Exercicis: Representació de les dades

Classifica les variables estadístiques següents obtingudes d'una enquesta feta en un institut, indicant si són qualitatives o quantitatives (en aquest últim cas, especifica si són discretes o contínues):

1. a) El nom de la xarxa social preferida de cada estudiant.
2. b) El nombre d'hores setmanals que dediquen a jugar a videojocs.
3. c) L'alçada, mesurada en metres, dels jugadors de l'equip de bàsquet.
4. d) El nombre de germans que té cada alumne d'una classe.

Un grup de $20$ adolescents ha respost sobre quin és el seu gènere cinematogràfic preferit. Els resultats són:

Acció, Comèdia, Terror, Acció, Comèdia, Ciència-ficció, Terror, Acció, Acció, Comèdia, Terror, Ciència-ficció, Acció, Comèdia, Terror, Acció, Acció, Ciència-ficció, Comèdia, Acció.

Crea una taula de freqüències que inclogui la freqüència absoluta ($n_i$) i fes un diagrama de barres per representar aquestes dades de manera clara.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Completa la taula de freqüències parcial següent sobre el nombre de vegades que un grup d'amics ha anat al cinema l'últim mes:

Pel·lícules ($x_i$)	Freqüència absoluta ($n_i$)	Freqüència relativa ($h_i$)	Percentatge ($\%$)
$0$	$4$	$0,20$	$20\%$
$1$	$8$
$2$	$5$	$0,25$
$3$		$0,15$	$15\%$
Total	$20$	$1,00$	$100\%$

El diagrama de sectors següent mostra la distribució dels $400$ alumnes d'un centre escolar segons l'idioma extraescolar que han triat estudiar. Observa el gràfic i respon:

1. a) Quin percentatge d'alumnes estudia Alemany?
2. b) Quants alumnes en total estudien Anglès?
3. c) Quin és l'idioma menys demanat?

S'ha registrat el temps (en minuts) que triguen $15$ alumnes a arribar des de casa seva a l'institut. Les dades són les següents:

$12, 15, 8, 22, 10, 14, 18, 25, 11, 13, 20, 9, 15, 12, 17$.

Agrupa aquestes dades en una taula de freqüències utilitzant intervals de classe d'amplitud $5$, començant en $5$. És a dir: $[5, 10), [10, 15), \dots$

A partir de la taula d'intervals següent, dibuixa l'histograma de freqüències corresponent. Assegura't que les barres estiguin enganxades entre si per indicar que la variable és contínua.

Interval	Freqüència ($f_i$)
$[5, 10)$	2
$[10, 15)$	5
$[15, 20)$	8
$[20, 25)$	6
$[25, 30)$	3

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un "influencer" ha anotat el nombre de nous seguidors que ha guanyat cada dia durant una setmana:

Dilluns: $120$, Dimarts: $150$, Dimecres: $130$, Dijous: $180$, Divendres: $210$, Dissabte: $250$, Diumenge: $230$.

Representa aquesta evolució mitjançant un polígon de freqüències. Per a això, situa els punts en un eix de coordenades (Dia, Seguidors) i uneix-los amb segments de recta.

Indica quin és el tipus de gràfic estadístic més adequat (Diagrama de barres, Histograma o Diagrama de sectors) per representar les situacions següents:

1. a) Volem comparar el percentatge de reciclatge de vidre, paper i plàstic en un barri.
2. b) Volem mostrar el nombre de faltes d'assistència de cada alumne d'una classe (de $0$ a $5$ faltes).
3. c) Volem representar el pes dels nadons en un hospital durant un mes (dades agrupades en intervals).
4. d) Volem comparar les preferències de $4$ marques diferents de refrescos entre els joves d'un poble.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una classe de 3r d'ESO esteu organitzant els resultats d'un projecte sobre hàbits de l'alumnat. Heu recollit informació sobre dues variables estadístiques diferents:

• Variable A: El mitjà de transport que utilitza cada estudiant per anar a l'institut (a peu, autobús, bicicleta, cotxe familiar).

