Els esports que es practiquen al poliesportiu municipal.

2. La temperatura màxima diària registrada a la teva ciutat durant el mes de juliol.

3. El nombre de canals de televisió que es sintonitzen en una llar.

Imagina que vols realitzar un estudi sobre la quantitat de diners que gasten setmanalment els joves del teu barri en oci.

1. a) Quin tipus de variable és "diners gastats"?
2. b) Si al barri viuen $1.200$ joves i en preguntes a $60$, quina és la mida de la mostra?
3. c) Seria representatiu si només preguntes als joves que estan a la porta d'un cinema un dissabte a la tarda? Raona la teva resposta.

Per a cadascuna de les preguntes següents d'una enquesta, identifica si la resposta donaria lloc a una variable qualitativa nominal, quantitativa discreta o quantitativa contínua:

1. a) "Quina aplicació de xarxes socials utilitzes amb més freqüència?"
2. b) "Quantes hores al dia (amb decimals) passes estudiant?"
3. c) "Quantes vegades has anat al cinema en l'últim mes?"
4. d) "Quin és el teu sistema operatiu preferit (Android o iOS)?"

Es vol realitzar un estudi sobre el consum de fruita en un institut. Determina si les mostres següents són aleatòries (triades a l'atzar i representactives) o biaixades:

1. a) Preguntar als 25 alumnes que arriben primer a l'institut al matí.
2. b) Triar a l'atzar 5 alumnes de la llista de cadascuna de les classes del centre.
3. c) Preguntar únicament als alumnes que estan comprant menjar a la cafeteria.
4. d) Sortegar 50 números de matrícula entre tots els alumnes de l'institut i preguntar als seus titulars.

Observa la taula de dades recollides següent sobre els hàbits de lectura d'un grup d'estudiants i classifica cada columna segons el tipus de variable estadística que representa:

Nom de l'alumne	Llibres llegits a l'any	Gènere favorit	Temps mitjà lectura (h)
Lucía	$12$	Fantasia	$0,5$
Marcos	$4$	Ciència-ficció	$1,2$
Elena	$0$	No llegeix	$0$

1. a) Llibres llegits a l'any.
2. b) Gènere favorit.
3. c) Temps mitjà de lectura diari.

En Marcos ha fet una petita enquesta als seus companys de classe per a un treball de Matemàtiques sobre hàbits de vida i oci. En el seu informe preliminar ha classificat les quatre variables següents:

1. Codi postal del domicili: «Quantitativa contínua, perquè està format per un número de cinc xifres i pot prendre valors molt alts».

2. Número del dorsal de la samarreta del seu esportista preferit: «Quantitativa discreta, perquè sempre és un nombre enter sense decimals».

3. Temps diari dedicat a l'ús del telèfon mòbil: «Quantitativa discreta, perquè en preguntar a la gent tothom respon amb nombres enters de minuts, com ara $45$ o $60$ minuts».

4. Nivell de satisfacció amb les instal·lacions esportives del barri (Baix, Mitjà, Alt): «Qualitativa».

Identifica els errors conceptuals que ha comès en Marcos, argumenta per què la seva justificació és incorrecta en cada cas i escriu la classificació correcta i completa de les quatre variables.

L'equip directiu del teu institut vol dur a terme un estudi estadístic sobre la mobilitat sostenible i els hàbits de transport de la comunitat escolar. Dissenya tu mateix el qüestionari de l'estudi complint exactament les condicions següents:

1. a) Redacta una pregunta la resposta de la qual sigui una variable qualitativa nominal (sense cap ordre jeràrquic natural).
2. b) Redacta una pregunta la resposta de la qual sigui una variable quantitativa discreta, aclarint quin element concret s'està comptant.
3. c) Redacta una pregunta la resposta de la qual sigui una variable quantitativa contínua, indicant la unitat física de mesura que s'emprarà.
4. d) Defineix amb precisió quina és la població completa de l'estudi, quin és un individu concret i proposa una mida de mostra raonable si al centre hi ha matriculats $750$ estudiants en total.

