Exercicis: Mecanismes de transmissió

Explica la diferència entre una màquina i un mecanisme amb un exemple de cadascun: pensa que la màquina és l'aparell complet que ens fa una feina (la bicicleta, la batedora) i el mecanisme és cada artefacte intern que transmet o transforma el moviment (la cadena, els engranatges).

Dibuixa o descriu una palanca senzilla i assenyala els seus tres elements: el punt de suport, la força que apliquem (F) i la resistència que cal vèncer (R). Explica amb l'exemple del balancí del parc què passa quan acostes o allunyes el suport del centre.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Hi ha tres gèneres de palanca segons el que hi ha al mig: suport (primer gènere), resistència (segon) o força (tercer). Classifica aquests objectes i justifica-ho pensant on és cada cosa en fer-los servir: unes tisores, un carretó de jardí i unes pinces de depilar.

La figura mostra una palanca amb el seu suport, la força aplicada i la càrrega, però falta el nom d'una de les mides.

Anomena tots els elements de la palanca de la figura (incloent-hi el que està tapat), indica de quin gènere és aquesta palanca i explica, mirant les distàncies, si amb aquesta palanca faràs una força més gran, més petita o igual que el pes de la càrrega.

Una politja fixa a dalt d'un pal permet pujar la bandera estirant la corda cap avall. Explica què canvia la politja fixa (la direcció de la força) i què no canvia (la quantitat de força necessària), i raona per què tot i així resulta molt més còmoda que pujar enfilant-s'hi.

Una politja mòbil va enganxada a la mateixa càrrega, de manera que la corda la subjecta per dos ramals. Explica per què així la força necessària es reparteix (cada ramal «estira» de la meitat) i quin preu es paga a canvi: quanta corda cal recollir per pujar la càrrega un metre?

Dos engranatges en contacte transmeten el gir d'un eix a un altre. Explica dues coses que canvien en passar d'una roda a l'altra (el sentit de gir i la velocitat si tenen diferent nombre de dents) i anomena dos aparells de casa teva que portin engranatges.

La bicicleta transmet el pedaleig amb un plat, una cadena i un pinyó, no amb dues rodes dentades juntes. Explica quin avantatge té la cadena per portar el gir d'un eix a un altre que està lluny i per què la cadena no «patina» com patinaria una corretja llisa relliscosa.

La llei de la palanca diu que l'esforç s'equilibra quan $F \cdot d_F = R \cdot d_R$. En un balancí, una càrrega de $40\ \text{N}$ està a $1\ \text{m}$ del suport i tu empenys a $2\ \text{m}$ del suport: calcula la força que has de fer. Explica què has guanyat (força) i què has perdut (recorregut) en allunyar-te del suport.

La figura mostra dos engranatges en contacte amb el seu nombre de dents i la velocitat del primer; la del segon està tapada.

Calcula la velocitat de l'engranatge petit utilitzant la relació de transmissió $i = \frac{n_{salida}}{n_{entrada}} = \frac{z_{entrada}}{z_{salida}}$, indica en quin sentit gira respecte al gran i explica per què el petit gira més de pressa.

Dues politges unides per una corretja: la motriu té $10\ \text{cm}$ de diàmetre i gira a $300\ \text{rpm}$, i la conduïda té $30\ \text{cm}$. Calcula la relació de transmissió i la velocitat de la politja gran, i explica si aquest sistema multiplica o redueix la velocitat (i què li passa llavors a la força en l'eix de sortida).

Un polispast combina una politja fixa amb una de mòbil, de manera que la càrrega penja de dos ramals de corda. Si el sac pesa $200\ \text{N}$, calcula quina força cal fer estirant del cap lliure i quanta corda cal recollir per pujar-lo $2\ \text{m}$. Enuncia amb les teves paraules el «tracte» que fa qualsevol politja mòbil: força a canvi de recorregut.

