Exercicis: Longitud i latitud

Imagina que ets un cartògraf principiant. En el teu primer mapa, has de situar les línies de referència més importants de la Terra. Observa el dibuix i associa cada lletra amb el seu nom corresponent:

1. Equador.

2. Meridià de Greenwich.

3. Pol Nord.

4. Un paral·lel qualsevol.

Indica en quin hemisferi (Nord o Sud per a la latitud, Est o Oest per a la longitud) es troben els punts geogràfics següents:

• Punt A: $34^\circ$ N, $120^\circ$ E

• Punt B: $12^\circ$ S, $45^\circ$ O

• Punt C: $89^\circ$ N, $5^\circ$ O

• Punt D: $40^\circ$ S, $170^\circ$ E

Dues ciutats, Villa Sol i Villa Luna, es troben sobre el mateix meridià. Si Villa Sol té una latitud de $45^\circ$ N i Villa Luna té una latitud de $20^\circ$ S, quants graus d'arc de meridià les separen?

Un explorador ha anotat per error les coordenades següents al seu diari. Explica per què aquestes coordenades són geogràficament impossibles:

1. a) Latitud: $105^\circ$ S, Longitud: $20^\circ$ E.
2. b) Latitud: $45^\circ$ N, Longitud: $210^\circ$ O.

Sabem que la Terra triga 24 hores a completar una volta de $360^\circ$ sobre el seu eix.

1. a) Quants graus de longitud corresponen a una hora de diferència?
2. b) Si en una ciutat situada a $0^\circ$ de longitud (Greenwich) són les 12:00 del migdia, quina hora serà en una ciutat situada a $30^\circ$ E?

Dos vaixells, l'Alfa i el Beta, naveguen per l'oceà Atlàntic. Les seves coordenades són:

• Vaixell Alfa: $20^\circ$ N, $30^\circ$ O

• Vaixell Beta: $20^\circ$ N, $60^\circ$ O

Respon raonadament:

1. a) Es troben sobre el mateix paral·lel o sobre el mateix meridià?
2. b) Quin dels dos vaixells està més a prop del meridià de Greenwich?

Si viatges en avió des de Madrid ($40^\circ$ N, $3^\circ$ O) cap a una ciutat que està exactament a les seves antípodes (el punt oposat de l'esfera terrestre):

1. a) Quina seria la latitud d'aquest punt? (El mateix valor però direcció oposada).
2. b) Si la longitud d'un punt i la seva antípoda han de sumar $180^\circ$ i estar en hemisferis oposats, quina seria la longitud d'aquest punt?

Observa la representació plana següent (planisferi) d'una zona de l'oceà. Identifica les coordenades (Latitud i Longitud) del punt $P$ marcat amb una estrella.

En un examen de Geometria, en Sergio ha de calcular la distància que separa dues balises marines situades al mateix meridià terrestre ($0^\circ$, el meridià de Greenwich): la balisa Alpha, situada a $42^\circ\text{ N}$, i la balisa Beta, situada a $18^\circ\text{ S}$. En Sergio escriu al seu full de respostes:

«Com que ambdues balises es troben sobre el meridià de Greenwich, la diferència angular entre elles és $\alpha = 42^\circ - 18^\circ = 24^\circ$. Per tant, multiplicant per la distància teòrica per grau de meridià, la distància és $d = 24 \cdot 111{,}2 = 2668{,}8\text{ km}$».

1. a) Localitza i explica raonadament l'error conceptual d'en Sergio basant-te en la definició geomètrica de l'equador com a referència per a la latitud.
2. b) Corregeix el procediment i troba la distància real correcta entre ambdues balises al llarg del meridià.

Dues ciutats espanyoles, Santander ($43{,}5^\circ\text{ N}$) i Jaén ($37{,}8^\circ\text{ N}$), estan situades gairebé amb exactitud sobre el mateix meridià terrestre ($3{,}8^\circ\text{ O}$).

1. a) Estima: Sense utilitzar calculadora ni decimals, arrodoneix ambdues latituds al nombre enter més proper. Calcula mentalment la diferència de graus i estima la distància en quilòmetres sabent que cada grau de meridià equival aproximadament a $110\text{ km}$.
2. b) Calcula: Fes ara el càlcul rigorós utilitzant els valors decimals reals donats ($43{,}5^\circ$ i $37{,}8^\circ$) i l'equivalència teòrica d'$111{,}2\text{ km}$ per grau.
3. c) Comprova: Troba la diferència en quilòmetres entre la teva estimació i el càlcul precís. Consideres que l'estimació inicial era prou encertada com perquè una empresa de transport avaluï la despesa de combustible? Raona la teva resposta.