Un equip d'investigadors vol realitzar un estudi sobre el consum de begudes energètiques en els adolescents d'una ciutat de $50\,000$ habitants. Per a això, seleccionen $250$ estudiants d'entre $12$ i $18$ anys de diferents instituts i els pregunten quantes llaunes han consumit en l'última setmana.

Identifica els elements següents de l'estudi estadístic:

1. a) La població objecte d'estudi.
2. b) La mostra triada.
3. c) L'individu.
4. d) La mida de la mostra.
5. e) La variable estadística i el seu tipus.

A la taula següent es presenten diverses variables recollides en una enquesta realitzada en un club d'e-sports. Classifica cadascuna d'elles en qualitativa, quantitativa discreta o quantitativa contínua:

Variable	Tipus de variable
Videojoc favorit
Hores setmanals d'entrenament
Nombre de perifèrics (teclat, ratolí...) que té
Marca del monitor utilitzat
Velocitat de la connexió a internet (Mbps)
Posició al rànquing mundial

Per conèixer l'opinió dels ciutadans sobre la construcció d'un nou carril bici al centre de la ciutat, un periòdic local fa una enquesta a la porta d'una botiga especialitzada en ciclisme de muntanya.

1. a) Creus que la mostra triada és representativa de la població de la ciutat? Raona la teva resposta.
2. b) Hi ha algun tipus de biaix en aquesta elecció? Explica per què.
3. c) Proposa un mètode de mostratge que sigui més adequat perquè els resultats siguin fiables.

En un centre escolar hi ha $600$ alumnes matriculats. Es vol extreure una mostra representativa de $60$ alumnes mitjançant un mostratge estratificat per cursos per realitzar un estudi sobre hàbits de lectura. La distribució per cursos és la següent:

• $1º$ ESO: $180$ alumnes.

• $2º$ ESO: $160$ alumnes.

• $3º$ ESO: $140$ alumnes.

• $4º$ ESO: $120$ alumnes.

Calcula quants alumnes de cada curs s'haurien de triar perquè la mostra mantingui la proporcionalitat de la població.

Un biòleg està mesurant el creixement d'una espècie de falguera en un hivernacle. Al cap d'un mes, anota les alçades (en cm) de $20$ exemplars. Les dades obtingudes són una variable quantitativa contínua. L'histograma mostra les alçades agrupades en intervals de $5$ cm.

1. a) Explica la diferència entre una variable quantitativa discreta i una contínua utilitzant aquest exemple.

1. b) Si les dades s'agrupen en intervals com $[10, 15), [15, 20), [20, 25)$..., quina seria la marca de classe del segon interval?

1. c) Quin valor representa la marca de classe en els càlculs estadístics?

Es realitza un estudi sobre la qualitat de l'aire en diferents punts d'una comunitat autònoma. Per a això, s'instal·len estacions de mesurament que enregistren la concentració de partícules $PM_{10}$ (en $\mu g/m^3$).

Indica si les afirmacions següents són veritables o falses, justificant cada resposta:

1. a) La variable «concentració de partícules» és qualitativa perquè indica la qualitat de l'aire.
2. b) Si mesurem la concentració en $15$ punts triats a l'atzar, l'individu és cadascun d'aquests punts de mesurament.
3. c) El nombre d'habitants de les zones on es mesura és una variable quantitativa contínua.
4. d) La variable «nivell de contaminació» amb valors (Baix, Mitjà, Alt) és una variable qualitativa ordinal.

Un ajuntament vol saber el nombre de mascotes que hi ha a les llars d'un barri de nova construcció on viuen $1\,200$ famílies. Per no preguntar a tothom, decideixen enviar una enquesta a les $120$ famílies que viuen als primers domicilis de la llista alfabètica de carrers.

1. a) Indica quina és la població i quina és la mostra.
2. b) És aquest un mètode de mostratge aleatori simple? Per què?
3. c) Identifica la variable i digues de quin tipus és.
4. d) Si a la mostra el $15\%$ de les famílies no tenen mascota, quantes famílies del barri s'estima que sí que en tenen almenys una?

Imagina que treballes al departament de màrqueting d'una plataforma de streaming de música. Vols investigar la relació entre l'edat dels usuaris i l'estil de música que més escolten.