• Variable B: La temperatura mitjana exterior (en graus Celsius) registrada al pati a les 11:30 h cada dia lectiu al llarg de tres mesos.

1. a) Per a la Variable A, un company proposa dibuixar un histograma amb barres contínues enganxades, mentre que tu proposes un diagrama de barres separades. Justifica raonadament quina opció és la correcta segons la naturalesa de la variable.
2. b) Per a la Variable B, es debat entre utilitzar un diagrama de sectors o un diagrama de línies. Compara tots dos tipus de gràfics i argumenta quin és el més adequat per analitzar la tendència i evolució de les temperatures al llarg del temps.

En una enquesta realitzada als $80$ alumnes de 3r d'ESO d'un institut sobre el seu tipus de música preferida, $20$ han triat «Música urbana». La Sofia vol representar aquestes dades en un diagrama de sectors circulars i fa la següent operació a la pissarra per calcular l'amplitud del sector corresponent:

$$\text{Angle} = \frac{20}{80} \cdot 100 = 25^\circ$$

La Sofia conclou que el sector de «Música urbana» s'ha de dibuixar amb un angle de $25^\circ$.

1. a) Localitza i explica raonadament l'error conceptual comès per la Sofia. Quina magnitud ha calculat en realitat en multiplicar per $100$?
2. b) Corregeix el seu procediment aplicant la fórmula matemàtica adequada i calcula l'angle central correcte (en graus) que ha de tenir el sector corresponent a la «Música urbana».

Un grup de 30 adolescents ha anotat quantes hores setmanals dediquen a veure sèries en plataformes de streaming. Les dades obtingudes són:

$4, 7, 5, 8, 10, 4, 6, 7, 5, 9, 12, 6, 8, 7, 5, 4, 10, 8, 7, 6, 5, 9, 11, 4, 7, 6, 5, 8, 7, 6$.

1. a) Classifica la variable estadística.

1. b) Elabora una taula de freqüències que incloga la freqüència absoluta ($f_i$) i la freqüència relativa ($h_i$).

1. c) Representa les dades mitjançant un diagrama de barres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

S'ha fet un estudi sobre el tipus de transport que utilitzen els alumnes d'un institut per arribar a classe. Els resultats es mostren en el diagrama de sectors següent, però algunes dades s'han esborrat:

• El sector de "Caminant" ocupa un angle de $144^\circ$.

• El sector d'"Autobús" representa el $25\%$ dels alumnes.

• La resta d'alumnes venen en "Bicicleta".

1. a) Calcula el percentatge d'alumnes que venen caminant.
2. b) Determina l'angle en graus que correspon al sector "Autobús" i al sector "Bicicleta".
3. c) Si a l'institut hi ha 600 alumnes, quants en venen en cada mitjà?

Un club d'atletisme ha registrat els temps (en segons) dels seus integrants en una cursa de 400 metres llisos. En ser una variable contínua, s'han agrupat en els intervals següents: $[50, 55), [55, 60), [60, 65), [65, 70)$. Les freqüències absolutes són $4, 12, 18$ i $6$ respectivament.

1. a) Construeix la taula de freqüències incloent-hi la marca de classe de cada interval.
2. b) Dibuixa l'histograma de freqüències.
3. c) Quin percentatge d'atletes va trigar menys d'un minut ($60$ segons) a completar la cursa?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A l'examen de Llengua, les notes obtingudes per una classe de 3r ESO han estat les següents:

Notes: $3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10$.

1. a) Crea una taula de freqüències amb les freqüències absolutes ($f_i$) i les freqüències absolutes acumulades ($F_i$).

1. b) Representa el diagrama de barres de les notes i, a partir d'aquest, el polígon de freqüències absolutes (uneix amb segments els punts més alts de les barres).

1. c) Observant el polígon, entre quines notes creix la freqüència i quant augmenta en cada tram?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un influencer analitza el creixement dels seus seguidors en dues xarxes socials diferents durant els últims 5 mesos. Les dades (en milers de seguidors nous per mes) són:

• Xarxa A: $2, 5, 8, 12, 15$

• Xarxa B: $6, 7, 6, 8, 7$

1. a) Representa ambdues sèries de dades en un mateix gràfic de línies (polígon de freqüències). Utilitza un color diferent per a cada xarxa o un traç discontinu per a una d'elles.
2. b) Explica, basant-te en la forma de les gràfiques, quina de les dues xarxes socials té un creixement més estable i quina té una tendència a l'alça més clara.