Dues rodes de fricció transmeten el gir per contacte directe, sense dents ni corretja: l'una empeny l'altra fregant. Explica en quin sentit gira la roda conduïda, què passa si les rodes estan brutes o mullades (patina i no transmet bé) i posa un exemple on aquest patinar seria un problema i un altre on sigui una protecció útil.

El cargol sense fi és un cargol que engrana amb una roda dentada (corona): cada volta del cargol fa avançar la corona una sola dent. Si la corona té $40$ dents, calcula quantes voltes del cargol calen per a una volta completa de la corona i explica per què aquest mecanisme dona una reducció enorme i, a més, la corona no pot moure el cargol (no és reversible).

En una bicicleta, el plat té $44$ dents i el pinyó $11$. Calcula quantes voltes fa la roda per cada volta de pedal i explica què canviaries (plat o pinyó) per pujar una pujada costeruda pedalejant més suau, encara que la roda avanci menys per pedalada.

Tria el mecanisme de transmissió (palanca, politja fixa, polispast, politges amb corretja, engranatges, pinyó-cadena o cargol sense fi) per a cada necessitat i justifica-ho: (a) pujar un piano a un primer pis per la façana, (b) portar el gir del motor a les fulles d'una batedora reduint molt la velocitat, (c) canviar només la direcció d'una força per hissar una vela i (d) transmetre el pedaleig a la roda del darrere.

Dos operaris han d'aixecar una llosa de pedra de $600\ \text{N}$ fent servir una barra d'acer de $2\ \text{m}$ de longitud. Discuteixen dues opcions:

• Opció A (1r gènere): situar el suport a $0,4\ \text{m}$ de la pedra i empènyer cap avall a l'extrem oposat.

• Opció B (2n gènere): recolzar un extrem a terra, col·locar la pedra a $0,4\ \text{m}$ del suport i estirar cap amunt des de l'altre extrem.

(a) Calcula la força que s'ha d'aplicar en cada opció.

(b) Justifica quina de les dues configuracions requereix menys esforç a partir de la comparació dels seus braços de palanca.

(c) Si una persona només pot exercir com a màxim $100\ \text{N}$, és vàlida l'Opció A? Si no ho és, calcula a quina distància màxima de la pedra caldria col·locar el suport per no superar aquests $100\ \text{N}$.

Necessites dissenyar el mecanisme reductor per a la cinta transportadora d'un magatzem. El motor gira a $1.200\ \text{rpm}$ en sentit horari, però la cinta ha de girar exactament a $200\ \text{rpm}$, també en sentit horari. Al taller disposes únicament d'engranatges de $20$, $40$ i $60$ dents, i eixos on pots muntar una o dues rodes solidàries.

(a) Demostra mitjançant càlculs per què és impossible aconseguir aquesta reducció exacta utilitzant un sol parell d'aquestes rodes dentades.

(b) Dissenya un tren compost de dos parells d'engranatges triant les rodes adequades per obtenir exactament les $200\ \text{rpm}$ requerides.

(c) Determina el sentit de gir de l'eix de sortida en el teu disseny. Gira en el sentit horari que exigeix la cinta? Si no és així, explica quin element mecànic hauries d'afegir per corregir-ho sense modificar la velocitat final.

Al taller tenim un trepant de columna la transmissió per corretja plana del qual respon a l'esquema de la figura:

En trepar una peça gruixuda de metall, la broca (acoblada a l'eix de la politja 2) es clava i s'atura en sec, però el motor continua girant a $600\ \text{rpm}$.

(a) Calcula a quina velocitat $n_2$ girava la broca abans d'encallar-se.

(b) Explica quin fenomen físic passa entre la politja i la corretja durant l'encallament i raona per què aquest efecte protegeix el motor davant de sobrecàrregues.

(c) Un company proposa substituir les politges per engranatges per evitar que patini. Rebat la seva proposta explicant dos inconvenients: un de relatiu al risc per al motor en cas de bloqueig i un altre de relatiu al sentit de gir de la broca.

