Exercicis: Interpretació de gràfiques x-t i v-t

En una gràfica posició-temps (x-t), la línia d'un mòbil és horitzontal durant $10\ \text{s}$, com es mostra a la figura.

Què fa el mòbil durant aquest temps? Justifica la teva resposta.

En una mateixa gràfica x-t, l'Ana i el Luis apareixen com dues línies rectes, i la de l'Ana puja més inclinada que la del Luis, com es mostra a la figura.

Qui va més ràpid? Quina magnitud ens dona el pendent d'una gràfica x-t?

La gràfica x-t d'un caminant és una recta que passa pels punts $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ i $(10\ \text{s},\ 50\ \text{m})$, com es mostra a la figura.

Calcula la seva velocitat.

La gràfica velocitat-temps (v-t) d'un avió en creuer és una línia horitzontal a $v = 250\ \text{m/s}$ durant $10\ \text{s}$, com es mostra a la figura.

Quin tipus de moviment porta en aquest tram? Quina distància recorre en aquests $10\ \text{s}$?

Relaciona cada descripció d'una gràfica x-t amb el moviment que li correspon i justifica les teves eleccions:

1. a) Una recta horitzontal.
2. b) Una recta inclinada que puja.
3. c) Una corba cada vegada més inclinada.

Moviments: està aturat; es mou a velocitat constant; es mou cada vegada més ràpid.

La gràfica v-t d'una moto és una recta que passa pels punts $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ i $(4\ \text{s},\ 12\ \text{m/s})$, com es mostra a la figura.

Calcula la seva acceleració.

La gràfica x-t d'un patinador té dos trams rectes: el primer va de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ i el segon, de $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ a $(30\ \text{s},\ 200\ \text{m})$, com es mostra a la figura.

Calcula la seva velocitat a cada tram i digues en quin va més ràpid.

Quina informació dona el pendent d'una gràfica posició-temps? I el d'una gràfica velocitat-temps? Contesta amb les teves paraules i posa un exemple numèric de cadascuna.

La gràfica x-t d'una excursió en bici té tres trams rectes, com es mostra a la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a $(20\ \text{min},\ 10\ \text{km})$; horitzontal des d'allà fins a $t = 30\ \text{min}$; i de $(30\ \text{min},\ 10\ \text{km})$ a $(60\ \text{min},\ 16\ \text{km})$.

1. a) Calcula la velocitat de cada tram, en $\text{km/min}$.
2. b) Què passa en el tram central? Què creus que van fer els ciclistes en aquest temps?

La gràfica v-t d'un cotxe té tres trams, com es mostra a la figura: de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$; horitzontal a $20\ \text{m/s}$ fins a $t = 30\ \text{s}$; i de $(30\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$ a $(35\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$.

1. a) Calcula l'acceleració de cada tram.
2. b) Descriu amb paraules el que fa el cotxe durant tot el recorregut.

En una mateixa gràfica x-t, la recta de la Carla comença a $(0\ \text{s},\ 30\ \text{m})$ i passa per $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, i la del Dani comença a $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ i passa per $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat de cadascun.
2. b) Qui sortia per davant? Qui corre més ràpid?
3. c) Es creuen en algun moment? On es veu això a la gràfica?

En una gràfica x-t, la recta d'un tren passa per $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ i $(20\ \text{s},\ 400\ \text{m})$, i la d'un altre tren, que ve de cara, passa per $(0\ \text{s},\ 800\ \text{m})$ i $(40\ \text{s},\ 0\ \text{m})$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat de cada tren, amb el seu signe.
2. b) Les dues rectes es tallen en un punt: explica què significa aquest punt.
3. c) Calcula en quin instant i en quina posició es creuen els trens.

La gràfica v-t d'un tramvia és horitzontal a $10\ \text{m/s}$ entre $t = 0\ \text{s}$ i $t = 20\ \text{s}$, i horitzontal a $5\ \text{m/s}$ entre $t = 20\ \text{s}$ i $t = 40\ \text{s}$, com es mostra a la figura.

