Exercicis: Taules

Per conèixer l'opinió sobre l'ús de telèfons mòbils a l'aula, s'ha realitzat una enquesta a $45$ estudiants d'un institut que té un total de $600$ alumnes. Indica quins són els elements fonamentals d'aquest estudi estadístic:

1. a) La població objecte d'estudi.

1. b) La mostra seleccionada.

1. c) L'individu.

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues basant-te en les dades d'una aplicació de música:

1. a) El gènere musical de les cançons (Pop, Rock, Trap...).
2. b) El nombre de «m'agrada» que té una llista de reproducció.
3. c) El temps de durada d'una cançó en segons.
4. d) El nom de l'artista o grup.
5. e) La capacitat d'emmagatzematge ocupada per l'aplicació al mòbil (en MB).

Un grup d'amics anota el nombre de vegades que han anat al cinema en l'últim mes. Les dades obtingudes són:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui:

• El recompte (fent palets).

• La freqüència absoluta ($f_i$).

En una classe de 3r d'ESO s'ha preguntat per l'esport favorit dels alumnes. Completa els valors que falten a la taula de freqüències següent:

Esport	Freqüència absoluta ($f_i$)	Freqüència relativa ($h_i$)	Percentatge (%)
Bàsquet	$6$	$0,24$	$24\%$
Futbol	$10$
Tenis	$4$	$0,16$
Natació		$0,20$	$20\%$
Total	$25$	$1,00$	$100\%$

S'ha realitzat un estudi sobre el nombre de llibres llegits pels alumnes d'un club de lectura durant l'estiu. Observa la taula i respon a les preguntes utilitzant les freqüències acumulades:

Llibres llegits ($x_i$)	Alumnes ($f_i$)	Freqüència acumulada ($F_i$)
$0$	$2$	$2$
$1$	$5$	$7$
$2$	$8$	$15$
$3$	$6$	$21$
$4$	$4$	$25$

1. a) Quants alumnes han llegit exactament $2$ llibres?
2. b) Quants alumnes han llegit $2$ llibres o menys?
3. c) Quin és el nombre total d'alumnes que participen en l'estudi?

Per a un estudi sobre el pes de les motxilles dels estudiants, s'han agrupat les dades en intervals d'$1$ kg. Calcula la marca de classe ($x_i$) per a cadascun dels intervals de la taula:

Pes (kg)	Marca de classe ($x_i$)	Freqüència ($f_i$)
$[2, 3)$		$4$
$[3, 4)$		$12$
$[4, 5)$		$9$
$[5, 6)$		$5$

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre de mascotes que tenen les famílies d'un barri. Per un error, s'han esborrat algunes dades de la taula. Sabent que es va enquestar un total de $40$ famílies, calcula els valors que falten:

N.º de mascotes	Famílies ($f_i$)	Freqüència relativa ($h_i$)
$0$	$12$	$0,30$
$1$		$0,45$
$2$	$7$
$3$	$3$	$0,075$
Total	$40$	$1,00$

Una empresa de missatgeria estudia el pes dels paquets que envia diàriament. Ha organitzat la informació en la taula de freqüències acumulades relatives següent ($H_i$):

Pes (kg)	$f_i$	$h_i$	$H_i$
$[0, 2)$	$20$	$0,40$	$0,40$
$[2, 4)$	$15$	$0,30$	$0,70$
$[4, 6)$	$10$	$0,20$	$0,90$
$[6, 8)$	$5$	$0,10$	$1,00$

Respon les preguntes següents a partir de la taula:

1. a) Quin percentatge de paquets pesen menys de $4$ kg?
2. b) Quina freqüència relativa representen els paquets que pesen $6$ kg o més?
3. c) Quin és el nombre total de paquets analitzats en aquest estudi?