Per a això, dissenyes una base de dades amb els camps següents per a cada usuari:

1. Edat (anys complerts).

2. Minuts diaris d'escolta.

3. Gènere musical preferit (Pop, Rock, Trap, Altres).

4. Grau de satisfacció amb el servei (de l'$1$ al $5$).

1. a) Classifica cadascuna de les quatre variables anteriors (qualitativa o quantitativa; i, dins de cada tipus, nominal o ordinal, discreta o contínua).

1. b) Explica quin tipus de gràfic (diagrama de barres, diagrama de sectors o histograma) creus que seria més adequat per representar les dades de la variable "Gènere musical preferit" i per què. Indica també si algun dels tres no seria adequat i raona la resposta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) disposa d'estacions automàtiques de mesurament repartides per tot Espanya. Durant un episodi d'onada de calor al juliol, un equip d'analistes recopila dades a les $16:00\text{ h}$ de $45$ estacions seleccionades a Andalusia per estudiar l'impacte de les temperatures extremes. De cada estació s'anoten les dades següents:

• La província on s'ubica.

• La temperatura de l'aire registrada a l'ombra (en $^{\circ}\text{C}$, amb precisió de dècimes).

• El nombre de ràfegues de vent superiors a $40\text{ km/h}$ registrades en les darreres tres hores.

• L'altitud sobre el nivell del mar a la qual està instal·lada l'estació (en metres).

• El nivell de l'avís meteorològic vigent emès per a aquesta zona (Verd, Groc, Taronja, Vermell).

1. a) Identifica la població de l'estudi, la mostra seleccionada, la mida de la mostra i l'individu.
2. b) Classifica cadascuna de les cinc variables registrades en qualitativa (especificant si és nominal o ordinal) o quantitativa (especificant si és discreta o contínua).
3. c) Justifica si tindria sentit substituir aquest estudi mostral per un cens complet i argumenta un avantatge i un inconvenient que tindria realitzar aquest cens.

En un institut amb $800$ estudiants ($200$ d'$1r$ d'ESO, $200$ de $2n$, $150$ de $3r$, $150$ de $4t$ i $100$ de Batxillerat), el Consell Escolar vol esbrinar el grau de satisfacció amb el menú i els preus de la cafeteria escolar per decidir si es renova el contracte del servei. Disposen de temps i pressupost per enquestar $80$ estudiants.

Es proposen tres mètodes de mostratge:

• Mètode A: Entrevistar els primers $80$ alumnes que facin cua a la cafeteria el proper dilluns durant l'esbarjo.

• Mètode B: Deixar una urna amb paperetes a consergeria i demanar per megafonia que vagin a votar voluntàriament $80$ persones.

• Mètode C: Obtenir la llista oficial del centre i seleccionar per sorteig aleatori $20$ alumnes d'$1r$, $20$ de $2n$, $15$ de $3r$, $15$ de $4t$ i $10$ de Batxillerat.

1. a) Analitza críticament els mètodes A i B: explica quins biaixos presenten i per què no garanteixen una mostra representativa.
2. b) Demostra matemàticament que el mètode C reparteix la mostra de manera proporcional a la mida real de cada curs i justifica per què és el procediment més rigorós dels tres.
3. c) Si la cafeteria només fos utilitzada per alumnes de $3r$, $4t$ i Batxillerat, continuaria sent adequada la població definida inicialment? Redefineix la població per a aquest cas.

Un desenvolupador de videojocs està analitzant el comportament dels jugadors en una fase Beta. Per optimitzar el rendiment, registra les dades següents de cada usuari:

1. El nom del servidor al qual es connecten (Nord, Sud, Est, Oest).

2. El codi identificador únic del compte (un nombre de 8 xifres).

3. El temps de resposta o ping mesurat en mil·lisondes.

4. El nombre de vegades que el jugador ha premut el botó de «pausa» en una hora.

5. El nivell de satisfacció de l'usuari, puntuat com: «Molt insatisfet», «Insatisfet», «Neutral», «Satisfet» o «Molt satisfet».

Raona i classifica cadascuna de les variables anteriors. Para especial atenció a la variable número 2: el fet que sigui un nombre implica que sigui una variable quantitativa? Justifica la teva resposta.

