Exercicis: Problemes amb equacions

En un torneig d'eSports, l'equip d'Alex ha aconseguit el triple de punts que l'equip de Salma. Si entre tots dos equips han sumat un total de $152$ punts, quants punts ha obtingut cada equip?

La Aisha té $4$ anys més que el seu germà petit, l'Iker. D'aquí a $6$ anys, la suma de les edats de tots dos serà de $32$ anys. Calcula l'edat actual de cadascun plantejant una equació de primer grau.

Es vol tancar un hort escolar de forma rectangular per protegir els cultius. Sabem que la llargada de l'hort mesura $5$ metres més que l'amplada i que per envoltar-lo completament s'han necessitat $38$ metres de tanca. Quines són les dimensions de l'hort?

Un grup d'amics compra entrades per a un concert. Les entrades de "pista" costen $15$ € més que les de "grada". Si en compren una de cada tipus i el total de la factura és de $85$ €, quin és el preu de cada entrada?

La suma de tres nombres dorsals d'una cursa, que resulten ser tres nombres enters consecutius, és igual a $63$. Quins nombres porten aquests tres corredors a la samarreta?

Un repartidor d'una aplicació de menjar a domicili porta a la motxilla el doble de pizzes que d'hamburgueses. Si en total transporta $12$ comandes entre pizzes i hamburgueses, quantes n'hi ha de cada classe?

La Kenia ha començat a estalviar per comprar-se una tauleta que costa $240$ €. Ja té estalviats $60$ € i, a partir d'ara, guardarà $12$ € de la seva paga cada setmana. Quantes setmanes trigarà a tenir els diners suficients per a la compra?

Calcula el costat d'un panell publicitari de forma quadrada sabent que si el seu costat augmentés en $2$ metres, la seva àrea augmentaria en $16$ metres quadrats.

Per resoldre el problema: «La Lucía té $38$ anys i el seu fill Hugo en té $10$. D'aquí a quants anys l'edat de la Lucía serà exactament el doble de la del seu fill?», en Mateo ha escrit al seu examen:

$38 + x = 2 \cdot 10 + x$

1. a) Explica amb les teves paraules els dos errors conceptuals que ha comès en Mateo en traduir l'enunciat al llenguatge algebraic.
2. b) Defineix amb precisió què representa la incògnita $x$ i planteja l'equació correcta.
3. c) Resol l'equació pas a pas i comprova que la solució respon amb sentit a la pregunta de l'enunciat.

L'ajuntament d'una localitat vol tancar una parcel·la rectangular destinada a parc caní. Per les característiques del terreny, la llargària ha de mesurar exactament el triple que l'amplària, i es disposa d'un pressupost tancat per comprar un rotlle complet de $160\text{ m}$ de tanca metàl·lica.

1. a) Abans de calcular res, fes una estimació raonada: podria mesurar l'amplària $30\text{ m}$? Justifica si amb aquesta mesura es necessitaria més tanca de la disponible, menys o la quantitat exacta.
2. b) Defineix la incògnita $x$, planteja una equació de primer grau que representi el perímetre total i resol-la per trobar les dimensions exactes del parc (llargària i amplària).
3. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació inicial i calcula l'àrea total que tindran els gossos per córrer.

Troba tres nombres enters consecutius tals que la suma dels dos primers sigui igual al triple del tercer menys 14 unitats.

S'està dissenyant una nova zona de jocs rectangular en un parc municipal. Se sap que la llargada de la zona ha de ser $5$ metres major que l'amplada. Si l'àrea total destinada als jocs és de $150$ $m^2$, calcula les dimensions (llargada i amplada) que tindrà aquesta zona.

Actualment, l'edat d'un pare és el triple que la de la seva filla. D'aquí a $12$ anys, l'edat del pare serà només el doble que la de la seva filla. Quina edat té cadascun actualment?

Dos ciclistes, Lucía i Marcos, es troben a una distància de $60$ $km$ i decideixen trobar-se en un punt intermedi. Lucía parteix de $A$ cap a Marcos a una velocitat constant de $20$ $km/h$. Al mateix temps, Marcos parteix de $B$ cap a Lucía a una velocitat de $10$ $km/h$. Quant de temps trigaran a creuar-se i a quina distància del punt $A$ es produirà la trobada?

En una botiga gurmet es volen barrejar dos tipus de cafè. El cafè "Aràbica" té un preu de $12$ €/kg i el cafè "Robusta" costa $8$ €/kg. Si volem obtenir una barreja de $20$ $kg$ que surti a un preu de $10,50$ €/kg, quants quilos de cada tipus de cafè hem d'utilitzar?