Un grup d'amics a Madrid (longitud $3^\circ$ $41'$ O) vol veure en directe el llançament d'un coet espacial des de Cap Canaveral (longitud $80^\circ$ $36'$ O). Si el llançament està programat per a les 14:30 hora local de Florida, i sabent que cada fus horari de $15^\circ$ equival a una hora de diferència teòrica, a quina hora hauran de sintonitzar el directe a Espanya? Utilitza l'esquema de fusos horaris teòrics per realitzar el càlcul.

Una balena geperuda migra seguint exactament el mateix meridià des d'una zona d'alimentació situada a $65^\circ$ N de latitud fins a una zona de reproducció a $15^\circ$ S. Si el radi mitjà de la Terra es considera de $6\,371$ km, calcula la distància total en quilòmetres que recorre la balena en el seu viatge d'anada.

Dos vaixells d'investigació oceanogràfica es troben sobre la línia de l'Equador. El vaixell A està en una longitud de $12^\circ$ E i el vaixell B es troba a una distància de $2\,500$ km cap a l'Oest del vaixell A. Determina la longitud exacta del vaixell B, sabent que el radi de la Terra és de $6\,371$ km.

Un avió s'enlaira de Tòquio ($35^\circ$ N, $139^\circ$ E) a les 08:00 de dilluns amb destí a San Francisco ($37^\circ$ N, $122^\circ$ O). Si el vol dura 10 hores, quina hora i quin dia serà a San Francisco quan l'avió aterri? Tingues en compte el canvi de data en travessar l'antimeridià de Greenwich ($180^\circ$).

Es diu que les antípodes d'un lloc són el punt de la superfície terrestre diametralment oposat. Si les coordenades de la teva ciutat són $40^\circ$ $25'$ N de latitud i $3^\circ$ $41'$ O de longitud:

1. a) Quina seria la latitud de les teves antípodes?
2. b) Quina seria la longitud de les teves antípodes?

(Pista: Per a la latitud canvia d'hemisferi; per a la longitud cerca el meridià que completi $180^\circ$ i canvia d'hemisferi E/W).

En nàutica s'utilitza la "milla nàutica", que es defineix com la longitud d'un arc de meridià de $1'$ (un minut de grau).

1. a) Calcula a quants quilòmetres equival una milla nàutica (Radi de la Terra = $6\,371$ km).
2. b) Si un veler ha navegat per un meridià des d'una latitud de $30^\circ$ N fins a $35^\circ$ N, quantes milles nàutiques ha recorregut?

Dues ciutats, P i Q, estan situades en el mateix meridià. La ciutat P està a $42^\circ$ N i la ciutat Q a $15^\circ$ N. Una altra ciutat, R, està situada en el mateix paral·lel que Q, però a una distància de $20^\circ$ de longitud cap a l'Est.

Calcula, fent servir $R = 6\,371$ km:

1. a) La distància entre P i Q sobre el meridià.
2. b) La distància entre Q i R sobre el paral·lel.

Quina de les dues distàncies és més gran?

Una boia de recerca oceanogràfica de l'Instituto Español de Oceanografía parteix fondejada al mar Cantàbric a $44^\circ\text{ N}$ i $5^\circ\text{ O}$. Durant un fort temporal es deixa anar de les seves amarres i es desplaça en línia recta rumb al sud al llarg del seu meridià ($5^\circ\text{ O}$). Setmanes més tard, el satèl·lit localitza la boia després d'haver navegat exactament $5448{,}8\text{ km}$.

1. a) Sabent que a cada grau de meridià li corresponen $111{,}2\text{ km}$, troba la diferència angular $\alpha$ recorreguda per la boia.
2. b) Dedueix les coordenades geogràfiques finals exactes (latitud i longitud) en les quals es troba la boia i justifica en quin hemisferi ha quedat aturada.
3. c) Planteja una equació general on la incògnita sigui la latitud final $x$ que permeti resoldre aquest problema quan es parteix d'una latitud nord $\text{Lat}_0$ i s'avança cap al sud sobrepassant l'equador una distància donada $d$.

El «migdia solar» astronòmic es produeix quan el Sol creua exactament el meridià del lloc. La Terra completa un gir de $360^\circ$ en 24 hores, la qual cosa determina que cada fus teòric de $15^\circ$ de longitud equivalgui a 1 hora (o $1^\circ$ a 4 minuts).

