Exercicis: Estadística amb tecnologia i lectura crítica

La figura mostra un full de càlcul amb les edats dels membres d'un club de lectura. A les cel·les B11 i B12 el full mostra els resultats de les fórmules $=\text{PROMEDIO}(B2:B9)$ i $=\text{MEDIANA}(B2:B9)$, respectivament. A la barra superior apareix la fórmula de la cel·la B11, que és la cel·la seleccionada.

1. a) Què calcula la fórmula de la cel·la B11, $=\text{PROMEDIO}(B2:B9)$?

1. b) I la de la cel·la B12, $=\text{MEDIANA}(B2:B9)$?

1. c) Calcula a mà els dos valors a partir de les edats de B2 a B9 i comprova que coincideixen amb els que mostra el full a B11 i B12.

Una cadena de televisió va mostrar aquest gràfic de barres sobre l'audiència de dos programes, com se mostra a la figura.

1. a) A primera vista, quantes vegades més audiència sembla que té el programa B que l'A?

1. b) Llegeix els valors reals de les barres i calcula la proporció vertadera entre totes dues audiències.

1. c) Quin truc utilitza el gràfic per a exagerar la diferència? Com hauria de ser l'eix vertical perquè no enganyés?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una calculadora estadística indica que la mitjana de les $10$ notes d'un grup és $6,4$ i la mediana és $6,5$.

1. a) Si el professor decideix pujar $0,5$ punts a tots els alumnes, quines seran la nova mitjana i la nova mediana? Raona la resposta sense conèixer les notes.

1. b) Si en lloc d'això multiplica totes les notes per $1,1$, què els passa a la mitjana i a la mediana?

1. c) La suma de les $10$ notes era $64$. Després de revisar, una nota de $4$ passa a ser un $7$. Quina és la nova mitjana?

Per a cadascun d'aquests conjunts de dades, tria el gràfic més adequat (diagrama de barres, de sectors, gràfic de línies, polígon de freqüències o histograma) i justifica la teva elecció:

1. a) El percentatge de temps que dedica un adolescent a dormir, estudiar, oci i pantalles.

1. b) L'evolució de la temperatura mitjana d'una ciutat mes a mes durant un any.

1. c) Les notes de matemàtiques d'una classe de $28$ alumnes.

1. d) El nombre de mascotes que tenen a casa els alumnes d'un curs.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Lucas està utilitzant un full de càlcul per a calcular la nota mitjana dels seus cinc exàmens de Matemàtiques. Ha introduït les notes a les cel·les de la $B2$ a la $B6$: $6$, $7$, $8$, $7$ i $7$. Per a organitzar-se, a la cel·la $B7$ calcula la suma de totes les notes mitjançant la fórmula $=\text{SUMA}(B2:B6)$, i n'obté un $35$. Després, a la cel·la $B8$, escriu $=\text{PROMEDIO}(B2:B7)$ esperant obtenir la seua nota mitjana final, però la pantalla mostra $11,67$, una nota impossible en ser sobre $10$.

1. a) Localitza l'error que ha comés Lucas en definir el rang de la fórmula a $B8$ i explica raonadament per què el full de càlcul torna $11,67$.
2. b) Escriu la fórmula correcta que hauria d'haver introduït a $B8$ per a calcular la mitjana directament amb la funció $\text{PROMEDIO}$.
3. c) Si Lucas volguera aprofitar el valor de la suma que ja va calcular a $B7$, quina fórmula amb operacions aritmètiques elementals (sense usar la paraula $\text{PROMEDIO}$) podria escriure a $B8$?

El butlletí de notícies d'un municipi publica un gràfic de barres per a mostrar com ha crescut el nombre de persones inscrites al poliesportiu municipal. El 2022 hi havia $500$ persones inscrites i el 2023 se'n van registrar $520$. Tanmateix, el dissenyador del gràfic va decidir truncar l'eix vertical i fer-lo començar en $490$ en compte d'$0$. D'aquesta manera, la barra de 2022 té una alçària gràfica de $10$ mm ($500 - 490$) i la de 2023 mesura $30$ mm ($520 - 490$).