Troba un nombre natural tal que la diferència entre el seu quadrat i el seu triple sigui igual a $40$. És única la solució per a aquest problema en el conjunt dels nombres naturals? Justifica la teva resposta plantejant l'equació corresponent.

Un grup d'amics vol comprar un regal d'aniversari que costa $120$ €. Al principi eren un nombre determinat de persones, però a l'últim moment se van apuntar $2$ amics més, la qual cosa va fer que cadascun hagués de pagar $5$ € menys. Quants amics hi havia inicialment al grup?

Calcula les dimensions d'un triangle isòsceles sabent que el costat desigual mesura $4$ $cm$ menys que cadascun dels costats iguals i que el perímetre total és de $26$ $cm$. Un cop trobats els costats, calcula l'àrea del triangle.

Una empresa de paqueteria ecològica que opera a València ofereix dues tarifes mensuals per a comerços de proximitat:

• Tarifa Base: una quota fixa de $15\text{ \euro}$ al mes més $4,50\text{ \euro}$ per cada enviament realitzat.

• Tarifa Eco-Plus: sense quota fixa mensual; cobra $7\text{ \euro}$ per enviament per als primers $10$ enviaments del mes, i rebaixa el preu a $3,50\text{ \euro}$ per cada enviament addicional a partir de l'onzè.

Una llibreria del barri va enviar el mes passat més de $10$ paquets i va comprovar que la factura final hauria estat exactament la mateixa amb qualsevol de les dues tarifes.

1. a) Defineix la incògnita $x$ com el nombre total d'enviaments mensuals i escriu l'expressió algebraica del cost total amb cada tarifa per al cas en què $x > 10$.
2. b) Planteja i resol l'equació corresponent per esbrinar quants enviaments va realitzar la llibreria el mes passat.
3. c) A partir de la solució, explica als amos de la llibreria quina tarifa els convindria contractar si preveuen que els seus enviaments augmentaran el mes que ve.

Imagina que ets professor de Matemàtiques i has de crear una pregunta per a un examen de 3r d'ESO que compleixi exactament aquestes tres condicions:

1. Ha de tractar sobre un hort escolar rectangular l'àrea total del qual sigui de $140\text{ m}^2$.

2. La seva llargària ha de ser $4\text{ metres}$ més gran que la seva amplària.

3. S'ha de resoldre mitjançant una equació de segon grau que tingui una solució positiva i una solució negativa.

1. a) Redacta l'enunciat complet del problema amb redacció clara i precisa, sense resoldre'l en el mateix enunciat.
2. b) Defineix la incògnita $x$, escriu l'equació de segon grau que es dedueix del teu enunciat i resol-la pas a pas.
3. c) Argumenta quin criteri geomètric ha d'aplicar l'alumnat per descartar una de les dues solucions matemàtiques i determina les dimensions finals de l'hort escolar.

Un dissenyador gràfic està treballant en el logotip d'una nova empresa. El disseny consisteix en un rectangle central per al nom, envoltat per una vora decorativa de gruix uniforme $x$. El rectangle interior té unes dimensions de $12\text{ cm}$ per $8\text{ cm}$. Si l'àrea total del logotip (incloent-hi la vora) ha de ser exactament el doble de l'àrea del rectangle interior, quin ha de ser el gruix $x$ d'aquesta vora?

L'edat actual d'una mare és el quadrat de l'edat de la seva filla. D'aquí a $9$ anys, l'edat de la mare serà només el triple de l'edat que tingui la seva filla en aquell moment. Troba les edats actuals de totes dues.

Dues ciutats, $A$ i $B$, estan separades per una distància de $155\text{ km}$. A les 10:00 h, un ciclista surt d'$A$ cap a $B$ a una velocitat constant de $20\text{ km/h}$. Una hora i mitja més tard, una moto surt de $B$ cap a $A$ a una velocitat de $80\text{ km/h}$. A quina hora es creuaran i a quina distància de la ciutat $A$ es produirà la trobada?

En un laboratori químic es necessiten $20\text{ litres}$ d'una solució àcida al $25\%$. El tècnic disposa de dues garrafes: una amb una barreja al $10\%$ d'àcid i una altra amb una barreja concentrada al $50\%$. Quants litres de cada garrafa ha de barrejar per obtenir la concentració desitjada?

Mario ha guanyat $1200\text{ €}$ en un concurs de programació i els divideix en dues parts per dipositar-les en dos productes financers diferents. El primer ofereix una rendibilitat del $4\%$ anual, mentre que el segon, més arriscat, n'ofereix un $7\%$ anual. Si en acabar l'any els beneficis totals obtinguts han sigut de $63\text{ €}$, quina quantitat va destinar a cada producte?

L'àrea d'un triangle rectangle és de $30\text{ cm}^2$ i la seva hipotenusa mesura $13\text{ cm}$. Calcula la mesura dels dos catets del triangle.