1. a) Escriu la fórmula matemàtica que relaciona la diferència de longitud angular $\Delta \lambda$ (en graus) entre dues localitats i el desfasament dels seus respectius migdies solars $\Delta t$ (en minuts).
2. b) Maó (Menorca) s'ubica a $4{,}2^\circ\text{ E}$ de longitud i el Cap Touriñán (Galícia) se situa a $9{,}3^\circ\text{ O}$. Modela i calcula la diferència angular total entre ambdues localitats i determina el desfasament solar exacte en minuts.
3. c) Si a Maó el migdia solar té lloc a les 13:10 de l'hora oficial del rellotge d'hivern, a quina hora oficial passa el migdia solar a Cap Touriñán? A partir del resultat, interpreta per què a Galícia la sensació social és que es fa de nit «molt tard» respecte a l'hora del rellotge.

Es construeix un octaedre truncat a partir d'un octaedre regular d'aresta $12 \text{ cm}$. Per a fer-ho, es talla cadascun dels sis vèrtexs de manera que s'eliminen petites piràmides quadrangulars de base regular, convertint cada cara triangular original en un hexàgon regular.

1. Determina el nombre de cares, vèrtexs i arestes del poliedre resultant i comprova si compleix el Teorema d'Euler.

2. Si l'aresta del nou poliedre (la de l'hexàgon resultant) és de $4 \text{ cm}$, calcula l'àrea total de la superfície de l'octaedre truncat.

Una empresa de perfums dissenya un flascó amb la forma d'un tronc de cone invertit coronat per una semiesfera que encaixa perfectament a la base superior. Les dades del disseny són les següents:

• Altura del tronc de cone: $8 \text{ cm}$.

• Radi de la base inferior (on es recolza): $3 \text{ cm}$.

• Radi de la base superior (on encaixa la semiesfera): $6 \text{ cm}$.

Calcula el volum total del flascó i determina si és capaç de contenir un flascó estàndard de $330 \text{ ml}$ d'essència. (Pren $\pi \approx 3,14$).

Un avió de reconeixement s'enlaira d'una base situada en les coordenades $(30^\circ \text{ N}, 15^\circ \text{ O})$ a les 08:00 hora local. Vola directament cap a l'Est seguint el mateix paral·lel fins a arribar a una ciutat situada a $60^\circ$ de longitud Est. El vol té una durada total de 9 hores.

A quina hora local de la ciutat de destí aterrarà l'avió? Tingues en compte el canvi de fusos horaris durant el trajecte (considera fusos teòrics de $15^\circ$ cadascun).

Un dipòsit d'aigua té forma de prisma hexagonal regular recte. Es sap que el radi de la circumferència en què s'inscriu la base hexagonal mesura $4 \text{ m}$ i que l'altura del prisma és el triple de l'apotema de la base.

Calcula el cost d'impermeabilitzar les parets laterals i el fons (base inferior) si el preu del material és de $12,50 \text{ €/m}^2$. Arrodoneix el resultat a les centèsimes.

Es té un cilindre de radi $R$ i altura $2R$. Al seu interior s'introdueix una esfera de radi $R$ que encaixa tangencialment amb les parets i les bases del cilindre.

1. Demostra analíticament la relació que hi ha entre el volum de l'esfera i el volum del cilindre.

2. Si el volum del cilindre és de $54 \text{ cm}^3$, quin volum d'aire queda lliure dins del cilindre una vegada introduïda l'esfera?

Calcula la distància més curta entre dos punts, P i Q, situats sobre la superfície terrestre si les seves coordenades són:

• P: $(40^\circ \text{ N}, 10^\circ \text{ O})$

• Q: $(40^\circ \text{ S}, 10^\circ \text{ O})$

Considera que la Terra és una esfera perfecta de radi $6371 \text{ km}$. Expressa el resultat en quilòmetres. Es desplaça el viatger per un meridià o per un paral·lel? Justifica la teva resposta.

Un submarí es desplaça pel fons marí des d'un punt X $(0^\circ, 175^\circ \text{ E})$ fins a un punt Y $(0^\circ, 170^\circ \text{ O})$. La figura mostra l'Equador vist des del Pol Nord, amb els dos punts assenyalats.

1. a) Quants graus de longitud ha recorregut si ha seguit la ruta més curta per l'Equador?

1. b) Si el submarí viatja a una velocitat constant de $20 \text{ nusos}$ ($1 \text{ nus} \approx 1,85 \text{ km/h}$), quant de temps trigarà a completar el viatge? (Radi de la Terra: $6371 \text{ km}$).

1. c) Hi va haver algun canvi de data durant el trajecte? Explica per què.