1. a) Estima quina impressió visual s'emporta un veí que mire el gràfic a simple vista sense llegir les xifres de l'eix: quantes vegades sembla haver-se multiplicat el nombre d'usuaris?
2. b) Comprova la realitat calculant el percentatge d'augment real en les inscripcions de 2022 a 2023.
3. c) Valora críticament si el gràfic és enganyós i explica quina modificació geomètrica obligatòria hauria de tenir l'eix vertical per a no falsejar la percepció del lector.

La figura mostra un full de càlcul amb els punts per partit d'una jugadora de bàsquet, com es mostra a continuació.

1. a) Quin valor mostrarà la cel·la B10 si conté la fórmula $=\text{MITJANA}(B2:B8)$? Calcula'l.

1. b) La cel·la B11 conté $=\text{MAX}(B2:B8) - \text{MIN}(B2:B8)$. Quin paràmetre estadístic calcula i quant val?

1. c) Escriu amb les teves paraules la fórmula que caldria introduir per a obtenir el nombre de partits en els quals va anotar més de $15$ punts.

Una marca de begudes va publicar aquest gràfic circular sobre les preferències dels consumidors, com se mostra a la figura.

1. a) Suma els percentatges de tots els sectors. Quin resultat obtens? És possible en un gràfic de sectors?

1. b) Explica què pot haver passat en l'enquesta per a obtenir aquestes dades i per què el gràfic de sectors no és adequat per a presentar-les.

1. c) Quin tipus de gràfic triaries tu per a representar aquests percentatges correctament?

El consell escolar d'un institut de $850$ alumnes vol decidir quina nova activitat extraescolar oferir. Una alumna enquesta $40$ estudiants a la sortida del gimnàs i conclou: «el $70\ \%$ de l'alumnat vol més esport, així que cal obrir un club d'escalada».

1. a) Quina és la mida de la mostra? I la població?

1. b) Quin defecte té la manera de triar la mostra? Com afecta la conclusió?

1. c) Proposa una manera millor de seleccionar els $40$ enquestats i explica per què la conclusió seria més fiable.

1. d) Quin percentatge de la població representa la mostra? Expressa'l amb dos decimals.

Un entrenador utilitza una aplicació per a comparar els minuts jugats per dos equips de bàsquet al llarg de $10$ partits. L'aplicació mostra aquests resultats:

• Equip Nord: mitjana $= 18,4$ min, desviació típica $= 7,9$ min.

• Equip Sud: mitjana $= 17,8$ min, desviació típica $= 2,1$ min.

1. a) Quin equip reparteix els minuts de manera més igualitària entre els seus jugadors? Quin paràmetre t'ho indica?

1. b) Si l'entrenador del Nord vol que un jugador concret jugui molt, és previsible que ho aconsegueixi? I al Sud?

1. c) La mitjana de l'equip Nord és una mica més gran. Significa això que tots els seus jugadors juguen més que els del Sud? Raona la resposta.

Una petita empresa local de serveis informàtics compta amb set empleats en plantilla. En un full de càlcul s'han registrat els seus salaris nets mensuals (en euros) a les cel·les de la $B2$ a la $B8$: $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,350$, $1\,400$, $1\,450$ i $5\,950$ (aquest últim correspon a la direcció de l'empresa). Per publicar una oferta d'ocupació, el departament de comunicació ha de decidir quin paràmetre estadístic incloure com a «sou típic» de l'equip.

1. a) Calcula el resultat que proporcionaria la fórmula $=\text{PROMEDIO}(B2:B8)$ i el que donaria $=\text{MEDIANA}(B2:B8)$.
2. b) Tria quin dels dos mètodes és més representatiu per informar honestament una persona que opta a un lloc base a l'empresa i justifica la teva elecció analitzant l'impacte del sou més alt.
3. c) Si l'empresa decideix finalment publicar el valor de la mitjana aritmètica en lloc del de la mediana, quina intenció persuasiva creus que persegueix i quina regla de la lectura crítica de dades s'està vulnerant?

En un full de càlcul escolar, les cel·les de la $B2$ a la $B6$ recullen les hores setmanals que dediquen a l'esport cinc estudiants d'una classe. Per error, s'ha esborrat la dada corresponent a la cel·la $B6$. De les altres quatre cel·les se'n coneixen els valors: $3$, $4$, $6$ i $8$ hores.