Dues canonades connectades a un dipòsit el poden omplir juntes en $4\text{ hores}$. Si s'utilitzen per separat, la canonada de menor diàmetre triga $6\text{ hores}$ més que la canonada de major diàmetre a omplir el dipòsit complet. Quant de temps trigaria cada canonada en solitari?

Un ramader a Astúries disposa de $60\text{ metres}$ de tanca per delimitar un tancat rectangular destinat a la pastura dels seus vedells. Per estalviar material, aprofitarà un mur de pedra ja existent, de manera que només necessita tancar tres costats: dues amplàries iguals i una llargària oposada al mur. El seu objectiu és que el tancat tingui una superfície de $400\text{ m}^2$.

Dos estudiants proposen maneres diferents de plantejar el problema:

• Mètode A: Anomenar $x$ a la longitud del costat llarg paral·lel al mur, de manera que cadascuna de les dues amplàries mesurarà $\frac{60 - x}{2}\text{ metres}$.

• Mètode B: Anomenar $y$ a la longitud de cadascuna de les dues amplàries perpendiculars al mur, de manera que la llargària mesurarà $60 - 2y\text{ metres}$.

1. a) Escriu l'equació de segon grau que s'obté amb cada mètode per calcular l'àrea ($400\text{ m}^2$).
2. b) Analitza tots dos mètodes: quin dels dos resulta algebraicament més senzill per operar a mà i per què? Justifica la teva resposta considerant la presència o absència de denominadors.
3. c) Resol l'equació utilitzant el mètode que hagis considerat més avantatjós i troba les possibles dimensions del tancat.
4. d) Interpreta el resultat: té sentit físic que existeixin dues solucions vàlides per a les dimensions del tancat? Explica la forma que adoptaria el recinte en cada cas.

Una comunitat de regants de Múrcia emmagatzema aigua en una bassa rectangular que mesura $30\text{ m}$ de llargària per $20\text{ m}$ d'amplària. Per afrontar un període de sequera, decideixen ampliar la bassa sumant la mateixa quantitat de metres, $x$, tant a la llargària com a l'amplària. La nova superfície ha de ser exactament de $936\text{ m}^2$ i, per motius de seguretat mediambiental, la normativa de la conca prohibeix basses que superin els $1000\text{ m}^2$.

1. a) Abans de resoldre algebraicament, fes una estimació raonada del valor de $x$: calcula l'àrea si $x = 5\text{ m}$ i si $x = 10\text{ m}$, i justifica entre quins dos valors enters s'ha de situar l'ampliació $x$.
2. b) Defineix l'equació de segon grau en la seva forma general $ax^2 + bx + c = 0$ que modelitza la situació i resol-la pas a pas.
3. c) Analitza les dues solucions de l'equació: per què una d'elles no té sentit pràctic? Compleixen les dimensions finals de la bassa ampliada la normativa mediambiental?
4. d) Si el cost d'excavació i impermeabilització és de $35\text{ \euro}$ per cada metre quadrat de superfície afegida respecte a la bassa original, calcula el pressupost total que necessitarà la comunitat de regants.

Repte del tema. És viable organitzar una minifira juvenil sostenible al teu municipi? Converteix-te en gestor del projecte i presenta un informe breu de viabilitat estructurat en tres fases:

1. Consum i 1r grau: Consulta al web de Red Eléctrica (REE) el preu mitjà del kWh d'avui. Amb un cost fix de la parada de $12,50$ € i una despesa elèctrica estimada d'$1,20$ €/hora, planteja i resol una equació de primer grau per calcular quantes hores pots obrir amb un pressupost de $24,50$ €.

2. Espai i sistemes: Dissenya a GeoGebra o en paper un envelat rectangular de $54\text{ m}^2$ on la llargària mesuri $3\text{ m}$ més que l'amplària ($x(x+3)=54$); troba les seves dimensions resolent l'equació de segon grau. Després, planteja un sistema lineal sabent que hi ha $15$ parades entre menjar i tallers ecològics, i que abonen en total $330$ € ($30$ € i $15$ € cadascuna, respectivament) per calcular quantes n'hi ha de cada classe.

3. Enquesta i probabilitat: Pregunta a $10$ veïns si prefereixen assistir-hi el divendres o el dissabte. Enregistra les dades en un full de càlcul, calcula la probabilitat experimental que un veí prefereixi cada dia i redacta la teva proposta final raonada.

Es valorarà:

• Precisió matemàtica en el plantejament i resolució algebraica d'equacions i sistemes.

• Obtenció rigorosa de dades reals i tractament probabilístic amb full de càlcul o GeoGebra.

• Coherència, claredat i sentit crític en les conclusions de l'informe final.