La Lucía ha realitzat una enquesta als seus 25 companys de classe sobre el nombre de telèfons mòbils en desús que guarden a casa seva. Després de comptar les dades, elabora la següent taula de freqüències:

• Per a $x_1 = 0$: $f_1 = 5$, $F_1 = 5$

• Per a $x_2 = 1$: $f_2 = 10$, $F_2 = 15$

• Per a $x_3 = 2$: $f_3 = 7$, $F_3 = 22$

• Per a $x_4 = 3$: $f_4 = 3$, $F_4 = 25$

En presentar el treball, la Lucía afegeix dues conclusions al seu quadern:

1. «La suma de la columna de freqüències acumulades és $5 + 15 + 22 + 25 = 67$, la qual cosa significa que s'han analitzat 67 telèfons en total».

2. «Com que la freqüència acumulada per a 2 telèfons és $F_3 = 22$, exactament 22 alumnes tenen 2 telèfons en desús».

Identifica l'error conceptual que comet la Lucía en cadascuna de les seves dues afirmacions, explica amb claredat per què el seu raonament és erroni recolzant-te en la definició matemàtica de freqüència acumulada i redacta la interpretació correcta que hauria d'haver donat als nombres 25 i 22.

En un grup de 3r d'ESO format per 40 estudiants es realitza una enquesta sobre el mitjà principal que utilitzen per arribar a l'institut. Els resultats són: 20 van a peu, 12 en autobús, 6 en cotxe particular i 2 en patinet elèctric.

1. a) Abans de realitzar qualsevol càlcul o operació amb decimals, estima de manera raonada:

• Quin percentatge exacte representa el grup dels que van a peu respecte al total de la classe?

• La freqüència relativa dels que van en autobús serà més gran, més petita o igual a $0,25$? Justifica-ho comparant el nombre 12 amb la quarta part de 40.

• El grup que va en patinet elèctric superarà el $10\,\%$ dels estudiants?

1. b) Construeix la taula de freqüències calculant per a cada mitjà de transport la freqüència absoluta ($f_i$), la freqüència relativa ($h_i$) en forma de fracció i decimal, i el percentatge corresponent.

1. c) Comprova si les teves estimacions inicials eren correctes i verifica numèricament si la suma de totes les freqüències relatives compleix la propietat fonamental de completar la unitat.

Es vol fer un estudi sobre el tipus de contingut més vist en una coneguda plataforma de streaming pels adolescents d'una ciutat. Per a això, es pregunta a $150$ estudiants de $3^\text{o}$ d'ESO de tres instituts diferents triats a l'atzar. Identifica els elements següents de l'estudi estadístic:

1. a) Població.

1. b) Mostra.

1. c) Individu.

1. d) Tipus de variable estadística.

Un grup de $25$ joves ha anotat el nombre de vegades que han anat al cinema en l'últim trimestre, i han obtingut les dades següents:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1$

Organitza aquesta informació en una taula de freqüències que inclogui: freqüència absoluta ($n_i$), freqüència relativa ($h_i$) i freqüència percentual ($\%$).

En una enquesta sobre el nombre de mascotes que tenen les famílies d'un barri, s'han obtingut els resultats que es mostren a la taula de freqüències absolutes següent:

N.º de mascotes ($x_i$)	N.º de famílies ($n_i$)
$0$	$12$
$1$	$18$
$2$	$14$
$3$	$6$

Calcula la columna de les freqüències absolutes acumulades ($N_i$) i les freqüències relatives acumulades ($H_i$). Quin percentatge de famílies tenen com a màxim $2$ mascotes?

S'ha mesurat el temps, en minuts, que triguen $20$ alumnes a arribar des de casa seva a l'institut. Les dades són:

$5, 12, 18, 24, 7, 15, 30, 10, 22, 14, 8, 11, 28, 5, 19, 13, 16, 25, 12, 9$

Construeix una taula de freqüències agrupant les dades en $5$ intervals de la mateixa amplitud, començant a $5$ i acabant a $30$. Inclou a la taula les marques de classe ($x_i$) i les freqüències absolutes ($n_i$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Completa els buits de la taula de freqüències següent d'una variable quantitativa discreta:

Dada ($x_i$)	Freq. absoluta ($n_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. percentual ($\%$)
$1$	$8$	$0,20$
$2$		$0,35$
$3$	$12$
$4$			$15\%$
Total	$N=$	$1,00$	$100\%$

En una classe d'Educació Física s'ha preguntat als alumnes pel seu esport favorit fora de l'horari escolar. Els resultats són:

• Futbol: $12$ alumnes.