S'ha pesat la motxilla de 40 estudiants a l'entrada de l'institut per a un estudi de salut. Els resultats s'han organitzat en la taula següent:

Pes (kg)	$[0, 2)$	$[2, 4)$	$[4, 6)$	$[6, 8)$	$[8, 10]$
Estudiants ($f_i$)	$3$	$8$	$15$	$10$	$4$

1. a) Dibuixa l'histograma de freqüències.

1. b) Traça, sobre el mateix gràfic, el polígon de freqüències.

1. c) Quants alumnes porten una motxilla que pesa $6$ kg o més? Calcula la freqüència relativa d'aquest grup (la fracció del total que representa), expressada en decimal.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teua resposta.

En un control de qualitat d'una fàbrica de bombetes intel·ligents, s'ha mesurat la vida útil (en milers d'hores) d'una mostra de $100$ unitats. Es sap que:

• El $20\%$ va durar entre $10$ i $15$ mil hores.

• El $50\%$ va durar entre $15$ i $20$ mil hores.

• La resta va durar entre $20$ i $25$ mil hores.

1. a) Construeix la taula de freqüències absolutes i relatives.
2. b) Representa l'histograma de freqüències relatives. Què representa l'àrea de cada rectangle en aquest cas?
3. c) Si una bombeta es considera "excel·lent" si dura més de $20$ mil hores, quantes bombetes de la mostra ho són?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El departament de medi ambient d'un ajuntament vol representar la despesa d'aigua mensual de les famílies d'un barri. Han recollit les dades de l'últim rebut i les han classificat en metres cúbics ($\text{m}^3$):

Consum ($\text{m}^3$)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
Famílies ($f_i$)	$15$	$45$	$30$	$10$

1. a) Calcula la freqüència relativa acumulada ($H_i$) per a cada interval.

1. b) Representa les dades en un gràfic de freqüències acumulades (o ogiva).

1. c) Si l'ajuntament decideix donar una bonificació a les famílies que consumeixen menys de $20\ \text{m}^3$, a quin percentatge de la població del barri beneficia aquesta mesura?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi sobre mobilitat sostenible en un municipi espanyol, es recullen les dades de $720$ desplaçaments diaris d'estudiants: $360$ es fan a peu, $180$ en transport públic, $120$ en bicicleta o patinet elèctric i $60$ en cotxe particular. Es representaran aquestes dades en un diagrama de sectors.

1. a) Abans de calcular cap angle exacte, estima de manera raonada la fracció de cercle i el percentatge que ocuparà el desplaçament «a peu» i dedueix si el seu angle serà agut, recte o pla. Estima també si el sector del «transport públic» ocuparà un quadrant exacte de la circumferència ($90^\circ$).
2. b) Utilitzant la fórmula $\text{Angle} = h_i \cdot 360^\circ$ (on $h_i$ és la freqüència relativa), calcula amb exactitud l'angle central en graus per a cadascuna de les quatre modalitats de transport.
3. c) Comprova si els teus càlculs confirmen les estimacions fetes a l'apartat a) i verifica matemàticament que la suma de tots els angles obtinguts coincideix amb l'amplitud d'una circumferència completa.

L'equip directiu d'una biblioteca municipal ha analitzat els préstecs de llibres juvenils fets durant l'últim mes mitjançant un diagrama de sectors. A l'informe final no han inclòs el nombre total de préstecs, però sí els angles centrals de les categories registrades:

• Còmic i manga: $144^\circ$

• Novel·la d'aventures: $108^\circ$

• Ciència-ficció: $72^\circ$

• Poesia i teatre: el sector restant.

A més, el registre informàtic indica que es van prestar exactament $54$ llibres de «Novel·la d'aventures».

