Exercicis: Paràmetres estadístics

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials, s'ha preguntat a un grup d'adolescents quantes hores al dia dediquen a mirar vídeos a TikTok. Els resultats obtinguts són:

$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$

Identifica la població de l'estudi i calcula la moda de les hores d'ús.

Set amics comparen el nombre de missatges que tenen sense llegir a la seva aplicació de missatgeria. Les dades són les següents:

$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$

Calcula la mitjana aritmètica ($\bar{x}$) del nombre de missatges pendents d'aquest grup.

Durant una setmana d'entrenament, una atleta ha registrat els quilòmetres que ha corregut cada dia per a preparar una cursa:

$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$

Troba la mediana ($Me$) de la distància recorreguda. Quin significat té aquest valor en relació amb el total dels dies entrenats?

En el gràfic següent es mostren les temperatures màximes enregistrades en un refugi de muntanya durant els primers 5 dies de gener.

Sabent que les temperatures han estat $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ i $5^\circ C$, calcula el rang o recorregut de la temperatura en aquells dies.

Un professor ha organitzat en una taula de freqüències el nombre de faltes d'ortografia que han tingut els seus alumnes en l'últim dictat:

Faltes ($x_i$)	N. d'alumnes ($f_i$)
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$6$
$3$	$4$

Calcula la mitjana del nombre de faltes de la classe utilitzant les dades de la taula.

Dos equips d'e-sports han anotat les seves puntuacions en les últimes 5 partides.

• Equip A: $85, 88, 90, 92, 95$

• Equip B: $60, 75, 90, 105, 120$

Tots dos equips tenen la mateixa mitjana, $\bar{x} = 90$. Sense fer càlculs complexos de desviació típica, observa les dades i explica quin dels dos equips és més regular (té menys dispersió) i per què.

S'ha mesurat l'estatura d'un grup d'estudiants de 3r d'ESO i s'han ordenat les dades de menor a major. Els valors dels quartils obtinguts són:

$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$

1. a) Quin és el valor de la mediana?
2. b) Quin percentatge d'alumnes mesura $172 \text{ cm}$ o menys?

Observa la representació següent d'un conjunt de dades sobre una recta numèrica. Els punts representen el nombre de mascotes que tenen diversos veïns:

A partir del gràfic, escriu la llista de dades i calcula la moda ($Mo$) i el rang.

En Marcos vol calcular la mediana de les notes que ha obtingut en set controls de Matemàtiques al llarg del curs: $4$, $8$, $3$, $9$, $5$, $7$ i $2$. En el seu examen escriu la justificació següent:

«Com que són $7$ notes, la mediana és la dada que ocupa la posició central, és a dir, el quart element de la llista. Compto d'esquerra a dreta i el quart nombre és el $9$, així que la mediana és $Me = 9$».

1. a) Identifica i explica raonadament quin error conceptual ha comès en Marcos.
2. b) Sense necessitat de calcular-la encara, per què és impossible que la mediana d'aquest conjunt de notes sigui $9$?
3. c) Corregeix el procediment i calcula el valor real de la mediana i de la moda de les seves notes.

En una competició escolar d'atletisme, una atleta de llançament de pes ha registrat en els seus cinc intents les distàncies següents (en metres): $8,1$; $8,3$; $8,0$; $8,4$ i $12,2$.

1. a) Estima: sense fer operacions per escrit, estima entre quins dos nombres enters se situarà la mitjana aritmètica i raona si creus que la mediana serà més gran, més petita o igual que aquesta mitjana estimada. Justifica la teva resposta observant com es distribueixen els valors.
2. b) Comprova: calcula amb exactitud la mitjana ($\bar{x}$) i la mediana ($Me$) dels llançaments.
3. c) Valora: compara els resultats amb la teva estimació inicial. Explica amb les teves paraules com ha influït l'últim llançament ($12,2$ m) en la mitjana i per què gairebé no ha afectat la mediana.

Un grup de 20 adolescents ha anotat quantes vegades han anat al cinema en els últims sis mesos. Les dades obtingudes són les següents:

$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències i calcula les mesures de centralització: la mitjana aritmètica ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) i la moda ($Mo$). Quina d'elles consideres que representa millor el grup?

Dues aplicacions de missatgeria, "App A" i "App B", estan competint per ser les més estables. S'ha mesurat el temps de resposta (en mil·lisisegons) en 10 intents diferents, i s'han obtingut els resultats següents:

• App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms

• App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms

Calcula el coeficient de variació ($CV$) de totes dues aplicacions i explica de manera raonada quina de les dues és més "fiable" o regular en el seu funcionament per a un usuari.

Un club d'e-sports ha registrat el temps (en minuts) que triguen els seus socis a completar un nivell difícil d'un videojoc. Els resultats es mostren en aquesta taula de dades agrupades:

Temps (min)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)
N. de jugadors	4	12	8	6

Calcula la mitjana aritmètica i la desviació típica de la distribució utilitzant les marques de classe.