• Bàsquet: $8$ alumnes.

• Natació: $6$ alumnes.

• Tenis: $4$ alumnes.

Crea una taula que reculli les freqüències absolutes i calcula els graus necessaris per representar aquestes dades en un diagrama de sectors circular (amplitud de l'angle central).

Un nutricionista analitza la quantitat de sucre (en grams) per cada $100\text{ ml}$ de $40$ refrescos diferents. Els resultats s'han agrupat en la taula següent:

Quantitat de sucre ($g$)	Marca de classe ($x_i$)	Freq. absoluta ($n_i$)
$[0, 4)$		$5$
$[4, 8)$		$12$
$[8, 12)$		$18$
$[12, 16]$		$5$

1. a) Completa la columna de marques de classe.
2. b) Calcula la columna de freqüències relatives ($h_i$).
3. c) Indica quants refrescos tenen $8$ grams de sucre o més.

S'ha realitzat una enquesta als empleats d'una oficina sobre el nombre d'idiomes que parlen. Sabem que el $40\%$ parla només un idioma, el $35\%$ parla dos idiomes, el $20\%$ parla tres idiomes i la resta parla quatre idiomes.

Si a l'oficina treballen un total de $60$ persones, construeix la taula de freqüències completa (absoluta, relativa i percentual). Quantes persones parlen exactament quatre idiomes?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una campanya ambiental organitzada en un municipi, s'ha preguntat a una mostra de $N = 50$ famílies quants cubells o recipients de reciclatge selectiu tenen al seu habitatge ($x_i$). Tanmateix, part de l'informe s'ha esborrat i només es disposa de la informació següent:

• Els possibles valors de la variable són $1, 2, 3$ i $4$ cubells.

• La freqüència relativa acumulada corresponent a 2 cubells o menys és $H_2 = 0,64$.

• El percentatge de famílies que tenen 4 cubells és exactament del $12\,\%$.

• El nombre de famílies que tenen 1 cubell triplica el nombre de famílies que tenen 2 cubells.

1. a) Dedueix raonadament, pas a pas, la freqüència absoluta ($f_i$) de cadascun dels quatre valors de la variable.
2. b) Elabora la taula de freqüències completa que inclogui: variable ($x_i$), freqüència absoluta ($f_i$), freqüència relativa ($h_i$), percentatge, freqüència absoluta acumulada ($F_i$) i freqüència relativa acumulada ($H_i$).
3. c) Utilitzant la taula obtinguda, determina quin percentatge de les famílies de la mostra recicla activament disposant d'almenys 3 cubells a la seva llar.

A partir dels registres de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), s'han recollit les temperatures màximes diàries ($^{\circ}\text{C}$) d'una localitat del sud d'Espanya durant els 31 dies del mes de juliol. Les dades s'han agrupat en quatre intervals contigus:

• Interval $[28, 32)$: 5 dies.

• Interval $[32, 36)$: 11 dies.

• Interval $[36, 40)$: 12 dies.

• Interval $[40, 44)$: 3 dies.

1. a) Justifica per què en aquest estudi estadístic és convenient agrupar les dades en intervals semioberts $[a, b)$ amb la seva marca de classe corresponent en lloc d'elaborar una taula amb cada valor individual registrat.
2. b) Elabora la taula de freqüències completa del mes, incloent-hi per a cada fila: interval, marca de classe ($c_i$), freqüència absoluta ($f_i$), freqüència relativa ($h_i$) arrodonida a tres xifres decimals, percentatge i freqüència absoluta acumulada ($F_i$).
3. c) Es considera situació d'avís especial per calor quan la temperatura màxima arriba o supera els $36\,^{\circ}\text{C}$. Utilitzant les freqüències de la taula, calcula quants dies va estar la localitat en avís i quin percentatge del mes va suposar aquesta situació.

En una botiga de videojocs han fet un estudi sobre el nombre de perifèrics (comandaments, teclats, ratolins) que compren els clients en una sola visita. Tanmateix, s'ha perdut part de la informació de la taula de freqüències. Sabem que l'estudi es va fer sobre un total de $N = 80$ clients.