Una empresa emergent cerca finançament per comercialitzar una «caixa d'engranatges miraculosa». Asseguren al seu catàleg que el mecanisme és capaç de triplicar la velocitat de gir a l'eix de sortida ($n_2 = 3 \cdot n_1$) i, al mateix temps, mantenir intacta la força disponible ($F_2 = F_1$), sense augmentar el consum del motor.

(a) Basant-te en el treball mecànic i la conservació de l'energia, demostra matemàticament per què aquesta màquina és impossible en la realitat.

(b) Si el mecanisme triplica la velocitat de gir, què li passa inevitablement a la força a l'eix de sortida en condicions ideals sense fregament?

(c) Analitza la situació inversa amb un polispast que redueix la força necessària a la quarta part ($F = R / 4$): prediu què passa amb la longitud de corda que cal estirar i amb la velocitat d'elevació de la càrrega.

Per premsar una fruita dura cal aplicar-hi una força d'almenys $120\ \text{N}$. Una persona que només pot exercir amb la mà una força màxima de $24\ \text{N}$ farà servir un espremedor de palanca de segon gènere.

(a) Dibuixa o descriu l'esquema del mecanisme indicant la posició relativa del punt de suport, la fruita (resistència) i la mà (força aplicada).

(b) Si el mànec fa $25\ \text{cm}$ des del suport fins a la posició de la mà, calcula a quina distància màxima del suport s'ha de situar la fruita per poder esprémer-la amb aquesta força disponible.

(c) Algú suggereix fabricar l'espremedor com una palanca de tercer gènere (col·locant la fruita a l'extrem i la mà al mig) «perquè sigui més compacte». Justifica matemàticament per què aquest disseny impediria del tot que la persona esprengui la fruita.

En un taller mecànic volen instal·lar un cabrestant manual per suspendre motors de $1.800\ \text{N}$ mentre es reparen. El tècnic dubta entre dues opcions per al reductor de la maneta:

• Opció A: Un tren simple de dues rodes dentades rectes amb $z_1 = 10$ i $z_2 = 50$.

• Opció B: Un caragol sense fi d'$1$ entrada que engrana amb una corona de $50$ dents.

(a) Calcula la relació de transmissió de cada opció i prediu amb quina de les dues el mecànic haurà de fer menys força a la maneta.

(b) Si el mecànic deixa anar la maneta a meitat de l'elevació per agafar una eina, prediu què passarà amb el motor suspès en l'Opció A i en l'Opció B, justificant el concepte mecànic implicat.

(c) A partir dels resultats anteriors, conclou quin és el mecanisme idoni i raona quin és l'inconvenient o «preu a pagar» (en temps o nombre de voltes) en triar l'opció més segura.

Dissenya el sistema per pujar i baixar la persiana pesant del gimnàs: tria entre politja fixa, polispast o cargol sense fi amb maneta, justifica la teva elecció amb un càlcul senzill (la persiana pesa $400\ \text{N}$ i una persona pot estirar amb uns $100\ \text{N}$) i explica què passaria amb el teu sistema en deixar anar el cap o la maneta.

Un ciclista inexpert afirma: «Per pujar aquest port de muntanya tan inclinat posaré el plat gran ($50$ dents) i el pinyó petit ($15$ dents), perquè com que la roda fa més voltes per cada pedalada avançaré més ràpid i em cansaré menys».

(a) Calcula quantes voltes de roda fa la bicicleta per cada pedalada amb el desenvolupament que proposa el novell i amb el que li recomana la seva entrenadora: plat petit ($30$ dents) i pinyó gran ($30$ dents).

(b) Si les rodes tenen un perímetre de $2,1\ \text{m}$, calcula la distància recorreguda per pedalada en tots dos casos.

(c) Rebat amb arguments físics l'afirmació del ciclista: explica per què no aconseguirà pujar més ràpid ni amb menys fatiga, relacionant la relació de transmissió amb la força que han de fer les seves cames sobre els pedals.