Les notes de la Lucía en els quatre primers exàmens de Matemàtiques han estat un $6,5$, un $4$, un $8$ i un $7,5$. Si encara li queda un cinquè examen per fer, quina nota ha de treure perquè la seva mitjana final sigui exactament de $7$? Justifica la teva resposta plantejant una equació.

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre d'hores setmanals que dediquen els alumnes de 3r d'ESO a llegir llibres per plaer. Els paràmetres de posició obtinguts són:

$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$

Dibuixa el diagrama de caixa i bigotis (Box-plot) corresponent. Si un alumne llegeix 6 hores a la setmana, en quin quart de la població es troba (entre el 0-25%, 25-50%, 50-75% o 75-100%)?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una classe d'Educació Física, s'ha mesurat el temps de recuperació de dos grups després d'una cursa. Tots dos grups tenen la mateixa mitjana de pulsacions, $\bar{x} = 85$ ppm. Tanmateix, la variància del Grup 1 és $S^2 = 16$ i la del Grup 2 és $S^2 = 100$.

1. a) Calcula la desviació típica de cada grup.
2. b) En quin dels dos grups els alumnes tenen un estat de forma més similar entre ells? Raona la teva resposta basant-te en la dispersió.

Una botiga de roba jove vol analitzar l'edat dels seus clients. Per a fer-ho, agafa una mostra de 10 persones un dissabte al matí:

$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$

1. a) Calcula el rang i la mitjana d'edat.
2. b) La mediana és $15,5$ anys. Si eliminem el client de 35 anys (que es considera un valor atípic), calcula la nova mitjana i la nova mediana. Quin paràmetre ha canviat més? Per què creus que passa això?

Observa els dos conjunts de dades següents, que representen els punts obtinguts per dos jugadors de bàsquet en els seus últims 5 partits:

• Jugador A: $18, 20, 22, 19, 21$

• Jugador B: $10, 30, 5, 25, 30$

A la figura tens les mateixes dades representades sobre una recta numèrica (cada punt és un partit).

Sense fer càlculs complexos de variància, observa les dades i respon:

1. Tenen la mateixa mitjana aritmètica?

2. Quin dels dos jugadors és més "constant" en les seves puntuacions?

3. Si haguessis d'escollir-ne un per jugar l'últim minut d'una final, quin triaries i per què? Fes servir els conceptes de mitjana i dispersió en la teva resposta.

Un equip d'investigació sociològica recopila un conjunt de $5$ nombres enters positius que corresponen al nombre de llibres llegits a l'any per un grup reduït d'estudiants. S'han extraviat les dades originals, però a l'informe final es conserven intactes els paràmetres següents:

• La moda és única i és igual a $4$.

• La mediana és $5$.

• El rang o recorregut és $8$.

• La mitjana aritmètica és $7$.

Deduïx de manera ordenada i raonada quins són els $5$ nombres originals. Justifica cada pas explicant quina propietat estadística et permet fixar o descartar cadascun dels valors.

Una empresa emergent de disseny tecnològic a Màlaga compta amb una plantilla de $8$ persones. Els seus salaris mensuals nets en euros són: $1\,200$, $1\,250$, $1\,300$, $1\,300$, $1\,400$, $1\,450$, $1\,500$ i $6\,600$ (aquest últim correspon a la sòcia fundadora).

1. a) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i la moda dels salaris.
2. b) En una oferta de feina, l'empresa afirma: «El sou mitjà del nostre equip és de $2\,000$ € al mes». Per la seua banda, els representants dels treballadors argumenten que el sou més representatiu ronda els $1\,300$ €–$1\,400$ €. Compara tots dos mètodes de centralització (mitjana enfront de mediana): quin descriu amb més fidelitat la retribució habitual de la plantilla? Justifica la teua resposta analitzant l'impacte del salari atípic.
3. c) Per a estudiar la dispersió d'aquests sous es proposen dues alternatives: calcular el rang total o calcular el recorregut interquartílic ($IQR = Q_3 - Q_1$). Justifica quina de les dues mesures és preferible en aquest cas.

En un grup de $10$ amics, la mitjana de les seves alçades és de $172$ cm. Si s'incorpora al grup una persona que mesura $194$ cm, quina serà la nova mitjana? Si després marxa una altra persona que mesurava $161$ cm, quina serà la mitjana final del grup? Justifica pas a pas com afecta cada canvi a la suma total de les alçades per fer el càlcul.

Dos jugadors d'eSports, Alex i Bea, han registrat les seves puntuacions en les últimes $8$ partides d'un torneig.

• Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$

• Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$

1. a) Calcula la mitjana i la desviació típica de tots dos jugadors.
2. b) Utilitza el coeficient de variació ($CV$) per determinar quin dels dos és un jugador més regular i fiable per a l'equip. Explica què significa en aquest context que un jugador tingui una desviació típica molt més alta que l'altre si les seves mitjanes fossin similars.