1. a) Si sabem que la cel·la $B7$ conté la fórmula $=\text{PROMEDIO}(B2:B6)$ i torna exactament un valor de $6$ hores, reconstrueix el valor numèric que ha de figurar a la cel·la buida $B6$.
2. b) Amb la dada de $B6$ ja recuperada, calcula el valor que tornaria la fórmula $=\text{MEDIANA}(B2:B6)$.
3. c) Imagina que l'estudiant de la cel·la $B6$ competeix a escala professional i en realitat s'entrena $25$ hores setmanals en comptes del teu valor trobat. Sense necessitat de recalcular-ho tot, raona si canviaria el valor de la mediana respecte a l'apartat anterior i justifica per què la mediana és un paràmetre més robust davant de valors atípics que la mitjana.

Tasca de decisió. Un diari digital publica el titular «La despesa en videojocs dels adolescents es dispara!» juntament amb el gràfic de la figura, com es mostra a continuació.

1. a) Llegeix els valors reals de la despesa anual en el gràfic i calcula l'augment percentual vertader entre el primer i l'últim any.

1. b) Per què el gràfic dona una impressió molt més alarmant que les dades? Assenyala almenys dues decisions de disseny que ho causen.

1. c) Reescriu el titular de manera honesta utilitzant les dades.

1. d) Quines preguntes faries sobre la mostra de l'enquesta abans d'acceptar fins i tot aquest augment moderat?

Per a calcular la desviació típica de les dades $4$, $6$, $7$, $7$, $9$, $11$ amb un full de càlcul, es construeix una taula amb columnes auxiliars:

Dada $x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
$4$
$6$
$7$
$7$
$9$
$11$

1. a) Calcula la mitjana $\bar{x}$ i completa la taula al teu quadern.

1. b) Quina fórmula de full de càlcul donaria el valor de la cel·la de la segona columna per a la dada $4$? I la de la tercera columna?

1. c) Calcula la mitjana dels quadrats de la tercera columna (la variància) i, amb la calculadora, troba l'arrel quadrada per a obtenir la desviació típica.

1. d) La suma de la segona columna dona $0$. És casualitat o li passaria amb qualsevol conjunt de dades? Justifica-ho.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un club d'atletisme ha de fitxar una rellevista i té els temps de les dues candidates en les seves últimes $8$ curses de $100\ \text{m}$:

• Candidata 1: mitjana $= 12,40\ \text{s}$, desviació típica $= 0,45\ \text{s}$.

• Candidata 2: mitjana $= 12,55\ \text{s}$, desviació típica $= 0,10\ \text{s}$.

1. a) L'entrenador necessita una corredora que baixi de $12,9\ \text{s}$ amb la màxima fiabilitat en el campionat, perquè un mal temps elimina l'equip. A qui fitxa? Raona la resposta fent servir la mitjana i la desviació típica.

1. b) Si en canvi busqués la corredora capaç d'aconseguir la millor marca del dia, canviaria la teva elecció? Per què?

1. c) Calcula el coeficient de variació de cada candidata, $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$, i explica quina informació afegeix respecte a la desviació típica.

Indica si cada afirmació sobre l'ús de la tecnologia en estadística és verdadera o falsa i justifica la teva resposta:

1. a) «La mitjana calculada amb un full de càlcul a partir de dades agrupades en intervals (utilitzant les marques de classe) és exactament igual que la calculada amb les dades originals.»

1. b) «Si un gràfic estadístic està fet amb un programa informàtic, no pot ser enganyós.»

1. c) «Una calculadora científica pot donar la desviació típica encara que no entenguem la fórmula, però interpretar-la continua sent tasca nostra.»

1. d) «Per a comparar la dispersió de dos conjunts de dades amb mitjanes molt diferents és millor utilitzar la desviació típica que el coeficient de variació.»

Un portal de notícies publica el titular següent: «Alarma sanitària: menjar síndria a l'estiu dispara els ingressos hospitalaris per insolació». Per justificar-ho, mostren la taula següent amb dades verídiques d'una comarca durant sis mesos, introduïdes en un full de càlcul a les columnes $A$ (Mes), $B$ (Zones de síndria venudes) i $C$ (Casos atesos per insolació):

• Maig: $15$ t de síndria i $2$ insolacions.