Completa les dades que falten a la taula sabent que la freqüència relativa acumulada de comprar 3 perifèrics o menys és de $0,875$.

Perifèrics ($x_i$)	Freq. absoluta ($f_i$)	Freq. relativa ($h_i$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)	Freq. relativa acumulada ($H_i$)
1	24
2
3	16
4
5	6

Un laboratori de tecnologia està provant la durada en hores d'una nova bateria per a drons. Han agrupat els resultats en una taula de freqüències de variable contínua, però només ens han proporcionat les marques de classe ($x_i$) i algunes freqüències.

Es sap que tots els intervals tenen la mateixa amplitud i que el límit inferior del primer interval és $1,2$ hores. Reconstrueix la taula completa (intervals, marques de classe i freqüències) sabent que la freqüència absoluta acumulada del tercer interval és $42$ i que el total de drons provats és $N = 50$.

Marca de classe ($x_i$)	Freq. absoluta ($f_i$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)
$1,45$	8
$1,95$	14
$2,45$
$2,95$
$3,45$	3

Per organitzar un torneig d'e-sports, l'organització analitza les hores setmanals que dediquen els joves d'un club a entrenar. La següent taula de freqüències relatives acumulades ($H_i$) mostra la distribució, però falten les dades de les categories centrals.

Si sabem que hi ha el mateix nombre de joves que entrenen «De 5 a 10 hores», «De 10 a 15 hores» i «De 15 a 20 hores», i que el club té un total de $120$ socis, calcula quants socis entrenen exactament en cadascun dels intervals de la taula.

Hores d'entrenament	Freq. relativa acumulada ($H_i$)
$[0, 5)$	$0,15$
$[5, 10)$
$[10, 15)$	$0,65$
$[15, 20)$
$[20, 25]$	$1,00$

En un estudi sobre el consum d'aigua per habitatge en una urbanització, s'han obtingut les dades de freqüències acumulades següents, però s'han omès les freqüències absolutes individuals.

Consum ($m^3$)	Freq. absoluta acumulada ($F_i$)
$[0, 10)$	$12$
$[10, 20)$	$30$
$[20, 30)$	$65$
$[30, 40)$	$90$
$[40, 50]$	$100$

S'ha decidit que els habitatges que consumeixen més de $30 m^3$ paguin un recàrrec. Tanmateix, després d'una revisió, es descobreix que $10$ habitatges de l'interval $[20, 30)$ realment consumien $32 m^3$. Calcula la nova taula de freqüències relatives percentuals ($\%$) corregida i determina quin percentatge del total d'habitatges haurà de pagar el recàrrec finalment.

Un centre educatiu vol realitzar una enquesta representativa sobre l'ús de llibres digitals. El centre té $400$ alumnes a 1r d'ESO, $350$ a 2n d'ESO, $300$ a 3r d'ESO i $250$ a 4t d'ESO. Volen extreure una mostra de $130$ alumnes mitjançant un mostratge aleatori estratificat amb representació proporcional.

Dibuixa la taula de la població total i, a partir d'aquesta, crea la taula de freqüències de la mostra que indiqui quants alumnes de cada curs han de ser enquestats. Quina és la freqüència relativa dels alumnes de 3r d'ESO a la mostra comparada amb la de la població total?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre de mascotes en $200$ famílies. Els resultats es presenten en la taula incompleta de freqüències relatives següent ($h_i$).

N.º de mascotes	$h_i$
0	$0,35$
1	$x$
2	$y$
3	$0,12$
4 o més	$0,08$

Calcula els valors de $x$ i $y$ sabent que la mitjana del nombre de mascotes és exactament $1,25$ (per a l'interval "4 o més" utilitza el valor $4$ com a marca de classe). Un cop trobats, construeix la taula de freqüències absolutes completa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un ajuntament analitza l'edat dels usuaris d'un poliesportiu. Les dades dels primers $160$ usuaris es resumeixen en aquesta taula de freqüències acumulades:

Edat	$F_i$
$[0, 18)$	$40$
$[18, 35)$	$95$
$[35, 60)$	$140$
$[60, 85]$	$160$

Si durant la tarda s'inscriuen $40$ nous usuaris, tots ells pertanyents al grup d'edat de $[18, 35)$, com varia la taula de freqüències relatives? Calcula la taula de freqüències relatives percentuals ($\%$) resultant després de les noves inscripcions i comenta com ha afectat aquest canvi a la importància relativa del grup de majors de $60$ anys.