Una empresa de missatgeria analitza el pes dels paquets que transporta. Les dades s'han agrupat en la taula de freqüències per intervals següent:

Pes en kg $[L_i, L_s)$	N. de paquets ($f_i$)
$[0, 2)$	$12$
$[2, 4)$	$25$
$[4, 6)$	$38$
$[6, 8)$	$15$
$[8, 10)$	$10$

Calcula la mitjana aritmètica, la variància i la desviació típica de la distribució. Per fer-ho, identifica primer les marques de classe ($x_i$) de cada interval.

Observa el diagrama de caixa (box-plot) següent que representa les hores d'ús setmanals d'una aplicació mòbil en una mostra d'adolescents:

Basant-te en el gràfic, respon:

1. a) Quin és el valor de la mediana, el primer quartil ($Q_1$) i el tercer quartil ($Q_3$)?
2. b) Calcula el rang interquartílic ($RIC$).
3. c) Raona si la distribució és simètrica o si presenta asimetria. En quina meitat de les dades hi ha més dispersió?

Un professor ha corregit els exàmens d'una classe de $25$ alumnes. La mitjana ha resultat ser de $6,4$ i la desviació típica de $1,2$. Després de revisar un dels exercicis, decideix pujar $0,5$ punts a tots els alumnes de la classe.

1. a) Quina serà la nova mitjana i la nova desviació típica?
2. b) Si en lloc de sumar una quantitat fixa, decidís augmentar totes les notes un $10\%$, com es veurien afectats tots dos paràmetres? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats dels paràmetres estadístics.

Inventa una sèrie de $6$ dades estadístiques (nombres enters positius) que compleixin simultàniament les condicions següents:

1. La moda és $4$.

2. La mediana és $5$.

3. El rang és $10$.

4. La mitjana és més gran que la mediana.

Mostra els càlculs que verifiquin que la teva sèrie compleix tots els requisits.

En una petita empresa, els salaris dels $5$ empleats són: $1100€, 1200€, 1250€, 1300€$ i $1400€$. El gerent té un salari de $4500€$.

1. a) Calcula la mitjana i la mediana dels salaris incloent-hi el gerent.
2. b) Quina de les dues mesures representa millor el sou "típic" de l'empresa? Explica l'efecte que produeix el salari del gerent (valor extrem) sobre la mitjana i per què la mediana és un paràmetre més robust en aquest cas.
3. c) Si es vol donar una imatge de prosperitat en la publicitat de l'empresa, quin paràmetre s'utilitzaria? Seria enganyós?

A partir de sèries històriques de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), s'han registrat les precipitacions anuals (en litres per metre quadrat, $\text{l/m}^2$) de dues ciutats espanyoles durant cinc anys representatius:

• Vigo: $1\,200$, $1\,300$, $1\,100$, $1\,400$, $1\,000$

• Almeria: $200$, $150$, $300$, $100$, $250$

1. a) Calcula la mitjana ($\bar{x}$), la variància ($s^2$) i la desviació típica ($s$) de les precipitacions de cada ciutat.
2. b) Una persona afirma: «El volum de pluja a Vigo és molt més irregular que a Almeria perquè la seua desviació típica és pràcticament el doble». Utilitza el coeficient de variació ($CV = s / \bar{x}$) expressat en percentatge per a refutar o defensar amb rigor matemàtic aquesta afirmació.
3. c) Justifica per què en aquest estudi sí que és metodològicament correcte utilitzar el coeficient de variació amb les precipitacions en $\text{l/m}^2$, mentre que no tindria sentit matemàtic aplicar-lo directament a les temperatures mitjanes anuals mesurades en graus Celsius ($^\circ\text{C}$).

Una cooperativa arrossera de les Marismas del Guadalquivir (Sevilla) envasa paquets d'arròs el pes nominal dels quals està establit en $1\,000$ g. Per a verificar el calibratge de dues línies d'envasament, el control de qualitat pren una mostra de $5$ paquets de cada màquina:

• Màquina A: $995$, $1\,000$, $1\,005$, $998$, $1\,002$ (en grams).

• Màquina B: s'han registrat quatre paquets amb pesos de $980$, $1\,020$, $990$, $1\,010$ (en grams), però el pes del cinqué paquet no es va anotar per una fallada informàtica.

1. a) Deduïx quin ha de ser el pes del cinqué paquet de la Màquina B perquè ambdues línies tinguen exactament la mateixa mitjana aritmètica de $1\,000$ g.
2. b) Amb el valor deduït, calcula la desviació típica ($s$) i el coeficient de variació percentual ($CV_{\%}$) de cadascuna de les dues màquines.
3. c) El protocol de qualitat de la fàbrica exigeix que el coeficient de variació d'una envasadora no supere l'$1\%$. Dictamina raonadament si ambdues màquines compleixen la norma i explica quins perjudicis econòmics o comercials patiria la cooperativa si utilitzara la màquina més dispersa, a pesar que la seua mitjana siga exactament de $1\,000$ g.