• Juny: $60$ t de síndria i $16$ insolacions.

• Juliol: $150$ t de síndria i $45$ insolacions.

• Agost: $170$ t de síndria i $52$ insolacions.

• Setembre: $45$ t de síndria i $8$ insolacions.

• Octubre: $10$ t de síndria i $0$ insolacions.

1. a) Modela la relació observada entre ambdues variables: descriu si hi ha correlació positiva, negativa o nul·la entre el consum de síndria i els casos d'insolació, justificant-ho a partir de les dades de la taula.
2. b) Aplica el criteri de lectura crítica «correlació no prova causalitat» per desmuntar el titular de l'article. Quina és la variable de confusió subjacent que explica que ambdues sèries de dades pugin i baixin juntes?
3. c) A la cel·la $C7$ figura un $0$ corresponent al mes d'octubre. Si una persona esborrés aquest nombre deixant la cel·la totalment buida (en blanc), com afectaria això al resultat que torna la fórmula $=\text{PROMEDIO}(C2:C7)$? Explica la diferència tècnica entre com processa un full de càlcul una cel·la buida i una cel·la amb el nombre $0$ en calcular la mitjana.

Una marca de refrescos presenta una campanya publicitària sota el lema: «El $80\,\%$ dels consumidors prefereix la nostra marca enfront de la competència líder». En revisar l'informe tècnic que avala l'anunci, una associació de consumidors descobreix tres decisions metodològiques qüestionables:

1. La mostra total va ser de $20$ clients triats a la sortida d'un concert patrocinat per la mateixa marca (dels quals $16$ van dir «Sí» al seu refresc i $4$ van dir «No»).

2. L'anunci inclou un gràfic de sectors circulars on el sector del «Sí» té dibuixat un angle central de $324^\circ$ i el del «No» de $36^\circ$.

3. La marca sosté que si aconsegueixen convèncer $5$ persones més perquè votin favorablement en un segon sondeig amb $25$ persones en total ($21$ vots afirmatius sobre $25$), el percentatge d'aprovació haurà crescut exactament un $25\,\%$ respecte a la mostra inicial.

1. a) Detecta l'error aliè comès en la construcció del gràfic de sectors: calcula l'angle de sector circular que realment li correspondria al $80\,\%$ i explica quin efecte visual enganyós provoca l'angle que va dibuixar la marca.
2. b) Fes una crítica fonamentada sobre la mida de la mostra i el procediment de selecció: per què no es poden extrapolar aquests resultats al conjunt de consumidors d'Espanya?
3. c) Corregeix l'error de càlcul de l'informe tècnic: calcula el percentatge de suport real si hi hagués $21$ opinions favorables sobre $25$ enquestats i explica per què és fals que el suport hagi augmentat un $25\,\%$, aclarint la diferència entre punts percentuals i percentatge d'augment.

Repte del tema. És representatiu el temps d'aquestes dues setmanes a la teva localitat? Converteix-te en analista de dades i elabora un informe meteorològic crític.

1. Recollida i classificació: Accedeix al web d'AEMET i anota la temperatura màxima diària de la teva província durant els últims $15$ dies. Identifica raonadament el tipus de variable estadística i confecciona en un full de càlcul (o GeoGebra) la seva taula de freqüències completa.

2. Paràmetres i gràfica: Utilitzant fórmules del full de càlcul, obtén la mitjana ($\bar{x}$), la mediana ($Me$), el rang i la desviació típica ($\sigma$). Amb la mateixa eina, genera el gràfic estadístic més oportú, retolant adequadament eixos i unitats.

3. Lectura crítica i conclusions: Redacta un informe breu (una pàgina) analitzant si la mitjana descriu fidelment el comportament tèrmic o si una desviació típica alta (per exemple, superior a $3,5$ °C) indica massa dispersió. Reflexiona: podria un mitjà de comunicació manipular la percepció del clima fent servir només un d'aquests paràmetres?

Es valorarà:

• Rigor en la classificació de la variable i elaboració correcta de la taula de freqüències.

• Precisió en els paràmetres calculats i qualitat tècnica del gràfic en full de càlcul o GeoGebra.

• Profunditat en la lectura crítica sobre la representativitat de les mesures i la dispersió.