Una empresa de missatgeria vol millorar la seva eficiència. Per a això, defineix la població com a «tots els paquets enviats a Espanya durant un any». Com que és impossible estudiar-los tots, seleccionen una mostra de 500 paquets.

De cada paquet anoten: pes en kg, volum en $m^3$, província de destinació i nombre d'intents d'entrega.

1. a) Identifica la població, la mostra i els individus de l'estudi.
2. b) Classifica les variables enregistrades.
3. c) Si dels 500 paquets de la mostra, 450 s'han recollit únicament en una oficina d'una zona de luxe a Madrid, podem dir que la mostra és representativa per treure conclusions sobre el servei a tot Espanya? Justifica la teva resposta fent servir el concepte de biaix estadístic.

En un laboratori de biologia s'estudia el creixement d'una colònia de bacteris. L'investigador decideix registrar la temperatura del cultiu cada hora. La temperatura pot prendre valors com $36,42 ^\circ C$, $36,45 ^\circ C$, etc. Tanmateix, per simplificar l'informe final, l'investigador agrupa els resultats en tres categories: «Fred» (menys de $30 ^\circ C$), «Òptim» (entre $30 ^\circ C$ i $40 ^\circ C$) i «Excés de calor» (més de $40 ^\circ C$).

1. a) Quin tipus de variable és la temperatura mesurada originalment?
2. b) Quin tipus de variable és la que finalment apareix a l'informe després d'agrupar les dades?
3. c) S'ha perdut informació en aquest procés? Explica quin avantatge i quin inconvenient té realitzar aquesta transformació des del punt de vista estadístic.

Imagina que vols realitzar un estudi estadístic sobre l'ús de xarxes socials entre els adolescents de la teva ciutat. Has de dissenyar una enquesta que contingui exactament:

1. Una variable qualitativa nominal.

2. Una variable qualitativa ordinal.

3. Una variable quantitativa discreta.

4. Una variable quantitativa contínua.

Redacta una pregunta per a cada cas que sigui realista i útil per a la teva investigació. Explica per què cada pregunta correspon al tipus de variable sol·licitat.

Un ajuntament vol saber el grau d'acceptació d'una nova norma de circulació. Per a això, posen un punt d'informació a la porta d'una escola a les 9:00 del matí i pregunten als 100 primers adults que passen per allà.

1. a) Defineix la població objecte d'estudi.
2. b) Descriu la mostra seleccionada.
3. c) Analitza críticament el mètode de selecció de la mostra. Creus que tots els ciutadans han tingut la mateixa probabilitat de ser triats? Proposa un mètode de mostratge aleatori estratificat que fos més just per a aquest estudi.

Sovint, les variables quantitatives contínues es presenten com a discretes a causa de la precisió dels instruments de mesura. Un sensor de precisió mesura el gruix d'unes làmines d'acer produïdes en una fàbrica. El sensor mostra valors com $2,00$ mm, $2,01$ mm, $2,02$ mm...

1. a) Encara que el sensor només mestra dos decimals, per què el gruix es considera una variable quantitativa contínua i no discreta?
2. b) Si la fàbrica produeix 10.000 làmines al dia i el control de qualitat decideix mesurar només les làmines que es fabriquen entre les 12:00 i les 12:15, serà la mostra representativa de la producció total del dia? Raona la teva resposta esmentant possibles factors que podrien variar al llarg de la jornada.

Es realitza un estudi sobre la salut auditiva dels joves. Es mesura la intensitat del volum al qual escolten música amb auriculars (en decibels, dB).

La figura mostra l'interval en el qual es troben els valors mesurats i el llindar de 85 dB que fixa l'equip mèdic.

1. Classifica la variable "Intensitat de so en dB".

2. Si els valors obtinguts oscil·len entre $65,4$ dB i $105,9$ dB, explica per què no tindria sentit tractar aquesta variable com una variable qualitativa nominal.

3. L'equip de metges decideix que, si la intensitat supera els $85$ dB, el risc és "Alt", i si és inferior, el risc és "Baix". Classifica aquesta nova variable "Risc auditiu".