Es disposa de la següent taula de freqüències d'una variable quantitativa discreta $X$ que representa el nombre de vegades que un grup d'alumnes ha anat al cinema aquest mes. Tanmateix, les freqüències absolutes $f_2$ i $f_3$ s'han esborrat.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$H_i$
0	5	5	$0,125$
1			$0,400$
2		31
3	9		$1,000$

Calcula el nombre total de dades ($N$) i les freqüències que falten per completar la taula. Justifica cada pas utilitzant les propietats de les freqüències acumulades i relatives.

Dos centres de secundària d'una mateixa comarca volen comparar l'hàbit lector dels seus estudiants de 3r d'ESO mitjançant les hores setmanals dedicades a la lectura recreativa. El centre A té 120 alumnes a 3r d'ESO i el centre B té 200 alumnes en aquest mateix curs. Per presentar els resultats, el professorat debat dues decisions metodològiques clau:

1. Decisió sobre el tipus de freqüència: El professor del centre A proposa comparar directament les freqüències absolutes ($f_i$) de tots dos centres (per exemple, quants alumnes llegeixen més de 4 hores a la setmana). La professora del centre B afirma que aquesta comparació no té validesa estadística i que és indispensable recórrer a les freqüències relatives ($h_i$) o als percentatges.

2. Decisió sobre l'agrupació: Part de l'equip vol mostrar cada valor enter per separat ($0, 1, 2, \dots, 10$ hores setmanals), mentre que una altra part proposa agrupar les dades en intervals d'amplitud 2: $[0, 2), [2, 4), [4, 6), \dots$

1. a) Justifica qui té raó en el debat sobre el tipus de freqüència. Per fer-ho, inventa un cas numèric realista amb els totals de tots dos instituts (120 enfront de 200 alumnes) on un centre tingui una freqüència absoluta més gran en un tram però una proporció real de lectors menor, demostrant per què la freqüència absoluta indueix a error.
2. b) Avalua els dos mètodes d'organització de la variable: quina informació matemàtica exacta es perd en transformar les dades individuals en intervals agrupats representats per la seva marca de classe, i quin avantatge analític s'obté a canvi a l'hora d'interpretar la mostra global?

Una delegació de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) realitza un sondeig sobre la despesa mensual en serveis digitals i connectivitat a una mostra de $N = 200$ famílies d'una comarca. Els imports en euros s'han agrupat en quatre intervals d'igual amplitud: $[10, 30)$, $[30, 50)$, $[50, 70)$ i $[70, 90)$. A causa d'una fallada informàtica, a l'informe final només apareixen les pistes estadístiques següents:

• La freqüència relativa acumulada del tercer interval és $H_3 = 0,90$.

• El percentatge de famílies que pertanyen al primer tram de despesa ($[10, 30)$) supera en 10 punts percentuals el percentatge de famílies del tram més elevat ($[70, 90)$).

• La freqüència absoluta del segon interval ($[30, 50)$) coincideix exactament amb la mitjana aritmètica de les freqüències absolutes del primer i del tercer interval.

1. a) Planteja raonadament les relacions matemàtiques i equacions necessàries per deduir la freqüència absoluta ($f_i$) de cadascun dels quatre intervals.
2. b) Amb els valors obtinguts, construeix la taula de distribució de freqüències completa: intervals, marques de classe ($c_i$), freqüències absolutes ($f_i$), freqüències relatives ($h_i$), freqüències absolutes acumulades ($F_i$) i percentatges.
3. c) Un portaveu veïnal assegura: «A la vista de la taula, exactament 60 famílies gasten 40 € al mes en connectivitat». Analitza críticament si aquesta afirmació és necessàriament certa, falsa o indeterminable a partir únicament de la informació de la taula, explicant amb rigor què representa la marca de classe i quina limitació presenta quan es treballa amb dades agrupades.