1. a) Quina distància recorre en el primer tram? I en el segon?
2. b) Quina distància total recorre en els $40\ \text{s}$?
3. c) Quina és la seva velocitat mitjana en tot el trajecte?

La gràfica x-t d'un cotxe que arrenca és una corba que comença poc inclinada i es va inclinant cada vegada més, com es mostra a la figura.

1. a) La seva velocitat, augmenta, disminueix o es manté? Raona la resposta a partir de com canvia el pendent.
2. b) Com seria la corba si, en canvi, el cotxe frenés fins a aturar-se? Descriu-la amb paraules.

La gràfica v-t d'un ciclista és una recta que va de $(0\ \text{s},\ 12\ \text{m/s})$ a $(6\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la seva acceleració.
2. b) Què significa el signe d'aquesta acceleració?
3. c) Què significaria que la recta continués per sota de l'eix, amb velocitats negatives?

Un cotxe espera aturat en un semàfor; quan es posa verd, arrenca guanyant velocitat de manera uniforme, circula una estona a velocitat constant i, al final, frena fins a aturar-se. Quina d'aquestes descripcions de gràfiques v-t correspon al cotxe? Justifica la teva elecció i explica per què es descarten les altres:

1. a) Una recta horitzontal per sobre de zero durant tot el temps.
2. b) Partint de zero: una recta que puja, després un tram horitzontal i després una recta que baixa fins a zero.
3. c) Una recta que baixa des d'un valor alt fins a zero i es queda a zero.

La gràfica x-t del viatge d'un autobús escolar té aquests trams rectes, com es mostra a la figura: de $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ a $(10\ \text{min},\ 6\ \text{km})$; horitzontal fins a $t = 15\ \text{min}$, mentre recull uns alumnes; de $(15\ \text{min},\ 6\ \text{km})$ a $(35\ \text{min},\ 16\ \text{km})$; i finalment de $(35\ \text{min},\ 16\ \text{km})$ a $(55\ \text{min},\ 0\ \text{km})$.

1. a) Calcula la velocitat de cada tram, en $\text{km/min}$.
2. b) Què significa l'últim tram, que té un pendent negatiu?
3. c) En quin tram va més ràpid l'autobús? Justifica-ho comparant els pendents.

La gràfica v-t d'un cotxe té aquests trams, com es mostra a la figura: puja en línia recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(5\ \text{s},\ 10\ \text{m/s})$; es manté a $10\ \text{m/s}$ fins a $t = 25\ \text{s}$; i baixa en línia recta fins a $(35\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$.

1. a) Calcula l'acceleració de cada tram.
2. b) Calcula la distància recorreguda en el tram de velocitat constant.
3. c) En els trams amb acceleració, la distància coincideix amb l'àrea del triangle que queda sota la gràfica. Calcula la distància del primer i del tercer tram amb aquesta idea i obtén la distància total del recorregut.

En una gràfica x-t, la recta d'un ciclista passa per $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ i $(30\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, i la d'un vianant, que va en sentit contrari, per $(0\ \text{s},\ 500\ \text{m})$ i $(50\ \text{s},\ 0\ \text{m})$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat de cadascun, amb el seu signe.
2. b) Escriu l'equació de la posició de cadascun.
3. c) El punt on les rectes es tallen és l'encreuament: calcula quan i on es produeix.
4. d) Comprova el resultat substituint en les dues equacions.

Una comanys dibuixa la gràfica x-t d'un corredor amb aquests dos trams, com es mostra a la figura: primer una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(10\ \text{s},\ 40\ \text{m})$ i després una recta que va de $(10\ \text{s},\ 40\ \text{m})$ a $(5\ \text{s},\ 20\ \text{m})$.