1. a) Calcula la mesura en graus de l'angle central corresponent a la categoria «Poesia i teatre».
2. b) Determina la freqüència relativa ($h_i$) i el percentatge que representa cadascuna de les quatre categories de llibres sobre el total de préstecs.
3. c) A partir de les dades anteriors, esbrina quants llibres juvenils es van prestar en total durant el mes i reconstrueix la freqüència absoluta ($f_i$) de cadascuna de les quatre categories.

Dos grups de 3r d'ESO han registrat el temps diari (en minuts) que dediquen a jugar a videojocs. Els resultats s'han representat en els diagrames de caixa següents.

Analitza els gràfics i respon raonadament:

1. a) Quin és el temps màxim de joc al Grup B? I el valor del tercer quartil ($Q_3$) al Grup A?
2. b) En quin grup les dades estan més disperses? Utilitza el rang i el rang interquartílic per justificar-ho.
3. c) Si un alumne afirma que el $75\%$ dels estudiants del Grup B juguen més temps que la mediana del Grup A, té raó? Per què?

Una marca de refrescos ha fet un estudi sobre quantes llaunes consumeix a la setmana un grup d'adolescents. Tanmateix, la taula de freqüències ha quedat tacada i només es poden llegir algunes dades de les freqüències relatives acumulades ($H_i$):

Llaunes ($x_i$)	Freq. Absoluta ($f_i$)	Freq. Relativa Acum. ($H_i$)
0		$0,15$
1	$12$
2		$0,65$
3		$0,85$
4	$6$	$1,00$

Sabent que la mida de la mostra és de $40$ individus:

1. a) Reconstrueix la taula de freqüències completa (calculant $f_i$, $F_i$, $n_i$ i $H_i$).
2. b) Representa les dades mitjançant un polígon de freqüències acumulades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un ajuntament vol conèixer l'opinió dels joves sobre les noves pistes d'skate. La població total és de $12.000$ joves, repartits en tres barris: Centre ($5.000$), Nord ($4.000$) i Sud ($3.000$). Decideixen prendre una mostra representativa de $600$ individus mitjançant un mostratge aleatori estratificat.

1. a) Quants joves de cada barri s'han de seleccionar perquè la mostra sigui representativa?
2. b) Després de fer l'enquesta, s'obté que el $40\%$ al Centre, el $60\%$ al Nord i el $30\%$ al Sud estan "Molt satisfets". Representa aquests resultats de satisfacció mitjançant un diagrama de barres comparatiu (barres adossades).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa l'histograma següent que representa les pulsacions en repòs d'un grup d'esportistes. Tingues en compte que els intervals no tenen la mateixa amplitud.

En aquest tipus de gràfics, la freqüència és proporcional a l'àrea de la barra, no a la seva alçada. Si a l'interval $[40, 50)$ hi ha $10$ esportistes:

1. a) Quants esportistes hi ha en total en l'estudi?
2. b) Construeix la taula de freqüències agrupades en els intervals mostrats, indicant la marca de classe de cadascun.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un creador de contingut a les xarxes socials analitza la durada (en segons) dels seus últims vídeos. Les dades obtingudes són: $15, 42, 55, 12, 18, 30, 45, 95, 110, 20, 35, 48$.

1. a) Calcula el rang interquartílic i identifica si existeix cap valor atípic (aquells que estan a una distància més gran de $1,5 \cdot \text{IQR}$ dels quartils).
2. b) Representa el diagrama de caixa i bigotis marcant clarament, si n'hi hagués, els valors atípics amb un punt destacat.

En un gràfic de sectors es mostra la distribució dels tipus de residus recollits en una campanya escolar de reciclatge (paper, plàstic i vidre), on el sector del paper fa $120^\circ$ i el del vidre fa $60^\circ$. Se sap que es van recollir un total de $180$ kg de residus.

1. a) Calcula l'angle corresponent al sector "Plàstic".
2. b) Calcula quants quilograms de cada tipus de residu es van recollir.
3. c) Si l'any que ve s'espera duplicar la quantitat de vidre a costa de reduir el paper, mantenint el total de residus constant, com canviarien els graus del sector paper?