Una companyia de transport aeri dissenya una ruta entre Tromsø (Noruega, situat a $70^\circ\text{ N}, 19^\circ\text{ E}$) i una estació científica a Point Hope (Alaska, situada a $70^\circ\text{ N}, 161^\circ\text{ O}$). Observa que els meridians $19^\circ\text{ E}$ i $161^\circ\text{ O}$ són antimeridians (sumen $180^\circ$), per la qual cosa junts formen una circumferència màxima completa que passa per tots dos pols. Es proposen dos trajectes seguint arcs de cercle màxim:

• Mètode Polar: Volar cap al nord pel meridià $19^\circ\text{ E}$ fins al pol Nord ($90^\circ\text{ N}$) i continuar baixant pel meridià $161^\circ\text{ O}$ fins als $70^\circ\text{ N}$.

• Mètode Equatorial: Volar cap al sud pel meridià $19^\circ\text{ E}$ fins a l'equador ($0^\circ$), recórrer mig equador ($180^\circ$ de longitud sobre la circumferència equatorial, el radi de la qual és igual al del meridià) fins al meridià $161^\circ\text{ O}$, i ascendir cap al nord fins als $70^\circ\text{ N}$.

1. a) Calcula la distància en quilòmetres recorreguda seguint el Mètode Polar fent servir l'equivalència de $111{,}2\text{ km}$ per grau.
2. b) Calcula la distància en quilòmetres recorreguda seguint el Mètode Equatorial.
3. c) Compara tots dos mètodes quantificant la diferència en quilòmetres i justifica geomètricament per què els vols comercials intercontinentals entre latituds altes de l'hemisferi nord trien rutes polars en comptes de descendir cap a latituds més temperades.

Dos vaixells de recerca oceanogràfica naveguen sobre el mateix meridià atlàntic ($15^\circ\text{ O}$). El vaixell A parteix del punt ($44^\circ\text{ N}, 15^\circ\text{ O}$) rumb al sud, i el vaixell B parteix del punt ($10^\circ\text{ S}, 15^\circ\text{ O}$) rumb al nord. Tots dos inicien el seu trajecte de manera simultània a les 08:00 (hora solar del seu meridià) a una velocitat constant idèntica de $27{,}8\text{ km/h}$.

1. a) Modela la distància inicial en quilòmetres que separa els dos vaixells (considerant $111{,}2\text{ km}$ per grau de meridià) i calcula la velocitat conjunta d'aproximació expressada tant en $\text{km/h}$ com en graus de latitud per hora.
2. b) Quantes hores trigaran a trobar-se i quines seran les coordenades geogràfiques exactes (latitud i longitud) del punt de trobada? Raona si aquest punt està a l'hemisferi nord o al sud.
3. c) Quan es produeix la trobada, envien un comunicat per ràdio a una base receptora situada a la longitud $75^\circ\text{ E}$. Determina la diferència horària solar teòrica entre el lloc de trobada i la base receptora, i dedueix quina hora solar teòrica és a la base receptora en l'instant en què reben el missatge.

Repte del tema. Dissenya un refugi bioclimàtic d'emergència per a una reserva natural de la teva comunitat autònoma.

1. Ubicació: Entra al visor de l'IGN o Google Earth, localitza la reserva triada i anota les seves coordenades geogràfiques exactes (latitud i longitud).

2. Estructura geomètrica: Dissenya el refugi combinant un políedre (mòdul base habitable, per exemple un prisma recte) i un cos de revolució (coberta semiesfèrica o dipòsit cilíndric d'aigua). Assenyala en el teu esbós almenys un parell de plans paral·lels i dues arestes perpendiculars clau per a la seva estabilitat.

3. Càlcul amb full de càlcul: Mesura un envàs domèstic per fer-lo servir com a maqueta a escala $1:20$ o defineix dimensions reals en metres. En un full de càlcul, programa les fórmules per trobar l'àrea del políedre (aïllament tèrmic necessari) i el volum total del cos geomètric compost resultant.

4. Proposta final: Redacta un informe breu justificant la viabilitat del refugi, la seva capacitat habitable en $\text{m}^3$ i el cost d'impermeabilització a raó de $18,50\text{ €/m}^2$.

Es valorarà:

• Determinació rigorosa de latitud i longitud, i identificació correcta de paral·lelisme i perpendicularitat.

• Precisió en el càlcul de l'àrea del políedre i el volum del cos compost.

• Automatització correcta de fórmules en el full de càlcul amb ús de la coma decimal.

• Qualitat i coherència de l'informe tècnic lliurat.