1. a) Calcula la velocitat del primer tram.
2. b) Explica per què el segon tram és impossible en la realitat: fixa't en com avança el temps.
3. c) Com hauria de ser un tram en què el corredor sí que torna cap al punt de partida? Descriu-lo i posa un exemple amb nombres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dos cotxes surten alhora d'un semàfor. La gràfica v-t del cotxe A puja en línia recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$. La del cotxe B puja de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(5\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$ i després es manté a $20\ \text{m/s}$ fins a $t = 10\ \text{s}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'acceleració de cada cotxe durant la seva arrencada.
2. b) Calculant les àrees sota cada gràfica, obtén la distància que recorre cada cotxe en aquests $10\ \text{s}$.
3. c) Quin va per davant en arribar als $10\ \text{s}$? Justifica-ho amb els resultats.

La gràfica v-t d'un ascensor que puja té aquests trams, com es mostra a la figura: de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(2\ \text{s},\ 4\ \text{m/s})$; horitzontal a $4\ \text{m/s}$ fins a $t = 8\ \text{s}$; i de $(8\ \text{s},\ 4\ \text{m/s})$ a $(10\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$.

1. a) Calcula l'acceleració de cada tram.
2. b) Calcula la distància de cada tram a partir de l'àrea sota la gràfica i l'alçària total que puja l'ascensor.
3. c) Descriu amb paraules com seria la gràfica x-t d'aquest ascensor: en quins trams seria una corba i en quins una recta? Com canvia el seu pendent? Justifica-ho.

En una gràfica x-t, un ciclista apareix com una recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ a $(60\ \text{s},\ 300\ \text{m})$. Una moto surt més tard i la seva recta passa per $(20\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ i $(40\ \text{s},\ 300\ \text{m})$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat de cadascun.
2. b) Escriu les seves equacions de posició (recorda que la moto parteix a $t = 20\ \text{s}$).
3. c) En quin instant i en quina posició la moto atrapa el ciclista?
4. d) Qui va per davant a $t = 25\ \text{s}$? Justifica-ho amb els càlculs.

La gràfica v-t d'una final de $100\ \text{m}$ mostra dos atletes, com es mostra a la figura: la Vera puja en línia recta de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(4\ \text{s},\ 10\ \text{m/s})$ i després manté $10\ \text{m/s}$ fins al final; l'Hugo puja de $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ a $(2\ \text{s},\ 10\ \text{m/s})$ i també manté $10\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'acceleració d'arrencada de cada atleta.
2. b) Calcula la distància recorreguda per cadascun als $10\ \text{s}$ (àrees sota la gràfica).
3. c) Si tots dos mantenen aquesta velocitat màxima, qui creua abans la meta dels $100\ \text{m}$ i en quin instant? Raona tots els càlculs.

Repte del tema. Converteix-te en pèrit de seguretat viària analitzant el moviment d'un vehicle!

1. Presa de dades: Construeix una rampa suau amb un cartó o taula sobre el terra, amb una longitud d'$1,0\text{ m}$. Marca amb cinta distàncies a $0,25\text{ m}$, $0,50\text{ m}$, $0,75\text{ m}$ i $1,00\text{ m}$. Deixa anar una pilota o cotxe de joguina des del repòs i cronometra el temps a assolir cada marca amb el teu mòbil ($t \pm 0,2\text{ s}$). Repeteix tres vegades per marca i anota els temps mitjans en una taula.

2. Anàlisi cinemàtica: Afegeix a la teva taula el càlcul de la velocitat en cada tram i l'acceleració ($a = 2x/t^2$). A partir de la constància d'aquests paràmetres, dedueix i argumenta si el descens s'ajusta millor a un MRU o a un MRUA.

3. Producte final: Elabora un informe breu que contingui la taula de dades amb les seves incerteses, les gràfiques $x-t$ i $v-t$ a escala, i un text interpretant la forma de les línies i el significat físic dels seus pendents.

Es valorarà:

• Rigor experimental en la recollida de dades, càlcul de mitjanes i expressió d'incerteses.

• Traçat i interpretació correcta de les gràfiques $x-t$ i $v-t$.

• Justificació cinemàtica coherent per classificar el moviment en MRU o MRUA a partir de la velocitat i acceleració obtingudes.