S'ha publicat un gràfic en una notícia sobre l'augment del preu del lloguer en una ciutat. Alguns crítics diuen que el gràfic és enganyós perquè l'eix d'ordenades no comença en zero.

1. a) Segons el gràfic, quin percentatge d'augment sembla que hi ha visualment comparant l'alçada de les barres (mesurada des de l'eix horitzontal)?

1. b) Calcula l'augment percentual real del preu del lloguer entre l'any 2022 ($800$ €) i el 2024 ($900$ €).

1. c) Redibuixa mentalment (o descriu) com canviaria la percepció de l'augment si l'eix $Y$ comencés en $0$ €.

Una estació meteorològica ha registrat les temperatures màximes durant el mes de novembre. En agrupar les dades en intervals, s'ha obtingut el polígon de freqüències següent:

Els valors de l'eix $X$ són les marques de classe d'intervals d'amplitud $4^\circ\text{C}$.

1. a) Determina els intervals de temperatura que s'han utilitzat.
2. b) Sabent que els punts representen la freqüència absoluta ($f_i$), quants dies va tenir el mes de novembre segons aquest registre? És correcte el total de dies?
3. c) En quin interval de temperatura es troba la moda?

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) ha registrat la quantitat de pluja acumulada (en litres per metre quadrat, $\text{l/m}^2$) durant $50$ jornades de tempesta en una comarca agrícola. En tractar-se d'una variable contínua, les dades s'han agrupat en els intervals semioberts següents: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$ i $[40, 50]$. El nombre de dies registrat en cada interval ha estat $18$, $15$, $10$, $5$ i $2$, respectivament.

1. a) Explica per què per modelitzar aquestes dades cal fer servir un histograma amb rectangles adjacents (enganxats) i no un diagrama de barres separades. Especifica amb precisió quina magnitud es representa en l'eix horitzontal ($X$) i quina en l'eix vertical ($Y$).
2. b) Per construir el polígon de freqüències associat, es necessita un punt representatiu de cada interval. Defineix el concepte matemàtic de «marca de classe», calcula el seu valor per a cadascun dels cinc intervals i determina les coordenades cartesianes $(x, y)$ dels punts que s'unirien per traçar el polígon.
3. c) Analitza la forma del polígon de freqüències resultant: la distribució és simètrica respecte al centre o presenta asimetria? Calcula quin percentatge acumulat dels dies de tempesta van registrar menys de $20\text{ l/m}^2$ i interpreta quina implicació té aquesta concentració de precipitacions per a l'aprofitament agrícola de la zona.

Un tècnic municipal d'esports ha de presentar les estadístiques anuals d'un poliesportiu i ha proposat tres gràfics preliminars per a la memòria de gestió:

• Gràfic 1: Un histograma per representar l'esport principal practicat pels usuaris (futbol sala, natació, tennis, pàdel, gimnàstica).

• Gràfic 2: Un diagrama de barres separades per mostrar l'evolució del nombre d'usuaris diaris que han accedit al gimnàs al llarg de les $52$ setmanes de l'any.

• Gràfic 3: Un diagrama de sectors per representar la distribució dels $1\,200$ socis segons el seu grup d'edat: infantil ($180$ socis), juvenil ($360$ socis), adults ($480$ socis) i majors de 65 anys ($180$ socis).

1. a) Detecta i explica l'error metodològic comès en l'elecció del Gràfic 1. Justifica per què és conceptualment incorrecte fer servir un histograma amb aquesta variable i quin tipus de gràfic s'ha d'emprar en el seu lloc.
2. b) Compara la idoneïtat del Gràfic 2 enfront d'un diagrama de línies per mostrar les dades de les $52$ setmanes. Justifica quina de les dues opcions reflecteix millor la continuïtat temporal i permet identificar pics d'afluència o estacionalitat amb més claredat.
3. c) En el Gràfic 3, calcula l'angle central que correspon a cadascun dels quatre grups d'edat. Argumenta si seria possible substituir aquest diagrama de sectors per un histograma de freqüències, explicant quina dificultat tècnica planteja el grup «majors de 65 anys» a l'hora de definir l'amplitud dels intervals.