Una plataforma de streaming analitza les dades dels seus subscriptors per millorar les seves recomanacions. Classifica les variables següents que utilitza el seu algorisme:

1. a) Temps total (en segons) que un usuari roman mirant un vídeo abans de tancar-lo.
2. b) Tipus de dispositiu utilitzat (Smart TV, telèfon intel·ligent, tauleta, PC).
3. c) Nombre de vegades que un usuari ha compartit un enllaç de la plataforma en l'últim mes.
4. d) Qualificació mitjana de les pel·lícules vistes (de 1 a 5 estrelles, permetent meitats d'estrelles com 3,5).
5. e) Posició que ocupa una sèrie al «Top 10» del més vist al país.

Discuteix si la variable (d) es podria considerar contínua o discreta depenent de com es recullin les dades originals (vots individuals en comparació amb mitjana calculada).

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), l'estructura demogràfica per edats d'un municipi de $30\,000$ habitants es divideix en: menors de $18$ anys ($18\,\%$), adults de $18$ a $64$ anys ($62\,\%$) i persones de $65$ o més anys ($20\,\%$). La regidoria de mobilitat encarrega un sondeig a peu de carrer amb una mida de mostra de $n = 300$ persones per estimar la freqüència setmanal amb la qual els veïns fan servir el carril bici.

Abans de realitzar el treball de camp, el tècnic estima que una mostra de $300$ persones serà plenament representativa sempre que reflecteixi proporcionalment les tres franges d'edat del municipi. Els enquestadors realitzen les entrevistes un dimarts feiner entre les $10:00$ i les $12:30$ del matí a la plaça central del poble, obtenint una mostra amb els següents participants reals: $12$ menors de $18$ anys, $114$ persones d'entre $18$ i $64$ anys, i $174$ persones de $65$ o més anys.

1. a) Realitza la comprovació matemàtica: calcula quants individus de cada grup d'edat haurien d'haver format la mostra de $300$ persones perquè representés fidelment la població del municipi segons les dades de l'INE.
2. b) Comprova la composició percentual de la mostra que realment es va obtenir i determina quin grup poblacional està severament sobrerepresentat i quin està infrarepresentat.
3. c) Raona detalladament quins factors del disseny de la recollida de dades (horari, dia i ubicació) van provocar aquesta desviació i, suposant que les persones de $65$ o més anys fan servir el carril bici amb menys freqüència que la resta de veïns, justifica si la variable objecte d'estudi («freqüència d'ús del carril bici») resultarà sobreestimada o subestimada respecte a la realitat del municipi.

Un equip de sociologia de l'educació vol investigar els hàbits digitals dels joves d'entre $12$ i $16$ anys d'una comunitat autònoma que compta amb $120\,000$ persones en aquesta franja d'edat. Abans de començar la recollida de dades sorgeixen dos debats metodològics:

Debat 1: Definició operativa de la variable

• La investigadora A proposa preguntar: «Quantes hores senceres dediques al dia a les pantalles? (Opcions tancades: $1$, $2$, $3$, $4$ o més de $4$)».

• L'investigador B proposa sol·licitar als participants que consultin el registre de l'aplicació de 'Benestar digital' del seu telèfon i anotin el temps total exacte de pantalla del dia anterior, registrat en minuts i segons (per exemple, $194\text{ min } 35\text{ s}$).

Classifica rigorosament el tipus de variable estadística que genera cada proposta. Argumenta quina de les dues opcions aporta més precisió matemàtica i quina pèrdua d'informació o distorsió pateix l'estudi si s'adopta la proposta d'A.

Debat 2: Elecció del mètode de mostratge

Es disposa de recursos per enquestar $600$ joves. Es barallen dues opcions:

• Opció 1: Llançar una campanya patrocinada a les xarxes socials amb un formulari web obert, aturant l'enquesta així que s'assoleixin les $600$ respostes rebudes.

• Opció 2: Seleccionar per sorteig $15$ instituts de la comunitat garantint que hi hagi centres públics i concertats, d'àmbit rural i urbà, i triar a cadascun $40$ estudiants a l'atzar de les llistes de matrícula.

Compara totes dues opcions analitzant els tres requisits d'una mostra representativa: selecció aleatòria, cobertura de grups rellevants i control de les absències de resposta. Justifica quina de les dues opcions s'ha de triar.